3 символ: Символика числа 3 — Символизм древних культур – Символика числа 3 (три) — Вебджем.рф

Содержание

Символика числа 3 — Символизм древних культур

Число 3 в геометрии символизирует плоскость, которая определяется тремя точками. Графически число 3 выражается треугольником. Возможны и другие тройные формы: трискелион (трехлучевая свастика), трилистник, китайские триграммы, трезубец, три молнии, геральдическая лилия, три рыбы с общей головой (символ христианской Троицы), трехлапые лунные животные (символизирующие фазы Луны). Три сцепленных кольца или треугольника символизируют нерасторжимое единство трех ликов троицы.

Тройка — первое совершенное, сильное число, поскольку при его разделении сохраняется центр, то есть центральная точка равновесия. Оно является янским и благоприятным.

Другие символические значения числа 3: множественность, творческая сила, созидание, обновление, рост, движение вперед, преодолевающее двойственность, внешнее выражение, синтез. Поскольку тройка эквивалентна множеству, она может символизировать большое число, скопление.

Тройка означает также исполнение и часто воспринимается как знак удачи: возможно, потому, что знаменует выход из противостояния — решающее действие, которое может, однако, привести и к неудаче.

Во время ритуалов многие действия исполняются трижды: например, три ежедневных омовения в исламе, три приветствия, три предсказания будущего и т. д.

В сексуальном плане три — символ конфликта («третий — лишний»), а также любовного треугольника.

Оккультисты полагают, что понятие «тройка» представляет собой проявление наивысшего уровня в сфере духовного мира.

В алхимии основополагающими являются три принципа: сера, ртуть и соль, что символизирует дух, душу и тело. Металлы алхимиков — это не обычные металлы, а живые эссенции, имеющие метафизическую природу.

В пифагорействе тройка символизирует полноту. Пифагор считал тройку символом гармонии, а Аристотель — законченности: «Триада есть число целого, ибо содержит начало, середину и конец». Пифагорейцы различали три мира как вместилища принципов, разума и количеств. Тройка несет в себе уверенность и силу, так как если один или два раза могут быть совпадением, то три раза — это уже закономерность. Поэтому египетского Тота называют Трижды величайшим — Трисмегистом.

Троичность может быть разделена на двойственность и единство, суммой которых является. Тройка — «небесное» число, символизирующее душу, четыре — тело. В сумме три и четыре дают семь, образуя священную семерку. Их перемножение дает число двенадцать, что символизирует завершенный цикл (например, зодиак — круг, состоящий из 12 знаков; год, состоящий из 12 месяцев).

Тройка, четверка и их сумма — семерка посвящены Афродите (Венере) как царице трех миров и четырех элементов. Три — число священное, так как это первое число, которому присвоено слово «все». Это символ троичности бытия. Важность числа 3 и треугольника является неистощимым предметом для исследований.

«Сила трех» универсальна и олицетворяет трехчастную природу мира, как небо, земля и воды. Это человек: тело, душа и дух; рождение, жизнь и смерть. Это начало, середина и конец; прошлое, настоящее и будущее.

Три также самое меньшее количество, составляющее родовую общину, маленькое «племя». В общественной и судебной практике три — наименьшее количество людей, имеющих право принимать сколь-либо значимые решения, как, например, триумвират в Древнем Риме.

Орфическая символика включает триаду: бытие, жизнь, постижение.

В Каббале (название этого сокровенного знания происходит от трехбуквенного корня КБЛ, означающего «получить») тройка символизирует понимание, а также триединство мужского и женского начал и объединяющего их взаимопонимания. Три буквы иврита — алеф, мем и шин — соотносятся с тремя первоэлементами: воздухом, водой и огнем.

В Библии три ступени творения: первобытный хаос, над которым носился Дух, сотворение Адама и освящение субботы.

Христианская доктрина Троицы (Триединого Бога), которая позволила соединить в едином Боге Отца, Сына и Святого Духа, является примером того, как число три может заменять число один при обозначении более многопланового и мощного союза.

Три — наиболее часто встречающееся число в Евангелиях: три волхва, три отречения Петра, три распятия на Голгофе, воскресение Иисуса Христа — через три дня, три явления после смерти, три Марии, три богословских добродетели — Вера, Надежда, Любовь.

Сам человек обладает тройной организацией, заключая в себе тело, душу и дух.

В индуизме почитается трехзвучныи слог ОМ (АУМ). Три звука в этом мистическом звукосочетании передают ритм космоса и божественного начала. Три гунь (качества) природы (саттва — гармония раджас — вихрь, тамас — материя) связаны с осознанием сущности вещей: сат тва — добро, счастье; раджас — возбуждение.

Индуистская Троица — Брахма, Вишну, Шива, олицетворяющие единую силу творения, сохранения и разрушения
инерция, апатия, ведущие к невежеству. В человеческой душе саттва — это упорядоченность, основа просветленности, уравновешенности и терпеливости; раджас — это подвижность, источник активности и страстности; тамас — это инертность и все связанные с нею признаки, источник лености, косности и невежества.

У буддистов священный текст Трипитака разделяется на три части. Даосская Великая Триада — это небо, человек и земля.

У маори Великий Дух (Божественный творец) есть триединство Солнца, Луны и Земли; бог природы объединяет прошлое, настоящее и будущее.

В Китае три — первое нечетное, янское, положительное число, символ святости, законности, почета и утонченности. Три начала — небо, земля и человек. Три -истинный путь неба, земли, человека.

Японцы почитают три «священных сокровища»: зеркало, меч и драгоценный камень, символизирующие истину, мужество и сострадание.
Мексиканскую троицу символизируют три креста: один большой и два меньших.

Трехголовые или трехтельные боги, как, например, древнегреческая Геката или кельтская Бригитта, имели множество функций и управляли сразу несколькими сферами мироздания. У славян бог Луны трехглав.

Бесчисленны тройки божеств и сил. Триединые лунные божества и троичные богини изобилуют в шумеро-семитской, греческой, кельтской и древнегерманской культурах.

В греко-римской мифологии: богини судьбы мойры триедины в одной Мойре; эринии триедины в Эринии; горгоны — в Медузе. Три хариты, грации, сирены, грайи, три фурии, три гарпии. Цербер трехглав; у Сциллы тройной хвост; тело Химеры состоит из трех частей. Три древнегреческих правителя Мира — братья Зевс, Посейдон и Гадес (их атрибутами были тройная молния, трезубец и трехголовый пес Цербер). Три Парки (в древнегреческих и норвежских .мифах).

У древних скандинавов и германцев: судьба в виде трех норн — Маны, Ньи и Нити, означающих также полную, новую и убывающую Луну. В древнегерманской мифологии Луна — это судьба; богиня Луны — Хольда — триедина со своими двумя дочерьми. У зайца на Луне три ноги. Тор иногда изображается с тремя головами, а триквестра — символ Одина (Вотана).

У кельтов имеются также Три Благословенные Госпожи и другие бесчисленные триады — тройственные аспекты единого божества.

Главная индуистская троица — Тримурти, объединяющая трех великих богов (Брахма—Вишну—Шива), символизирует троичную силу творения, сохранения и разрушения.

Согласно китайской традиции, небесами управляют три брата.

У инков три великих бога: Солнца, Луны и ветра.

У народов Африки лунная богиня — это три божества: две черные, одна белая. Три в Африке — число мужчины (фаллос и два яичка).

Аравийская троичная богиня Манат представляется в виде трех святых дев: Аль-Итаб, Аль-Узза и Аль-Манат, которые изображаются тремя стелами, камнями или столбами, голубками, сидящими на столбах.

Источник

Понравился материал? Поделитесь, пожалуйста, ссылкой в социальных сетях:

< Назад
Вперёд >

Символика числа 3 (три)

Один, два. три: три в одной.
Первая — Корона Презренных,
дар мудрости, усилитель мыслей.
Вторая — Меч Глаз, творящий правосудие
и дарующий жизнь.
Третья — Жезл Крыльев, ключ и объединитель.
Три, два, один: одна в трех.
Приди, Триллиум. Приди, Всемогущий.
Джулиан Мэй. Небесный Триллиум

Тройка — первое совершенное, сильное число, поскольку при его разделении сохраняется центр, то есть центральная точка равновесия. Оно является янским и благоприятным. Другие символические значения числа 3: множественность, творческая сила, созидание, обновление, рост, движение вперед, преодолевающее двойственность, внешнее выражение, синтез. Поскольку тройка эквивалентна множеству, она может символизировать большое число, скопление. Тройка означает также исполнение и часто воспринимается как знак удачи: возможно, потому, что знаменует выход из противостояния — решающее действие, которое может, однако, привести и к неудаче.

В сексуальном плане три — символ конфликта («третий — лишний»), а также любовного треугольника.

Тройка, четверка и их сумма — семерка посвящены Афродите (Венере) как царице трех миров и четырех элементов.

Три — число священное, так как это первое число, которому присвоено слово «все». Это символ троичности бытия.

Важность числа 3 и треугольника является неистощимым предметом для исследований. «Сила трех» универсальна и олицетворяет трехчастную природу мира: небо, земля и воды. Это человек: тело, душа и дух; рождение, жизнь и смерть. Это начало, середина и конец; прошлое, настоящее и будущее.

Индуистская Троица — Брахма, Вишну, Шива, олицетворяющие единую силу творения, сохранения и разрушения.

Японцы почитают три «священных сокровища»: зеркало, меч и драгоценный камень, символизирующие истину, мужество и сострадание.

Мексиканскую троицу символизируют три креста: один большой и два меньших.

Три — одно из самых положительных чисел не только в символике и религиозной мысли, но и в мифологии, легендах и сказках, где примета «третий раз — удачный» имеет очень древние корни. В народных сказках герои обычно имеют три желания, а исполняются они на третий раз: надо выдержать три испытания или три попытки, чтобы добиться благоприятного результата. В фольклоре встречаются три царевича, три ведьмы, феи (две добрые, одна злая). Трехголовые или трехтельиые боги, как, например, древнегреческая Геката или кельтская Бригитта, имели множество функций и управляли сразу несколькими сферами мироздания. У славян бог Луны трехглав.

Бесчисленны тройки божеств и сил. Триединые лунные божества и троичные богини изобилуют в шумеро-семитской, греческой, кельтской и древнегерманской культурах. В греко-римской мифологии: богини судьбы мойры триедины в одной Мойре; эринии триедины в Эринии; горгоны — в Медузе. Три хариты, грации, сирены, геспериды, грайи, три фурии, три гарпии. Цербер трехглав; у Сциллы тройной хвост; тело Химеры состоит из трех частей. Три древнегреческих правителя Мира — братья Зевс, Посейдон и Гадес (их атрибутами были тройная молния, трезубец и трехголовый пес Цербер). Три Парки (в древнегреческих и норвежских мифах).

Главная индуистская троица — Тримурти, объединяющая трех великих богов (Брахма—Вишну—Шива), символизирует троичную силу творения, сохранения и разрушения. Согласно китайской традиции, небесами управляют три брата. У инков три великих бога: Солнца, Луны и ветра.

У народов Африки лунная богиня — это три божества: две черные, одна белая. Три в Африке — число мужчины (фаллос и два яичка). Аравийская троичная богиня Манат представляется в виде трех святых дев: Аль-Итаб, Аль-Узза и Аль-Манат, которые изображаются тремя стелами, камнями или столбами, голубками, сидящими на столбах. (Источник)

Эзотерическое значение тройки состоит в том, что она, представляя собой начало синтеза, соединяет воедино и примиряет конфликт между двумя противоположностями, в том числе и между единицей и двойкой и поэтому считается первым совершенным нечетным числом (ибо единица, как уже говорилось, не в счёт). В своем божественном аспекте тройка олицетворяет собой принцип Самосознания субстанционального Бытия в совокупности своих Атрибутов и свойств, то есть Бытия, вышедшего из своего однородного состояния в состояние неисчерпаемой множественности возможностей. Такое Самосознание будет синонимом Высшего Разума, Великого Архитектора, творящего из однородной субстанции Первоматерии (2) проявленный космос (4). В своем природном (космическом) аспекте тройка по выражению В. Шмакова есть «Кинетическая Деятельность Первоматерии, Конечный синтез, где все совершенно, закончено и раз навсегда предопределено», есть Тернер и Первообраз, способный творить, вырисовывая на космическом зеркале Великой Матери свой набросок вселенной. Иначе говоря, в природном аспекте тройка символизирует тройственную природу мира, состоящего из Неба, Земли и Человека. В человеческом аспекте тройка означает тройственное строение гомо сапиенс, чью внутреннюю природу принято разделять на дух, душу и тело.

Графическим изображением тройки является восходящий или нисходящий треугольник, три точки, трехлучевая звезда, а также трезубец, три зубца которого символизируют равновесие между принципом «ОВIТО» («повинуйся, поддавайся, будь послушен, внимай») и принципом «IМО» («напротив, наперекор, сопротивляйся, проявляй активность»). Можно сказать, что тройка кроме всего прочего графически образует половину окружности, включающей в себя рождение, зенит и нисхождение. Тройка выражает таким образом триединую основу мира, одновременно объединяющую в себе созидающие, охранительные и разрушающие силы природы.

Атрибуты и сущность тройки. Свойство примирять противоположные тенденции, лежащее в основе тройки, предопределили символические наименования данного числа, которыми его наградили пифагорейцы: «дружба», «мир», «справедливость», «благоразумие», «умеренность», «добродетель». Сущность тройки состоит в том, чтобы, снимая противоречия и упраздняя прежнее двойственное состояние бытия, рождать новое состояние, выводящее мир на качественно иной уровень.

С этой точки зрения важно увидеть эволюцию самого понимания тройки в различные эпохи, показанную исследователем символики чисел А. Ольгиным: «Интересно, что христианский термин «троица» начал употребляться во II веке Тертуллианом вместо слова «триада». И в этом видели глубокий смысл. В отличие от «триады», которая, как считается, выражала значение «трое разных», то есть подчеркивала различия, «троица» обозначает «совокупность, объединение трех», где главенствующая роль принадлежит Единому (Отцу), то есть воплощает идею семьи: Отца, Матери, Ребенка».

Сущность тройки можно лучше понять, осознав её связь с единицей и двойкой. На эту тему подробно высказывается Мэнли Холл: «Священность триады и её символа — треугольника — следует из того факта, что она делается из монады и дуады. Монада есть символ Божественного Отца, а дуада — Великой Матери. Триада, будучи сделанной из них, является, следовательно, андрогинной и символизирует тот факт, что Бог порождает Свои миры из Себя и Его творческий аспект всегда символизируется треугольником. Монада, переходя в дуаду, способна стать родителем потомства, потому что дуада была лоном Меру, внутри которой вызрел мир и внутри которой он все еще существует в виде эмбриона».

В отличие от негативного характера дуады священность триады глубоко позитивна и несет в себе полноту изначальной единицы. Об этом пишет А. Дугин:

«Число 3, напротив, имеет позитивный характер, т. к. оно получено добавлением к негативному 2 вновь обретенного Единства. И в любом случае, является ли это добавление Единства предшествующим Двойственности (3=1+2) или последующим за этой Двойственностью (3=2+1), оно всегда рассматривается как метафизическая ценность. Отсюда вытекает универсально позитивный характер Троичности, Троицы практически во всех традициях и в особенности в Христианстве. Приведем пример из Библии в отношении Третьего сына Адама-Сифа, который вновь обрел утерянный Рай, заменив отцу убитого Авеля. Этот сюжет точно соответствует логике происхождения чисел. Авель (1) угоден Богу. Каин (2) не угоден Богу (его жертвы Бог отвергает), так как Два (2) есть отрицание Единицы (1). Это отрицание дополнительно выражается в убийстве Каином Авеля. Сиф (Третий сын) есть возврат к Единству (Единство Рая, состояние до грехопадения Адама — 3=1+2) и замещение убитого Авеля (1), то есть 3=2+1. Поэтому гностические доктрины говорили о двух «Сифах», двух возможностях преодоления Двойственности: о Сифе, вернувшемся в Рай и ушедшем из мира множественности навсегда, и о Сифе, Праотце всех праведников, вместо Авеля давшем начало чистой ветви человечества, то есть о Сифе — источнике особой благодатной, духовной множественности. Любопытно заметить, что само имя Сиф, по-древнееврейски «seth», тождественно санскритскому корню sat, Чистое Бытие.»

Число 3 является первым по-настоящему нечетным и священным в своей нечетности числом именно потому, что оно создано по образу и подобию единого начала, выраженного числом 1. Тройка стоит впереди двойки за счёт того, что к ней (двойке) добавляется метафизически превосходящее её и старшее число — единица. Потому X. Э. Керлот определяет тройку как «гармоничный результат воздействия единства на дуальность». Он утверждает также, что «это число связано с базовыми принципами и выражает самодостаточность или возрастание «единства в самом себе»». Данное свойство подтверждает производный, сыновний, характер появления тройки в результате взаимодействия его метафизических родителей — единицы и двойки. Как это бывает и в земной родительской традиции, отец нередко передаёт сыну свои основополагающие черты и свойства. С другой стороны возрастание «единства в самом себе», то есть накопление свойств единицы, обязательно приводит к снятию противоречий между противоположными силами, или к «нейтрализации бинера» (как говорит В. Шмаков), в точности также, как рождение ребенка в нормальной семье, как правило, духовно сближает родителей. Все это позволяет X. Э. Керлоту сделать вывод, что «тройка олицетворяет решение конфликта, поставленного дуализмом».

Утверждение принципа единства между двумя полюсами в силу своей гармонизирующей функции позволяет отождествить тройку с принципом мудрости, поскольку его использование дает людям возможность управлять временем, организуя настоящее, предвосхищая будущее и применяя опыт прошлого. (Священная наука чисел)

Авсоний. Гриф о числе три.
Золотое трио

Свойства числа три (тройка)
2-е простое число
4-е число Фибоначчи
Нулевое число Ферма (2^{2^{0}}+1)
2-е число Мерсенна (2^{2}-1)
2-е треугольное число
Четвёртое открытое меандровое число
10³ называется тысяча
приставки СИ: 10³ кило (к) и 10⁻³ милли (м)
целое приближение числа π
целое приближение числа e

Троичная логика. Была использована на аппаратном уровне в ЭВМ Сетунь. Также используется как вариант помехоустойчивого кодирования в протоколе Ethernet

признак делимости числа на 3: любое число делится на 3 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 3

2-е число Софи Жермен (3 * 2 + 1 = 7, также являющееся простым числом)

Пословицы и поговорки
Всякая небылица в три года пригодится.
Выпить вина раз — хорошо, два — достаточно, три — горе.
Год торгуй, два воруй, а три в яме сиди.
Две бабы — базар, три — ярмарка.
Две бабы — торг, а три — ярмарка.
Двое — это компания, а трое – нет.
Друг рядом лучше, чем два или три вдалеке.
Если хорошую речь повторить три раза — даже у собак появится отвращение.
Есть в три горла.
За двоих попотеешь — за троих поешь.
Заблудиться в трех соснах.
Заемное три года ждут, на четвертый забывают.
И Будда терпит лишь до трех раз.
Из третьих уст, из третьих рук.
Кто думает три дни, тот выберет злыдни.
Ленивый три раза ходит, а скупой три раза платит.
Ложка-то узка, таскает по три куска: надо ее развести, чтоб таскала по шести.
Лучше три раза спросить, чем один раз ошибиться.
Мнится – писание лёгкое дело: пишут три перста, а болит всё тело.
Море, огонь и недобрая жена — три зла.
На дворе много скота: три собаки, два кота.
На свадьбе три дня пировать да до смерти горевать.
На три алтына торгу, а на пять – долгу.
На чужой стороне три года собаки пролают да три года люди прохают.
Наврать с три короба.
Не везет до трех раз.
Не угадывай в три дня, угадывай в три года!
Не узнавай друга в три дня — узнавай в три года.
Низкорослый человек три раза в день мнит себя царем.
Обещанного три года ждут.
Один — тайна, два — полтайны, три — нет тайны.
Один носит, другой просит, третий очереди ждет.
Один сын – не сын, два сына – полсына, три сына – сын.
Одна женщина — баба, две бабы — базар, а три – ярмарка.
Одному кивнул, другому моргнул, а третий сам догадается.
Рыдать в три ручья.
С песней хоть за три моря.
Сватали невесту в три места, стали отдавать, да не стали брать.
Свою лысину три года не замечают.
Слово слово родит, третье само бежит.
Служил три леты, выслужил три репы, а красненькой ни одной.
Такая красава, что в окно глянет – конь прянет; на двор выйдет – три дня собаки лают.
Трёх лет Ивана по отчеству звать рано.
Три волоска – и все густые.
Три года скачи — ни до какого государства не доскачешь.
Три деньги в день — куда хочешь, туда и день.
Три дня молол, а в полтора дня съел.
Три друга: отец, да мать да верная жена.
Три жены имел, а от всех терпел.
Три раза прости, а в четвертый прихворости.
Три сына, а сам в силе.
Трижды поп поет, а в четвертый аминь отдает.
Хвастуну цена — три копейки.
Чтобы научиться трудолюбию, нужно три года, чтобы научиться лени — только три дня.

Загадки

Песни
Amorphis — Three Words

Therion — Three Treasures

Алла Пугачева — Три счастливых дня

Андриана — Три Світи

Ани Лорак — Три Звичних Слова

Валерия — Рига-Москва

ВИА Гра — Океан И Три Реки

Еріка — Три зорі

Лариса Долина — Три Розы

Очеретяний кіт — Ой Яворе Зелененький

Планка — Что я буду делать без тебя (Три дня)

Тріо Маренич — Три Тополі

Трофим — Боги, мои Боги

Юрий Никулин — Если Б Я Был Султан

Роковое число
(Дмитрий Минаев)
Из всех известных миру чисел,
Являвшихся симво́лом зла,
Мир человеческий зависел
Всегда от одного числа.

Его значение безмерно
Везде, куда ни посмотри,
И трепещу я суеверно
Перед зловещей цифрой — три.

Она в истории всесветной
Опасна в мире и войне:
Республиканский флаг трёхцветный
Деспо́там страшен и во сне.

Трёхгранный штык, к стыду столетий,
Решает участь целых стран,
И Бонопарт, по счёту — третий,
На гибель был французам дан;

Без страха не могу смотреть я
На роковые смуты их:
У парижан сословье третье —
Гроза сословий остальных.

Недаром мненья в Тьере старом
Менялись три раза пока,
И есть у Бисмарка недаром
На голове три волоска.

Недаром каждое изданье
С трёх раз теряет свой кредит;
Получит третье замечанье —
И на полгода замолчит.

Недаром трижды Пётр отрёкся
И горько, горько зарыдал;
Затем, скажу без парадокса:
Из трёх друзей один — фискал.

Март месяц, третий месяц года
Несёт недугов всех прилив;
Бушуют в марте средь народа
Холера, оспа или тиф…

Палач с трехвосткой ненавистен;
Смешон вступивший в третий брак,
И в сказках истина всех истин,
Что третий сын всегда — дурак.

Нет счастья у супругов дома,
Когда меж ними третий стал;
В «шагу учебном в три приема» —
Капральской жизни идеал.

На цифру три так смотрят плохо,
Что, по завету старины,
Повсюду гвалт и суматоха
Когда три свечки зажжены.

Боясь тринадцатым куплетом
Своих читателей смутить,
Ещё один куплет при этом
Могу я им же посвятить:

Чтоб горя в жизни не иметь им,
Во избежанье всяких бед,
Шепнул бы я ещё о третьем…
Да, жалко, времени мне нет.

Триада
(Константин Бальмонт)
Знай. Люби. Свой дух избавь.
Трижды, в цельном, Мир прославь.
Целей в жизни только три,
В трёх цветках сполна гори.

Детство — цветик голубой,
С золотистой бахромой.
Светом золота в те дни
Голубое оттени.

Юность — заревный расцвет,
Страстны ласки юных лет.
Красной сказке разум рад.
Раз ты юн, сорви гранат.

Третий, спелый, возраст твой
Снова полон синевой.
Но лазурный небосклон
Белой дымкой обрамлён.

Равноденствием души
В нём себя ты утиши.
День и Ночь уравновесь,
Мир твой цельным будет весь.

Три — Знаки и символы

В Древнем Китае тройка была символом святости, законности и почета. В христианской культуре ее значение не менее почетно. Это символ единства Бога Отца, Сына и Святого Духа. Тройка часто упоминается и в Ветхом, и в Новом Завете Библии. Вспомните трех волхвов, три отречения Петра, три распятия на Голгофе, воскресение на третий день. Три сына, три попытки, три дороги, три желания часто фигурируют в сказках.

Троица богов или тройственное воплощение божественного начала встречаются не только в христианстве, но и в других религиях и мифах мира.

К примеру, в индуизме три высших божества составляют Тримурти. Это олицетворяющий созидание Брахма, поддерживающий баланс сил Вишну и бог разрушитель Шива. Индийские «Веды» говорят о трех главных целях в жизни человека: обязанности, потребности и удовольствия. Такие выдающиеся мыслители, как Пифагор и Аристотель, считали тройку символом гармонии и законченности, в котором соединяются воедино начало, середина и конец. В Средневековье возникло представление о трех главных добродетелях: вере, надежде и любви. В мифологии можно найти много тройственных групп: три грации, три парки.

В геометрии тройке соответствует треугольник или плоскость, которую можно провести через три точки. В этом плане тройка — символ стабильности. Отсюда всевозможные трилистники, трезубцы, взаимно пересекающиеся круги и т. д. Существует, кстати, и трехлучевая свастика — трискелион. Не случайно в индуизме сакральный слог АУМ является трехзвучным. Верят, что он передает ритмы Вселенной. Можно в связи с этим вспомнить и «знак мира», придуманный философом и художником Николаем Рерихом — три круга одного диаметра. Тройка — символ коллектива, способного принимать общие решения. Вспомните римские триумвираты или революционные судейские тройки.

Планета тройки — Плутон. Считается, что люди, у которых в дате рождения встречаются тройки, могут быть успешными в науке, искусстве или спорте. Они последовательны, рассудительны, деятельны, часто добиваются славы и успеха, упорно двигаясь к намеченной цели. Носить украшения с изображением троек рекомендуется людям, которые стремятся к стабильности в своей жизни.

Камни Тройки — аметист и лазурит.

¾ — Дробь – три четверти (U+00BE) frac34

Описание символа

Дробь – три четверти. Дополнительная латиница-1.

Кодировка

Кодировка	hex	dec (bytes)	dec	binary
UTF-8	C2 BE	194 190	49854	11000010 10111110
UTF-16BE	00 BE	0 190	190	00000000 10111110
UTF-16LE	BE 00	190 0	48640	10111110 00000000
UTF-32BE	00 00 00 BE	0 0 0 190	190	00000000 00000000 00000000 10111110
UTF-32LE	BE 00 00 00	190 0 0 0	3187671040	10111110 00000000 00000000 00000000

Наборы с этим символом:

Астрономические символы — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 8 июня 2015; проверки требуют 24 правки. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 8 июня 2015; проверки требуют 24 правки.

Астрономи́ческие си́мволы используются для обозначения различных небесных тел, наблюдаемых явлений и теоретических абстракций. Современные символы такие:

Знак Нептуна — трезубец.

Средневековое изображение небесных тел[править | править код]

Планеты в астрологии

↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ High-School Astronomy (неопр.). — Sheldon & Co., 1872. — С. 32—36.
↑ The Encyclopedia Americana: a library of universal knowledge, Volume 26 (англ.). — Encyclopedia Americana Corp., 1920. — P. 162—163.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ Hilton, James L. When Did the asteroids Become Minor Planets? (неопр.). Дата обращения 5 октября 2010. Архивировано 22 августа 2011 года.
↑ ¹ ² Planet Symbols (неопр.). NASA. Дата обращения 4 марта 2010. Архивировано 11 августа 2011 года.
↑ Allen’s astrophysical quantities (неопр.). — Springer, 2001. — С. 2.
↑ ¹ ² von Zach, Franz Xaver (1802). Monatliche correspondenz zur beförderung der erd- und himmels-kunde, Volume 6. pp. 95-96.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ Dictionary of minor planet names (неопр.). — Springer, 2003. — С. 15—18.
↑ ¹ ² von Zach, Franz Xaver. Monatliche correspondenz zur beförderung der erd- und himmels-kunde, Volume 10 (нем.). — 1804. — S. 471.
↑ A handbook of descriptive astronomy (англ.). — Oxford University Press, 1877. — P. 920—921.
↑ ¹ ² Денисон Ольмстед. Letters on astronomy. — Harper, 1855. — 288 с.
↑ ¹ ² von Zach, Franz Xaver. Monatliche correspondenz zur beförderung der erd- und himmels-kunde, Volume 15 (нем.). — 1807. — S. 507.
↑ ¹ ² Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlin. — 1945. — P. 406. — «Der Planet hat mit Einwilligung des Entdeckers den Namen Astraea erhalten, und sein Zeichen wird nach dem Wunsche des Hr. Hencke ein umgekehrter Anker sein.».
↑ ¹ ² ³ Wilson, John. A treatise on English punctuation (неопр.). — 1899. — С. 302.
↑ Wöchentliche Unterhaltungen für Dilettanten und Freunde der Astronomie, Geographie und Witterungskunde (нем.). — 1847. — S. 315.
↑ ¹ ² Report of the Council to the Twenty-eighth Annual General Meeting (англ.) // Monthly notices of the Royal Astronomical Society : journal. — 1848. — Vol. 8. — P. 82.
↑ >Extract of a Letter from Mr. Graham (англ.) // Monthly notices of the Royal Astronomical Society : journal. — 1848. — Vol. 8. — P. 147.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ Hind, J. R. An astronomical vocabulary (неопр.). — 1852. — С. v.
↑ ¹ ² ³ ⁴ de Gasparis, Annibale. Letter to Mr. Hind, from Professor Annibale de Gasparis (англ.) // Monthly notices of the Royal Astronomical Society : journal. — 1850. — Vol. 11. — P. 1.
↑ Hind. Letter from Mr. Hind (англ.) // Monthly notices of the Royal Astronomical Society : journal. — 1850. — Vol. 11. — P. 2.
↑ Correspondance (неопр.) // Comptes rendus des séances de l’Académie des sciences. — 1851. — Т. 32. — С. 224.
↑ Hind. On the Discovery of a Fourth New Planet, at Mr. Bishop’s Observatory, Regent’s Park (англ.) // Monthly notices of the Royal Astronomical Society : journal. — 1851. — Vol. 11. — P. 171.
↑ de Gasparis, Annibale. Beobachtungen und Elemente der Eunomia (англ.) // Astronomische Nachrichten : journal. — Wiley-VCH, 1851. — P. 174.
↑ Sonntag, A. Elemente und Ephemeride der Psyche (англ.) // Astronomische Nachrichten : journal. — Wiley-VCH, 1852. — Vol. 34. — P. 283.
↑ ¹ ² Luther, R. Beobachtungen der Thetis auf der Bilker Sternwarte (англ.) // Astronomische Nachrichten : journal. — Wiley-VCH, 1852. — Vol. 34. — P. 243—244.
↑ ¹ ² Luther, R. Beobachtungen des neuesten Planeten auf der Bilker Sternwarte (нем.) // Astronomische Nachrichten : magazin. — Wiley-VCH, 1853. — Bd. 36. — S. 349—350.
↑ ¹ ² Encke, J. F. Beobachtung der Bellona, nebst Nachrichten über die Bilker Sternwarte (нем.) // Astronomische Nachrichten : magazin. — Wiley-VCH, 1854. — Bd. 38. — S. 143. — DOI:10.1002/asna.18540380907.
↑ Webster’s Complete Dictionary of the English Language (англ.). — 1884. — P. 1780.
↑ Marth, A. Elemente und Ephemeride des Marz 1 in London entdeckten Planeten Amphitrite (нем.) // Astronomische Nachrichten : magazin. — Wiley-VCH, 1854. — Bd. 38. — S. 167.
↑ ¹ ² Rümker, G. Name und Zeichen des von Herrn R. Luther zu Bilk am 19. April entdeckten Planeten (нем.) // Astronomische Nachrichten : magazin. — Wiley-VCH, 1855. — Bd. 40. — S. 373. — DOI:10.1002/asna.18550402405.
↑ ¹ ² Luther, R. Schreiben des Herrn Dr. R. Luther, Directors der Sternwarte zu Bilk, an den Herausgeber (нем.) // Astronomische Nachrichten : magazin. — Wiley-VCH, 1856. — Bd. 42. — S. 107. — DOI:10.1002/asna.18550420705.

Шаблон:Графема/doc — Википедия

Без боковика	`Без боковика`	без описания	Неизвестно	необязательный
Название	`Название`	без описания	Неизвестно	необязательный
Непечатный	`Непечатный`	без описания	Неизвестно	необязательный
HTML	`HTML`	без описания	Неизвестно	необязательный
Символ	`Символ`	без описания	Неизвестно	необязательный
Размер символа	`Размер символа`	без описания	Неизвестно	необязательный
Комбинация	`Комбинация`	без описания	Неизвестно	необязательный
Диакр1	`Диакр1`	без описания	Неизвестно	необязательный
Диакр2	`Диакр2`	без описания	Неизвестно	необязательный
Диакр3	`Диакр3`	без описания	Неизвестно	необязательный
HTML2	`HTML2`	без описания	Неизвестно	необязательный
HTML3	`HTML3`	без описания	Неизвестно	необязательный
HTML4	`HTML4`	без описания	Неизвестно	необязательный
Изображение	`Изображение`	без описания	Неизвестно	необязательный
Размер	`Размер`	без описания	Неизвестно	необязательный
Изображение2	`Изображение2`	без описания	Неизвестно	необязательный
Размер2	`Размер2`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред5	`пред5`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред4	`пред4`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред4+	`пред4+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред3	`пред3`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред3+	`пред3+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред2	`пред2`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред2+	`пред2+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред1	`пред1`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред1+	`пред1+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Этот+	`этот+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След1	`след1`	без описания	Неизвестно	необязательный
След1+	`след1+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След2	`след2`	без описания	Неизвестно	необязательный
След2+	`след2+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След3	`след3`	без описания	Неизвестно	необязательный
След3+	`след3+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След4	`след4`	без описания	Неизвестно	необязательный
След4+	`след4+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След5	`след5`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред2-5	`пред2-5`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред2-4	`пред2-4`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред2-4+	`пред2-4+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред2-3	`пред2-3`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред2-3+	`пред2-3+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред2-2	`пред2-2`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред2-2+	`пред2-2+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред2-1	`пред2-1`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред2-1+	`пред2-1+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Этот2+	`этот2+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След2-1	`след2-1`	без описания	Неизвестно	необязательный
След2-1+	`след2-1+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След2-2	`след2-2`	без описания	Неизвестно	необязательный
След2-2+	`след2-2+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След2-3	`след2-3`	без описания	Неизвестно	необязательный
След2-3+	`след2-3+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След2-4	`след2-4`	без описания	Неизвестно	необязательный
След2-4+	`след2-4+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След2-5	`след2-5`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред3-5	`пред3-5`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред3-4	`пред3-4`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред3-4+	`пред3-4+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред3-3	`пред3-3`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред3-3+	`пред3-3+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред3-2	`пред3-2`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред3-2+	`пред3-2+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред3-1	`пред3-1`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред3-1+	`пред3-1+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Этот3+	`этот3+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След3-1	`след3-1`	без описания	Неизвестно	необязательный
След3-1+	`след3-1+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След3-2	`след3-2`	без описания	Неизвестно	необязательный
След3-2+	`след3-2+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След3-3	`след3-3`	без описания	Неизвестно	необязательный
След3-3+	`след3-3+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След3-4	`след3-4`	без описания	Неизвестно	необязательный
След3-4+	`след3-4+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След3-5	`след3-5`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред4-5	`пред4-5`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред4-4	`пред4-4`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред4-4+	`пред4-4+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред4-3	`пред4-3`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред4-3+	`пред4-3+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред4-2	`пред4-2`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред4-2+	`пред4-2+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред4-1	`пред4-1`	без описания	Неизвестно	необязательный
Пред4-1+	`пред4-1+`	без описания	Неизвестно	необязательный
Этот4+	`этот4+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След4-1	`след4-1`	без описания	Неизвестно	необязательный
След4-1+	`след4-1+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След4-2	`след4-2`	без описания	Неизвестно	необязательный
След4-2+	`след4-2+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След4-3	`след4-3`	без описания	Неизвестно	необязательный
След4-3+	`след4-3+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След4-4	`след4-4`	без описания	Неизвестно	необязательный
След4-4+	`след4-4+`	без описания	Неизвестно	необязательный
След4-5	`след4-5`	без описания	Неизвестно	необязательный
Мнемоника	`Мнемоника`	без описания	Неизвестно	необязательный
Оригинал	`Оригинал`	без описания	Неизвестно	необязательный
Оригинал2	`Оригинал2`	без описания	Неизвестно	необязательный
Оригинал3	`Оригинал3`	без описания	Неизвестно	необязательный
Оригинал4	`Оригинал4`	без описания	Неизвестно	необязательный
ОригиналДиакр1	`ОригиналДиакр1`	без описания	Неизвестно	необязательный
ОригиналДиакр2	`ОригиналДиакр2`	без описания	Неизвестно	необязательный
ОригиналДиакр3	`ОригиналДиакр3`	без описания	Неизвестно	необязательный
Мнемоника2	`Мнемоника2`	без описания	Неизвестно	необязательный
Мнемоника3	`Мнемоника3`	без описания	Неизвестно	необязательный
Мнемоника4	`Мнемоника4`	без описания	Неизвестно	необязательный
Категория	`Категория`	без описания	Неизвестно	необязательный

3j-символ — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 4 января 2015; проверки требуют 5 правок. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 4 января 2015; проверки требуют 5 правок.

3j-символы Вигнера, называемые также 3jm-символами, находят применение в квантовой механике и связаны с коэффициентами Клебша — Гордана следующими формулами:

(j1j2j3m1m2m3)≡(−1)j1−j2−m32j3+1⟨j1m1j2m2|j3(−m3)j1j2⟩.{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}(-m_{3})j_{1}j_{2}\rangle .}

Обратная связь между коэффициентами Клебша — Гордана и 3j-символами может быть найдена следующим образом: замечая, что j₁ − j₂ − m₃ это целое число и делая подстановку m3→−m3{\displaystyle m_{3}\rightarrow -m_{3}}, получим:

⟨j1m1j2m2|j3m3j1j2⟩=(−1)j1−j2+m32j3+1(j1j2j3m1m2−m3).{\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}j_{1}j_{2}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.}

Симметрия 3j-символов выражается более удобно, чем у коэффициентов Клебша — Гордана. 3j-символ инвариантен при чётной перестановке его столбцов:

(j1j2j3m1m2m3)=(j2j3j1m2m3m1)=(j3j1j2m3m1m2).{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.}

Нечётная перестановка столбцов приводит к домножению на фазовый фактор:

(j1j2j3m1m2m3)=(−1)j1+j2+j3(j2j1j3m2m1m3)=(−1)j1+j2+j3(j1j3j2m1m3m2).{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}.}

Замена знака квантовых чисел m{\displaystyle m} также даёт дополнительную фазу:

(j1j2j3−m1−m2−m3)=(−1)j1+j2+j3(j1j2j3m1m2m3).{\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.}

3j-символ Вигнера не равен нулю только при выполнении следующих условий:

m1+m2+m3=0,{\displaystyle m_{1}+m_{2}+m_{3}=0,}

j1+j2+j3{\displaystyle j_{1}+j_{2}+j_{3}} — целое,

|mi|⩽ji,{\displaystyle |m_{i}|\leqslant j_{i},}

|j1−j2|⩽j3⩽j1+j2.{\displaystyle |j_{1}-j_{2}|\leqslant j_{3}\leqslant j_{1}+j_{2}.}

Свёртка произведения трёх вращательных состояний с 3j-символами

∑m1=−j1j1∑m2=−j2j2∑m3=−j3j3|j1m1⟩|j2m2⟩|j3m3⟩(j1j2j3m1m2m3){\displaystyle \sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}}

инвариантна при вращениях.

3j-символы удовлетворяют следующим свойствам ортогональности:

(2j+1)∑m1m2(j1j2jm1m2m)(j1j2j′m1m2m′)=δjj′δmm′,{\displaystyle (2j+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j’\\m_{1}&m_{2}&m’\end{pmatrix}}=\delta _{jj’}\delta _{mm’},}

∑jm(2j+1)(j1j2jm1m2m)(j1j2jm1′m2′m)=δm1m1′δm2m2′.{\displaystyle \sum _{jm}(2j+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}’&m_{2}’&m\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1}m_{1}’}\delta _{m_{2}m_{2}’}.}

Через 3j-символы выражаются интегралы от произведения трёх сферических гармоник:

∫Yl1m1(θ,φ)Yl2m2(θ,φ)Yl3m3(θ,φ)sin⁡θdθdφ=(2l1+1)(2l2+1)(2l3+1)4π(l1l2l3000)(l1l2l3m1m2m3),{\displaystyle \int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi ={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}},}

где l1{\displaystyle l_{1}}, l2{\displaystyle l_{2}} и l3{\displaystyle l_{3}} являются целыми числами.

Связь с интегралами от сферических гармоник со спиновыми весами[править | править код]

∫dn^s1Yj1m1(n^)s2Yj2m2(n^)s3Yj3m3(n^)=(−1)m1+s1(2j1+1)(2j2+1)(2j3+1)4π(j1j2j3m1m2m3)(j1j2j3−s1−s2−s3).{\displaystyle \int d{\mathbf {\hat {n}} }{}_{s_{1}}Y_{j_{1}m_{1}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{3}}({\mathbf {\hat {n}} })=(-1)^{m_{1}+s_{1}}{\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}.}

∑m(−1)j+m(jjJm−m0)=2j+12J+1δJ0.{\displaystyle \sum _{m}(-1)^{j+m}{\begin{pmatrix}j&j&J\\m&-m&0\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2j+1}{2J+1}}}\delta _{J0}.}

12∫−11dxPl1(x)Pl2(x)Pl(x)=(ll1l2000)2.{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}dxP_{l_{1}}(x)P_{l_{2}}(x)P_{l}(x)={\begin{pmatrix}l&l_{1}&l_{2}\\0&0&0\end{pmatrix}}^{2}.}

Собельман И. И.: Введение в теорию атомных спектров. Издательство Литература. 1963
L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
Варшалович Д. А., Москалёв А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975.
E. P. Wigner, On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups, unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum, Academic Press, New York (1965).

3 символ: Символика числа 3 — Символизм древних культур – Символика числа 3 (три)