Градиент что это: Недопустимое название | Математика | Fandom

Содержание

это 📕 что такое ГРАДИЕНТ

барометрический и термометрический. — Барометрическим градиентом называют разность в показаниях барометров (приведенных к уровню моря) в двух местах, лежащих по тому направлению, по которому в данный момент упругость воздуха убывает всего быстрее, т. е. по направлению, перпендикулярному к изобарам, или линиям равных давлений (см. также Бури), на расстоянии единицы длины градуса меридиана (111 км). Чем барометрический Г. в данной местности больше, тем сильне нарушено равновесие воздуха, тем сильнее должен быть ветер. На это впервые обратил внимание Стефенсон, почему закон, выражающий зависимость между барометрическим Г. и силою ветра носит название закона Стефенсона ("Journal of the scottish Meteor. Soc.", январь 1868). При Г. в 1,78 мм можно ожидать уже сильного ветра.Впрочем, сила ветра зависит и от других причин, между которыми неровности поверхности земли, температура и влажность воздуха наиболее существенны: при одном и том же Г. морской ветер сильнее континентального, теплые и влажные ветры сильнее холодных и сухих. Наибольшие градиенты бывают в циклонах (см. слово Бури), особенно тропических, где они доходят до 10 и даже более мм на 111 км. Определяется барометрический Г. при помощи тщательно начерченных метеорологических или синоптических карт (см. эти слова, а также сл. Бури) через разделение разности высот барометров, соответствующих двум соседним изобарам, на расстояние между ними, выраженное в градусах большого круга. Способы более точного определения его даны в статье: Guldberg und Mohn, "Ueber die gleichförmige Bewegung der horisontalen Luftströme" ("Zeitschr. für Meteor." см.), a также в "Sprung's Lehrbuch der Meteorologie" (1885). См. также Давление и движение воздуха. Подобно тому, как барометрический Г. определяет степень неравномерности в распределении атмосферного давления по горизонтальному направлению, степень неравномерности в распределении температуры определяется термометрическим Г. Это есть разница в температурах двух мест, лежащих на расстоянии друг от друга, равном 1 градусу большого круга по направлению, перпендикулярному к изотермам, или линиям равной теплоты.

Величина термометрич. Г. в Европе достигает иногда 4 и даже более градусов Цельсия (поступательное движение циклонов и антициклонов в Европе, "Записки Имп. русск. географ. общества", т. XII, 1882).

Ц. Броунов.

использование градиентов для смешения цветов

Применение цвета при разработке логотипа - задача гораздо более сложная, чем просто выбор "моего любимого цвета". Цвета, и что более важно, цветовые комбинации могут влиять на дизайн логотипа и не только на техническом уровне. К примеру, эмоциональные реакции на определенные цвета могут находиться в диапазоне между любовью и яростью (красный), теплом и холодом (синий) и т.д. в зависимости от контекста, - все эти реакции были описаны в научных исследованиях. Некоторые цвета способны вызывать у людей чувство реального голода.

К примеру, для компании, ведущей бизнес направленный на сохранение окружающей среды, может показаться естественным использовать зеленый цвет, и, на первый взгляд, это логично. Но что, если их деятельность включает усилия как на суше, так и на море? Тогда право на существование также получает синий цвет, и, кроме того, и весь цветового спектра между ними. Что приводит нас к цветовым переходам – градиентам.

 

Дизайн логотипа с плавным градиентом от светло-зеленого до синего.

Что такое градиентная заливка?

Градиентная заливка или заливка с плавным переходом цветов – это, по сути, постепенное переход между двумя цветами, создающий эффект от светлого к темному, интенсивность которого зависит от базовых цветов. Самый простой пример – от черного к белому. Черный – 100%, а белый 0%, поэтому потенциально мы имеем 100 "ступенек" между ними. Кажется, все достаточно просто, не так ли? Но не будем спешить.

Дизайнерский макет можно воспроизвести достаточно большим количеством способов. Тип носителя, на который наносится дизайн, размеры, будет ли это шелкография, офсетная печать или цифровая публикация... все факторы должны быть приняты во внимание. Логотип хорошо выглядит на визитной карточке, но он будет ли он работать на рекламном щите? Будет ли он работать в стандартном газетном модуле и при этом адекватно воспроизводиться на экране телевизора?

И не менее важный момент – градиент может хорошо выглядеть на экране компьютера, но насколько хорошо он будет воспроизведен на печати?

Бандинг

Когда речь идет о какой-либо традиционной печати, «ступеньки» от 0 до 100%, в лучшем случае, будут относительным понятием. На деле от 0 до 100 у нас будет только шагов 20. Это цветовой переход с шагом 5%, и это при сильно специализированной печати. Чаще всего, при увеличении градиента неизбежно происходит бандинг («полосатость»). И наоборот, когда градиент уменьшается, он часто становятся размытым или мутным.

Бандинг может быть намеренно включен в дизайн, и обычно это реализуется так, чтобы в цветовом переходе использовались смесевые цвета. Например, красная полоса, оранжевая полоса, золотая полоса; или максимум десять шагов по 10% каждый, где значение каждого шага фактически является частью дизайна. Стандартом в определении цвета для печати является система цветов Pantone Color Matching System, и каждый из десяти шагов на самом деле соответствует определенному номеру цвета Pantone, что делает каждый шаг самостоятельным цветом, который может быть точно воспроизведен.

Проблема с бандингом, и градиентной заливкой вообще, в том, что их очень трудно воспроизвести в определенных форматах. При неправильном применении градиенты могут в итоге испортить привлекательный в остальном дизайн логотипа.

Сложности, связанные с использованием цвета и градиентов являются лишь одним примером того, почему для создания уникального и узнаваемого фирменного стиля для бизнеса, который также будет совместим с самым широким спектром производственных стандартов так важно работать с группой профессиональных дизайнеров.

Как гарантировать, что ваши цвета и градиенты будут выглядеть хорошо

Чтобы принять все эти факторы во внимание и заставить их гармонично работать при разработке логотипа необходим профессиональный графический дизайнер. Его обязанности – это не обязательно выбор базовых цветов, (в конце концов, клиент может иметь свое видение, которое всегда должно учитываться), но их эффективное включения в дизайн, который будет работать в любом требуемом формате, при этом передавая видение клиента и успешно воплощая идентичность бренда.

Протонный градиент и синтез АТФ

<< Молекулярная биология

Протонный градиент и синтез АТФ

Описание (перевод).
Концентрационный градиент играет важную роль в биологическом мире. Потенциальная энергия этих градиентов часто используется для совершения работы. Рассмотрим подробнее градиент концентрации ионов водорода. Ионы водорода также называются протонами.

Градиент – это наличие разницы в концентрации молекул одного типа между двумя областями. Это видео объясняет, как потенциальная энергия протонного градиента используется для соединения АДФ и фосфата в молекулу АТФ. В процессе этого синтеза участвует ферментативный комплекс – АТФ-синтаза.

Синтез АТФ за счет протонного градиента происходит в митохондриях. АТФ производится АТФ-синтазой – большим комплексом белков, связанных с мембраной. Здесь мы видим АТФ-синтазу вместе с другими мембранными белками. Обратите внимание на разницу в концентрации протонов между двумя сторонами мембраны. Эта разница называется градиентом концентрации протонов, или протонным градиентом. Энергия градиента используется для синтеза АТФ из АДФ и фосфата. Это происходит в АТФ-синтазе.

Один протон входит в АТФ-синтазу из межмембранного пространства, а второй покидает ее, уходя в матрикс. Мембранная часть АТФ-синтазы проворачивается, когда приходит новый протон. При прохождении трех протонов, в матрикс высвобождается достаточно энергии для синтеза одной молекулы АТФ. Так энергия протонного градиента используется для синтеза АТФ. Посмотрим на процесс еще раз. Обратите внимание, как протон входит в АТФ-синтазу, а затем покидает ее с другой стороны. Когда три протона перенесутся через мембрану будет синтезирована еще одна молекула АТФ. В этом примере протонный градиент достаточен для синтеза 6 молекул АТФ. Посмотрим, как будут синтезированы оставшиеся молекулы АТФ. Процесс завершился. Он привел к выравниванию концентрации протонов по обе стороны мембраны. В отсутствии градиента – нет больше энергии для синтеза АТФ.

В биологических системах градиент постоянно поддерживается. Градиент протонов в митохондриях генерируется при прохождении электронов по трем мембранным комплексам. Этот процесс показан на видео «Цепь переноса электронов».

Группа компаний «Градиент»

«Градиент» - одна из ведущих дистрибуторских компаний России в области потребительских товаров повседневного спроса (FMCG), основана в 1991 году.

«Градиент» является официальным дистрибутором более чем 100 зарубежных и отечественных производителей, среди них: Artdeco, Beiersdorf, Bourjois, Burnus, Colgate-Palmolive, Coty, Estee Lauder, Freudenberg, Johnson & Johnson, Kao Corporation, Reckitt Benckiser, SC Johnson, Schwarzkopf & Henkel, Unilever, UPECO.

Ассортимент компании насчитывает более 20000 наименований косметики, парфюмерии, бытовой химии, продукции для детей, товаров для дома и отдыха, средств личной гигиены и ухода.

С 2001 года «Градиент» осуществляет эксклюзивную дистрибуцию и продвижение портфеля международных марок, а с 2006 года развивает собственную марку декоративной косметики Vivienne Sabo.

Деятельность компании охватывает 77 субъектов Российской Федерации. Региональные центры «Градиента», имеющие собственную инфраструктуру и развитую сеть филиалов и партнеров, расположены в крупнейших городах страны: Москве, Екатеринбурге, Новосибирске, Перми, Ростове-на-Дону, Самаре, Тюмени, Уфе и Челябинске. 

Клиентами «Градиента» являются более 28000 компаний и частных предпринимателей, в их числе - федеральные торговые сети: «Иль Де Ботэ», «Л’Этуаль», Bon Joli, «Ашан», «Карусель», Real, «Азбука вкуса», «Виктория», «Перекресток», SPAR, «А5», «Ригла», «Старый лекарь», Leroy Merlin, OBI, «Детский мир», «Кенгуру», «Олант».

11 фото идей розового, синего и других цветов, пошаговая фотоинструкция

Выбрать только один цвет слишком трудно? Тогда предлагаем компромисс: соединяйте несколько оттенков в маникюре с градиентом

Маникюр с градиентом постепенно становится одним из вневременных нейл-трендов. В этом материале мы подробно объясним, что он собой представляет, и расскажем, какие виды маникюра-градиента существуют, что понадобится для создания такого дизайна и какие технологии выполнения этого эффекта существуют.

Маникюр-градиент — это что?

 © carolitasemmler

 © profi.nogti.studio

 © kosmetichka_samara

Градиент — это эффект омбре, плавный переход одного цвета в другой. В маникюре его используют, чтобы объединить два цвета или даже больше и при этом обойтись без резких линий и графичных блоков.

Выполняя такой маникюр, границы между цветами как бы размывают — в результате получается так, будто оттенки буквально растворяются друг в друге. Как же сделать на ногтях градиент? Фото и идеи ниже ответят на все вопросы и помогут подобрать лучший дизайн.

© nails_ekb_ekaterina

© an_hadjieva

© yuneil_master

© olala. nails.kzn

© nina_nailart_studio

© nogtisuharevo.minsk

Вернуться к оглавлению

Что понадобится для создания градиента на ногтях?

© kosmetichka_samara

Не имея необходимых материалов, к этому дизайну не подступиться. Но не стоит пугаться — градиент выполняется в самых разных техниках, и хотя бы один набор инструментов наверняка можно укомплектовать в каждом доме.

Губка

Специальный спонж идеально подойдет для создания градиента на ногтях, но его можно заменить и обычными хозяйственными губками. Для этого лучше всего подойдут меламиновые или другие губки с мелкими порами — просто отрежьте кусочек нужного вам размера.

Плоская или гребешковая кисть

Отличный выбор для начинающих. Такая кисть лучше всего подойдет для работы с гель-лаком. На базовый цвет на кончике или у основания ногтя наносится цвет градиента и гребешковой кистью плавно «растягивается» поперечными зигзагообразными движениями на нужную длину.

Веерная кисть

Эта техника тоже подходит для работы с гель-лаками. На ноготь у основания первым слоем наносится более светлая база, затем — промежуточный цвет, а на кончик — самый темный оттенок. После этого веерной кистью размываются границы цветов.

Пигмент

Техника, не требующая дополнительных инструментов, — это работа с пигментом. На липкую базу похлопывающими движениями с некоторым перехлестом наносятся пигменты. Эффект размытых границ создается благодаря мелким гранулам порошка. Идеально подходит для получения ультраяркого градиента на ногтях.

Акриловая пудра

Так же как и при работе с пигментом, выполнение градиента на ногтях с помощью акриловой пудры требует минимума инструментов: пудра наносится на базу похлопывающими движениями и создает эффект градиента за счет цвета или текстуры.

Аэрограф

Пожалуй, самый сложный в применении инструмент в этом списке — аэрограф. Он найдется в бьюти-арсенале далеко не у каждой любительницы домашнего маникюра и даже не у каждого профессионального мастера. Пользование аэрографом требует специальных навыков, но если их освоить, то при помощи этой техники вы получите самый плавный градиент на ногтях.

Глиттер и блестки

Еще один подход, который не потребует никаких дополнительных материалов, кроме, собственно, глиттера и блесток: вы просто аккуратно наносите их на липкую базу, избегая появления четких границ.

Аэропуфф

Достичь эффекта, близкого к результату, которого позволяет достичь аэрограф, можно при помощи специального спонжа — аэропуффа. В отличие от аппарата, он не требует специальных навыков и стоит недорого, а сама техника напоминает работу с губкой.

В большинстве случаев, независимо от выбора техники и инструмента, вам понадобится фольга или другой подходящий для палитры материал, чтобы смешивать цвета или промакивать губки и кисти. Кроме этого, разумеется, не обойтись без базы, лаков и топа, которые вы хотите использовать.

Закрепите знания, посмотрев наш видеоурок.

Вернуться к оглавлению

разные Варианты градиента

Мастера по маникюру придумали разные способы использования градиента в нейл-арте. Помогут выбрать маникюр-градиент фото с примерами ниже.

Вертикальный

Вертикальный градиент — самая знакомая вариация популярного дизайна, в котором один цвет переходит в другой по длине ногтя. Попробуйте повторить, например, с оттенком «Мастерица» от Essie.

Горизонтальный

Другой вариант градиента на ногтях — «растяжка» оттенков от одного края ногтя к другому, напоминающая игру яркого света на глянцевом покрытии.

© nails.w.heather

© nailsbykrista_ch

Угловой

Маникюр с градиентом под другим углом — диагональный или угловой переход цветов по ногтевой пластине.

Со стразами

Стразы в таком маникюре могут обыгрывать переход или создавать рисунок на фоне градиента.

© profi.nogti.studio

С глиттером, с блестками

Градиент с блестками, пожалуй, выглядит наиболее эффектно и отлично подходит для торжественных случаев или праздничных вечеринок.

© sphairandbeauty

© paigans_nails_and_beauty

На квадратных ногтях

Квадратная форма универсальна для любого градиента, в том числе углового или горизонтального. Попробуйте повторить, например, с оттенком «Мятная глазурь» от Essie.

На овальных и миндалевидных ногтях

Эта форма ногтей зрительно удлиняет пальцы. Этот визуальный эффект выгодно подчеркнет вертикальный градиент.

© lovenails_toronto

На коротких ногтях

Далеко не любой дизайн будет гармонично выглядеть на небольшой ногтевой пластине, но градиент можно считать счастливым исключением. Если выбрать вертикальный вариант градиента, то вы еще и вытянете ногти оптически.

© heroine.nyc

На длинных ногтях

В этом случае выбор вариантов градиента практически ничем не ограничен. Размер ногтевой пластины позволяет дополнять его при желании еще и дополнительными декоративными элементами.

Маникюр-градиент на нескольких ногтях

Всевозможные варианты градиента отлично дополнят однотонный маникюр в тех же тонах.

Полупрозрачный градиент

Такой минималистичный дизайн создает эффект градиента, «растворяющегося» в полупрозрачной основе.

Градиент на всю руку

© biscuitnails

Этот вариант будет выглядеть интересно при любой длине и форме ногтей и позволит обойтись без специальной техники. Однако потребует для создания эффекта градиента идеальной палитры для красивых переходов от пальца к пальцу.

Советуем почитать:

Вернуться к оглавлению

Маникюр-градиент с разными цветами

Освоить технику создания маникюра-градиента с разными цветами несложно, пусть и кажется, что красиво и аккуратно сделать такой нейл-арт может только профессионал в салоне.

© _hannahweir_

Белый градиент на ногтях

Белый удачно дополнит почти любой цвет, придав еще больше нежности пастельным оттенкам, а ярким и насыщенным — контрастности. При работе с последними плавного перехода можно добиться, добавив промежуточный, более светлый оттенок.

Бежевый маникюр-градиент

Бежевый градиент придаст мягкости нейтральным оттенкам, а в сочетании с белым бежевый способен создать оригинальную вариацию классического французского маникюра.

Маникюр-градиент розовый

Градиент в розовых тонах будет женственным и ярким на любой длине — зачем выбирать один оттенок розового, если можно выбрать сразу несколько?

Черный маникюр с градиентом

© kosmetichka_samara

Смелый дизайн, который будет привлекать внимание и в случае сочетания с глубокими и насыщенными оттенками, и в черно-белом варианте.

Красный маникюр-градиент

Новый взгляд на классические красные ногти.

Пригодится оттенок «На крючке» от Essie.

Холодный маникюр-градиент

Холодный градиент выгодно оттенит цвет кожи рук и подчеркнет форму ногтей.

Маникюр-градиент в огненных тонах

Такой пламенный дизайн возьмут на вооружение самые смелые, создавая на ногтях эффект языков пламени или закатных всполохов с оранжевыми, желтыми и красными оттенками.

Пастельный маникюр с градиентом

Нежный пастельный градиент производит воздушное «десертное» впечатление, какое бы направление перехода цветов вы ни выбрали.

© _hannahweir_

Маникюр с градиентом «день и ночь»

Этот дизайн стал популярен благодаря тому, что нетривиально подчеркивает форму ногтя, и традиционно делается на длинных миндалевидных ногтях или стилетах.

Радужный градиент

Кто сказал, что градиент должен ограничиваться двумя-тремя оттенками? В вашем распоряжении все цвета радуги!

Вернуться к оглавлению

градиент на ногтях: пошаговая инструкция

Для инструкции мы выбрали технику работы с губкой или аэропуффом и подобрали фото — создать градиент на ногтях будет под силу даже начинающим мастерицам.

  1. 1

    Первым делом нанесите на ногти прозрачную или белую базу, которая будет работать сразу на два результата. Во-первых, средство обеспечит хорошее сцепление с цветным лаком, во-вторых, сделает так, чтобы оттенок не «въедался» в ногтевую пластину.

    © Makeup.ru

  2. 2

    На одну половину ногтя нанесите лак более темного оттенка. Например, «На крючке» от Essie.

    © Makeup.ru

    Для второй половины ногтя используйте более светлый лак. Цветное покрытие, как обычно, сделайте в два слоя.

    © Makeup.ru

  3. 3

    Чтобы самостоятельно выполнить дизайн ногтей с градиентом, возьмите обычный спонж для макияжа. Нанесите на две его половины лаки тех оттенков, которые вы уже использовали. Затем прикладывайте спонж к границе между цветами, размывая ее. Важно наносить лак на спонж каждый раз перед тем, как обрабатываете отдельный ноготь.

    © Makeup.ru

    Действовать можно и по-другому: подготовьте на палитре градиент, который потом вы отпечатаете на ногтях с помощью спонжа. Нанесите на фольгу по капле лака каждого из выбранных цветов. На границе соприкосновения смешайте оттенки зубочисткой так, чтобы получился мягкий переход. Готовый градиент наберите на спонж и быстрыми промакивающими движениями нанесите на поверхность ногтей.

  4. 4

    Очистите кожу вокруг ногтей с помощью кисти, опустив ее предварительно в жидкость для снятия лака. Есть еще один эффективный способ — обработать кожу скошенным кончиком апельсиновой палочки, обернутым ватой, смоченной в этой жидкости.

    © Makeup.ru

  5. 5

    Пока вы убираете «помарки», покрытие сохнет. Теперь можно наносить прозрачный финиш.

    © Makeup.ru

Благодаря размытым границам в технике градиент можно сочетать, казалось бы, несочетаемые, даже взаимоисключающие цвета (попробуйте, например, синий с розовым).

Будьте смелее! Соединяйте в маникюре-градиенте не только оттенки из одной гаммы, но и самые неожиданные цвета. Вот еще несколько идей для вдохновения.

Вернуться к оглавлению

А вы пробовали самостоятельно сделать маникюр-градиент? Расскажите о своем опыте в комментариях!

Что такое градиентные линзы и для чего они нужны?

Использование солнцезащитных очков в качестве повседневного аксессуара в летний период давно является популярным среди людей любых возрастов. Такие очки помогают не только защитить глаза от пагубно влияющих на их сетчатку солнечных лучей, но и предотвратить развитие многих офтальмологических заболеваний.

Именно поэтому подходить к выбору очков, защищающих зрение от солнечного излучения, следует с особой внимательностью и осторожностью, ведь в зависимости от того, какое они имеют покрытие или оттенок, определяется оказываемый ими эффект.

Что такое градиентные линзы для очков?

Впервые столкнувшись с проблемой подбора солнцезащитных очков, многие задаются вопросом: какими они бывают и каким стоит отдать предпочтение?

На сегодняшний день одними из самых распространенных солнцезащитных очков считаются градиентные очки.

Градиент в очках — это особенность их стекол, заключающаяся в неравномерном тонирующем напылении, цвет которого плавно переходит от темных оттенков к светлым. Более глубокие тона, заполняющие верхнюю часть линзы, ограничивают проникновение солнечного света, в то время как более светлые или прозрачные цвета позволяют детально рассматривать предметы даже при переменной облачности, в сумерках или в тени. Таким образом, градиентные линзы обеспечивают значительное снижение нагрузки на глаза и формируют равномерное распределение света.

Виды градиентных линз в очках

Существует множество вариаций градиентных линз. Наиболее часто их различают по 4 признакам:

  1. По материалу изготовления — линзы могут быть стеклянными или пластиковыми.
  2. По направлению линии осветления: выделяют классический тип и тип особого назначения. Первый представляет собой стекло, имеющее затемненный верх и осветленный низ. Вид особого назначения корректируется специалистом в сфере оптики, что выполняется на заказ — в таком случае осветляется середина линзы, а ее верхний и нижний края затемняются.
  3. По наличию диоптрий — напыление наносят как на немедицинские солнцезащитные очки, так и на рекомендованные врачом.
  4. По степени затемнения линз — линзы могут пропускать от 3% до 100% солнечного излучения.

Все эти факторы учитываются при выборе градиентных солнцезащитных очков, поскольку влияют на их последующее воздействие на глаза.

Плюсы и минусы градиента в очках

Градиентные очки имеют ряд весомых преимуществ перед другими солнцезащитными очками:

  • Их не нужно снимать при смене освещенности — они позволяют видеть одинаково хорошо как в темном помещении, так и в ярко освещенном;
  • Они снижают интенсивность ультрафиолетовых лучей;
  • При их ношении четкость и палитра объектов не искажается;
  • Градиентные линзы могут назначаться при патологиях зрения и имеют невысокую стоимость.

Помимо этого, внешний вид такого аксессуара во многом превосходит однотонные линзы для очков: градиент выглядит куда интереснее и контролирует напряжение и усталость глаз. Это делает его популярным не только среди молодежи, но и среди взрослого поколения.

Среди недостатков выделяют только непригодность градиента для слабовидящих людей: в данном случае градиентные линзы сильно ухудшают видимость и не рекомендуются к применению тем, кто страдает близорукостью.

Как выбрать градиентные солнцезащитные очки?

Подходя к выбору солнцезащитных очков, в первую очередь обращают внимание на материал, из которого были изготовлены линзы. Они могут быть сделаны из стекла или из пластика.

Стеклянные линзы имеют ряд не только положительных, но и отрицательных характеристик. К положительным относят:

  • отсутствие искажения изображений;
  • стойкую защиту от ультрафиолета;
  • устойчивость к царапинам;
  • простоту в чистке.

Однако минусов у стеклянных градиентных очков не меньше: они состоят из хрупкого и легко бьющегося стекла, склонны часто запотевать и полностью противопоказаны для детей.

Пластиковые линзы, напротив, отличаются большим списком позитивных показателей. Они:

  • гарантируют защищенность от ультрафиолетовых лучей и абсолютное сохранение видимости;
  • устойчивы к царапинам и ударам;
  • имеют меньший вес, чем стеклянные, а потому более удобны;
  • отличаются большей безопасностью и прочностью при падении.

И все же даже пластиковые очки не способны дать гарантию полной защищенности для глаз: нередко люди, покупая товары непроверенных производителей оптики, сталкиваются с некачественными изделиями, которые не только пропускают солнечное излучение, но и значительно искажают зрительное восприятие неправильной окраской или распределением цвета линз.

Следует помнить, что подобный предмет гардероба, имеющий значение для поддержания определенного уровня здоровья глаз, требует высокого качества.

В зависимости от того, с какой целью приобретаются очки и в каких ситуациях будут использоваться, рекомендуется применение определенных цветов:

  • Для вождения: коричневый, медный, зеленый;
  • Для отдыха и рыбалки: оттенки бурого, желтого и серого;
  • Для общего расслабления глаз: зеленый.

Максимальную защиту для зрения обеспечивает коричневый цвет, в то время как зеленый считается наиболее подходящим для напряженной работы глаз (например, для поездок на автомобиле).

Вместе с этим обращают внимание на степень затемнения линз:

  • Нулевая — очки могут пропускать от 80 до 100% солнечных лучей. Используются исключительно для коррекции зрения или в качестве стильной детали для создания имиджа.
  • Первая — очки пропускают от 43 до 80% излучения. Такие очки подходят для ношения при облачной погоде.
  • Вторая — от 18 до 43% света проникают сквозь линзы. Применяются в условиях умеренно солнечной погоды;
  • Третья — самая комфортная и распространенная степень затемнения в очках — они пропускают от 8 до 18% лучей;
  • Четвертая — использующаяся в условиях не только яркого солнечного света, но и наличия огромного количества отражающих поверхностей (в горах и на водных объектах). Строго воспрещены для водителей.

Категория затемнения линз указывается на внутренней стороне дужек очков единичной цифрой или с приставкой «cat.».

Иные показатели градиентных очков такие, как их форма или размер, определяются исключительно индивидуальными вкусовыми предпочтениями человека. Поэтому, задаваясь вопросом «что такое градиентные очки и как правильно их выбрать?», необходимо ориентироваться не только на общепринятые стандарты ношения солнцезащитных очков, но и на собственный вкус.

Градиентные линзы в солнцезащитных очках: что это и чем они хороши

Мировые производители солнцезащитной оптики в погоне за модой и в стремлении угодить даже самым привередливым покупателям, выпускают очки в разнообразнейшей цветовой палитре. Но даже среди этого многообразия градиентные очки привлекают внимание своей необычностью.

 

 

Наверняка вы видели, или даже сами приобретали аксессуар с линзами, имеющими плавный переход цвета от светлого, почти прозрачного, до максимального затемнения. Но не все знают, что такие линзы называются градиентными, и технология их изготовления разработана не только с декоративными целями. Кроме своей необычной внешности, градиентные очки имеют множество полезных функций.

Что такое градиентные линзы

Слово «градиент» в переводе с латыни обозначает «идущий, изменяющийся, растущий». Если применить этот термин к цвету, то он будет обозначать плавное изменение, перетекание цвета из одного в другой, с попутным созданием новых,  необычных оттенков. 

 

Поэтому линзы, отличающиеся от обычных тем, что имеют не однородную, а изменяющуюся степень затемнения, называются градиентными.

 

Такие линзы бывают двух типов:

 

  • Обычный градиент. Меняющие интенсивность тонирования сверху вниз, от тёмной к светлой. Они закрывают доступ солнечных лучей, оставляя чёткую видимость находящихся на линии взгляда предметов.
  • Двойной градиент. Затемнённые сверху и снизу, со светлой центральной частью. Они блокируют не только излишек спадающих солнечных лучей, но и отражённые блики снизу.

 

Градиентные линзы появились сравнительно недавно, около 10 лет назад. Их используют в солнцезащитных очках самых разнообразных моделей, отличающихся по дизайну и цветовой гамме.

 

Что касается цвета самих линз, то чаще всего их выполняют в классических цветах:

 

  • Серый. Считается нейтральным, даёт минимальное искажение цветовосприятия.
  • Коричневый. Смягчает, гасит блики.

 

Но для любителей экзотики и оригинальности предусмотрены яркие цветные оттенки – голубые, зелёные, розовые и т.д.

Чем хороши градиентные очки

Что такое градиентные линзы, и какие они бывают, мы разобрались. Но чем же, кроме необычного вида, они отличаются от остальных очков?

 

Есть несколько причин, указывающих, что покупка очков с градиентными линзами вполне оправдана.

 

  • Адаптация к освещению. В условиях города, когда вам часто приходится переходить из помещений на улицу и обратно, это просто идеальный вариант. Вам не придётся то одевать, то снимать очки, в зависимости от смены освещённости и от перемены погоды. При любых условиях видимость будет чёткой и ясной.
  • Польза. Такое цветовое решение позволяет глазам меньше утомляться. Удобны и комфортны для вождения автомобиля – закрывая солнечные лучи и отблески снизу, оставляют чёткость видения приборной панели и дороги впереди. Особенно рекомендованы автомобилистам очки в жёлто-коричневых оттенках.
  • Стиль. Градиентные очки выглядят намного интереснее обычных. Почти у всех ведущих брендов есть коллекции с такими линзами, что даёт возможность выбрать оригинальную модель в любом стиле. Наиболее градиентное тонирование востребовано среди прекрасной половины человечества – переливы цвета добавляют загадочности и очарования женскому образу.

 

 

Как видите, современная наука позволяет создавать технологии изготовления солнцезащитных очков, сочетающих в себе красоту и пользу. И градиентные линзы – яркий пример такого сочетания.

Градиент (уклон) прямой

Градиент (также называемый уклоном) прямой линии показывает, насколько крута прямая линия.

Рассчитать

Для расчета градиента:

Разделите изменение высоты на изменение горизонтального расстояния

Градиент = Изменение Y Изменение X

Поиграйте (перетащите точки):

Примеры:

Градиент = 3 3 = 1

Таким образом, градиент равен 1

Градиент = 4 2 = 2

Линия круче, поэтому Градиент больше.

Градиент = 3 5 = 0,6

Линия менее крутая, поэтому Градиент меньше.

Положительный или отрицательный?

Двигаясь слева направо, велосипедист должен пройти P на выезде P Угол наклона:

При измерении линии:

  • Если начать слева и пройти через вправо, то
    положителен (а слева - отрицательно).
  • Вверх положительный , а вниз отрицательный

Градиент = −4 2 = −2

Эта линия идет на вниз на по мере вашего движения, поэтому градиент у нее отрицательный.

Прямо через


Градиент = 0 5 = 0

Линия, идущая прямо (по горизонтали), имеет нулевой градиент.

Прямо вверх и вниз

Градиент = 3 0 = undefined

Последний вариант немного сложен ... вы не можете разделить на ноль,
, поэтому градиент "прямой вверх и вниз" (вертикальной) линии "неопределен".

Взлетай и беги

Иногда горизонтальное изменение называется «бегом», а вертикальное изменение - «подъемом» или «падением»:

Это просто разные слова, никакие вычисления не меняются.

Градиент - Но почему? Интуитивная математика

Градиент - это своего рода многомерная версия производной, к которой мы привыкли, исходя из одномерного исчисления. Прежде чем начать, давайте на минутку рассмотрим "нормальную" производную одномерных функций, чтобы дать нам аналогию для работы. Когда мы говорим о производных, мы говорим о скорости изменения или наклоне касательной к нашей функции. Учитывая точку x , производная нашей функции в этой точке сообщает нам, насколько быстро она там увеличивается или уменьшается.


Мы обычно представляем эту скорость изменения как наклон касательной к графику в этой точке, и поэтому мы можем думать о производной как о функции, которая принимает точки и выплевывает наклоны


Полезный способ думать о производной - это как уровень. Когда вы устанавливаете уровень на книжной полке перед тем, как прикрепить ее к стене, вы измеряете, насколько книжная полка отклоняется от горизонтали, то есть ее скорость изменения в вертикальном направлении. Теперь изобразите, как поставить уровень на графике выше в точке, где мы нарисовали касательную линию.Маленький пузырь внутри поднимется вправо, указывая на положительный наклон или положительную производную.


Теперь производные - это такая приятная штука для функций с одной переменной, поэтому было бы неплохо, если бы существовал хороший способ обобщить их на реальные функции двух или более переменных. Чтобы все визуализации были простыми, мы будем говорить здесь только о реальных функциях двух переменных, которые могут быть изображены как поверхности над плоскостью (так же, как графики одномерного исчисления могут быть визуализированы как кривые над линией).

Конечно, все, что мы скажем о двух переменных функциях, распространяется на более высокие измерения, поэтому мы ничего не теряем, придерживаясь случая, который легко визуализировать. Причина этого в том, что отдельные вариативные функции сильно отличаются от всех своих многомерных собратьев тем, что в любой заданной точке существует только одно «направление изменения». Увидеть эту разницу легко, если вернуться к аналогии с уровнями.

Представьте себе график функции одной переменной как самый верхний гребень горы, и представьте, что вы идете по гребню с уровнем в руке.


Когда вы достигнете определенной точки на горизонтальной оси, скажите, что я кричу вам: «Эй! Какой наклон горного хребта, где вы находитесь?» И, без какой-либо дополнительной информации от меня, вы могли бы проложить уровень по касательной к гребню и посмотреть, куда уходит пузырь. «Похоже, наклон 10 градусов вверх!» Вы можете крикнуть в ответ, прочитав свой уровень, и я смогу легко это интерпретировать, поскольку я вижу, где вы находитесь, и есть только одно направление, в котором можно идти по гребню.

Сравните это с двухмерным случаем, где теперь вместо прогулки по гребню вы идете по холмистой горной долине.


Если вы стояли в определенной точке, и я спрашиваю вас, что такое уклон, вы могли бы очень хорошо сложить свой уровень (возможно, в том направлении, в котором вы шли) и прокричать, что он читает мне в ответ. Кажется, все хорошо, как и в случае с 1-м, мы можем использовать уровень для преобразования точек в уклоны. Однако здесь, на поверхности, нет единого направления, в котором можно было бы измерить уклон, а вместо этого их бесконечно много! Независимо от того, в какую сторону вы повернетесь, стоя в этой точке, вы можете опустить свой уровень и снять показания, таким образом давая значение для наклона в этой точке.Чтобы убедиться, что эти склоны не обязательно должны быть одинаковыми, предположим, что на горе есть сеть пешеходных троп, которые пересекаются в определенных точках.


Если бы вы стояли на переднем перекрестке трасс, изображенных здесь, в зависимости от того, на какой тропе вы застряли, на уровне, вы бы получили очень разные значения уклона (передний-задний след увеличивается намного быстрее, чем левый-правый. тропа, например).

Помните, наша конечная цель - создать производную для этих двумерных функций, поэтому нам нужен какой-то способ присвоения наклонов различным точкам.Приведенный выше пример должен прояснить, что это не так просто, как в одномерном случае, потому что поверхности могут наклоняться на разную величину в разных направлениях от точки. Таким образом, вместо этого было бы проще искать «производную», которая присваивает уклон каждой комбинации точки И направления.


Поскольку существует множество направлений, в которых вы можете двигаться, начиная с одной точки, мы хотели бы собрать все эти уклоны (выражаясь математикой, производные по направлениям) вместе и привязать математический объект к каждой точке, который хранит уклон во всех направлениях.Это кажется хорошим обобщением производной с одной переменной на функции более высокой размерности, потому что 1-мерная версия также хранит наклон во всех направлениях: так уж получилось, что есть только 1 направление, с которого можно начать!

Учитывая двумерную функцию f , мы будем ссылаться на ее производную (или совокупность всех ее производных по направлениям) как градиент f , записанный как

Сказать, что эта производная «хранит» все производные по направлениям, мы имеем в виду, что с учетом градиента и направления мы можем немедленно восстановить наклон нашей функции в этом направлении.В немного более математической терминологии;


Это дает нам небольшое представление о том, что за объект может быть сам градиент (заметьте, до сих пор мы действительно не знаем; из определения, которое мы дали, он вполне может быть гигантским списком всех возможных производных по направлению !). Поскольку для данного вектора и градиента мы хотим вернуть наклон (скаляр), градиент должен быть некоторым объектом, который в сочетании с вектором может дать скаляр. Если бы градиент был также вектором, у нас было бы именно то, что нам нужно, поскольку скалярное произведение двух векторов является скаляром! Это дает нам новое, более точное определение градиента.

Градиент - это уникальное векторное поле, проекция которого вдоль любого направления является в точности производной по направлению в этом направлении.

Уравнение, неявно определяющее это векторное поле, имеет вид

Итак, по крайней мере, мы знаем, как изобразить градиент; для двумерной функции это будет выглядеть как связка стрелок на плоскости. Фактически, мы можем добиться гораздо большего, потому что градиент должен кодировать все частных производных по замыслу, его векторное поле имеет очень специфическую и легко интерпретируемую форму: поле градиента всегда указывает вверх.Ниже приведено изображение функции и ее градиента, чтобы проиллюстрировать это, и мы немного уточним это утверждение.

Двумерная функция на плоскости.

Его уклон со всеми векторами, направленными вверх (к вершине).

Чтобы понять, почему именно так ведет себя градиент, полезно подумать о контурных картах. Отправляясь в поход, часто бывает полезно обратиться к контурной карте, чтобы получить представление об уровне местности. Эти карты отображают линии постоянной высоты; а расстояние между линиями дает представление о крутизне ландшафта.

Где бы вы ни стояли на этом ландшафте, есть «контурная линия», которая представляет собой линию постоянного возвышения (изображая себя на склоне горы лицом к вершине, слева и справа от вас будут направления постоянного подъема, и вы идете по нему. этот контур не приведет вас ни вверх, ни вниз по горе). Поскольку вдоль контурных линий изменение высоты равно нулю, это означает, что производная по направлению вдоль контура равна нулю. Математически, если v находится в направлении контурной линии,.Но мы знаем, что скалярное произведение градиента и направления по определению является производной по направлению, поэтому мы имеем

. Когда скалярное произведение двух векторов равно нулю, мы знаем, что эти два вектора перпендикулярны. Это говорит нам об еще одном очень полезном свойстве градиента:

Градиент везде перпендикулярен контурным линиям функции

Если снова представить себя на горе, легко увидеть, что направление без наклона перпендикулярно. в направлении, которое ведет прямо вверх / вниз.Таким образом, это говорит нам, что вектор градиента должен указывать либо в направлении наибольшего увеличения функции, либо в направлении наибольшего убывания. Чтобы увидеть, что он на самом деле указывает в сторону наибольшего увеличения, представьте себя на склоне горы лицом прямо к вершине. Наклон в том направлении, в котором вы стоите, очевидно, положительный, так как он ведет к вершине горы. Допустим, это направление задается вектором и . Тогда производная по направлению в направлении и должна быть положительной и фактически должна быть максимальным значением любой производной по направлению (если вы повернетесь под любым углом, кроме прямого вверх, наклон вверх будет меньше).Это говорит нам, что

Что, как мы знаем из свойств скалярного произведения в линейной алгебре, означает, что вектор градиента и и параллельны. Поскольку мы выбрали и в качестве вектора, указывающего в направлении наибольшего увеличения, это дает нам еще одно полезное свойство градиента:

Градиент указывает в направлении наибольшего увеличения функции в каждой точке

Далее, поскольку мы знаем это, и поскольку и параллельны градиенту, величина градиента - это просто значение этой производной по направлению (максимальная производная по направлению в этой точке).Это дает последнее свойство, необходимое для геометрической характеристики градиента.

Величина градиента - это значение максимальной производной по направлению в точке

На приведенном ниже рисунке показан контурный график вышеупомянутой функции, наложенный на поле вектора градиента. Вы можете видеть, что градиент всегда перпендикулярен контурам, направлен вверх, а размеры векторов масштабируются в зависимости от крутизны ландшафта, как мы и утверждали.


На данный момент у нас есть две полезные характеристики градиента, которые следует иметь в виду, но они не очень помогают нам в явном вычислении градиента функции:

  • Градиент - это уникальное векторное поле, проекция которого на любое направление дает производную по направлению
  • Градиент - это векторное поле, которое указывает в направлении наиболее быстрого увеличения функции, длина которого является скоростью увеличения в этом направлении
Однако, Было бы неплохо с вычислительной точки зрения иметь формулу для градиента, которая позволила бы нам легко вычислить.К счастью, такую ​​формулу довольно легко вывести из нашей первой характеристики. Чтобы получить хорошее описание поля градиента, нам нужно выбрать систему координат для работы, и для простоты мы будем придерживаться декартовых координат. Здесь у нас есть два базисных вектора; одна параллельна оси x и одна - оси y, каждая имеет единицу длины. Мы хотим выразить градиент в этой основе, то есть мы хотим написать что-то вроде

. Х-компонент градиента - это просто его проекция на вектор e1 , а Y-компонента - это его проекция на e2 . , или более математически,



Но из самого определения градиента мы знаем, что проекция на вектор направления оси x является производной по направлению вдоль x, а проекция на ось y является производной по направлению вдоль оси x. у.В декартовых координатах эти две производные по направлению имеют специальные имена; они являются частными производными от f по x и y. То есть

, что дает нам наше координатное представление: оказывается, градиент - это просто вектор, состоящий из частных производных по каждой координатной оси!


Фактически, это координатное представление градиента часто принимается за определение , что полезно в вычислительном отношении, но не будет для нас почти такой же полезной, как две предыдущие геометрические характеристики при дальнейшем обсуждении векторного исчисления.

Все три способа мышления о градиенте естественным образом распространяются на пространства более высоких измерений, в первых двух вам просто нужно иметь в виду, что есть еще дополнительных возможных направлений для производных по направлениям / для направления градиента, а в координатном представлении вам просто нужно добавить больше частных производных к вектору. Например, градиент реальной функции 3 переменных может быть представлен


В декартовых координатах.


Определение градиента - объяснение и примеры

Следующие свойства градиента помогают понять ориентацию линии.

Для линии, нарисованной в n-мерном пространстве, градиент линии относительно определенного измерения называется ее производной по направлению.

Концепция частной производной помогает найти производную по направлению. И он представлен как \ (\ frac {\ delta y} {\ delta x} \)

Это представляет собой уравнение линии в трехмерном массиве.

Здесь частная производная относительно x дает производную по направлению в направлении оси x. В этом выражении z рассматривается как константа.

\ [\ begin {align} \ frac {\ delta y} {\ delta x} & = \ frac {\ delta} {\ delta x} (5x + 4z + 3xz + 11) \\ \ frac {\ delta y} {\ delta x} & = \ frac {\ delta} {\ delta x} (5x) + \ frac {\ delta} {\ delta x} (4z) + \ frac {\ delta} {\ delta x} (3xz)
+ \ frac {\ delta} {\ delta x} (11) \\\ frac {\ delta y} {\ delta x} & = 5 (1) + 0 + 3 (1) z + 0 \\\ frac { \ delta y} {\ delta x} & = 5 + 3z \ end {align} \]

\ (\ следовательно \) 5 + 3z - это производная по направлению уравнения прямой относительно оси x.0 \\ m & = \ sqrt3 \ end {align} \]

\ (\ следовательно \) Наклон лестницы равен \ (\ sqrt 3 \)

Альберт отмечает две точки (4, 3) и (6, 7) на миллиметровой бумаге и проводит линию, проходящую через эти точки. Найдите градиент линии.

Решение

Даны точки \ ((x_1, y_1) \) = (4, 3) и \ ((x_2, y_2) \) = (6, 7)

Уклон - это наклон (м) линии, соединяющей эти точки.2 + 4 (1) - 5 \\ m & = 3 + 4-5 \\ m & = 7-5 \\ m & = 2 \ end {align} \]

\ (\ следовательно \) Наклон касательной равен 2

Шерил рисует две параллельные линии, и уравнение одной линии равно 2x - y + 5 = 0. Найдите градиент другой линии.

Решение

Данное уравнение прямой имеет вид 2x - y = 5

Кроме того, градиент двух параллельных линий равен.

Найдем градиент этой линии.

\ [\ begin {align} 2x -y + 5 & = 0 \\ -y & = -2x -5 \\ y & = 2x + 5 \ end {align} \]

Сравнивая это с формой пересечения наклона уравнения y = mx + c, мы имеем m = 2

Наклон этой линии равен 2

Следовательно, требуемый уклон параллельной линии равен m = 2

\ (\ следовательно \) Наклон параллельной линии равен 2

Учитель просит Сэма нарисовать набор перпендикулярных линий и записать наклон одной линии как 2.Помогите Сэму найти наклон другой линии.

Решение

Наклон данной прямой равен \ (m_1 \) = 2

Произведение наклонов двух перпендикулярных линий равно -1

\ [\ begin {align} m_1.m_2 & = -1 \\ 2 \ times m_2 & = -1 \\ m_2 & = \ frac {-1} {2} \ end {align} \]

\ (\ следовательно \) Наклон линии равен \ (\ frac {-1} {2} \)

Интерактивные вопросы по градиенту

Вот несколько занятий для вас.Выберите / введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.


Подведем итоги

Мини-урок был посвящен увлекательной концепции градиента. Математическое путешествие по градиенту началось с основ градиента и продолжилось творческой разработкой новой концепции, включающей формулы и уравнения. Сделано таким образом, чтобы оно не только было понятным и понятным, но и навсегда осталось с ними.

О компании Cuemath

В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-обучение-обучение» учителя исследуют тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любые другие формы отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и интеллектуальный подход к обучению.


Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1.Какое определение градиента?

Градиент - это наклон линии. Он измеряется как угол между линией и опорной осью абсцисс. Кроме того, две точки на линии или уравнение линии помогают найти градиент.

\ [m = tan \ theta = \ frac {y_2 - y_1} {x_2 - x_1} = \ frac {d} {dx} .f (x) \]

2. Что такое градиент матрицы?

Для матрицы, содержащей в качестве элементов различные функции (уравнения), производная этих элементов, представленная в матричной форме, называется градиентом матрицы.

3. Для чего нужен градиент в математике?

В математике градиент используется для определения угла между двумя линиями. Как правило, одна из линий считается горизонтальной линией, параллельной оси x или оси x, а угол, который она составляет с другой линией, называется градиентом этой линии.

Если угол между линиями равен \ (\ theta \), то градиент \ (m = tan \ theta \).

Что такое градиент в машинном обучении?

Градиент - широко используемый термин в оптимизации и машинном обучении.

Например, нейронные сети с глубоким обучением подходят с использованием стохастического градиентного спуска, а многие стандартные алгоритмы оптимизации, используемые для согласования с алгоритмами машинного обучения, используют информацию о градиенте.

Чтобы понять, что такое градиент, вам нужно понять, что такое производная из области исчисления. Это включает в себя, как рассчитать производную и интерпретировать значение. Понимание производной напрямую применимо к пониманию того, как вычислять и интерпретировать градиенты, используемые в оптимизации и машинном обучении.

В этом руководстве вы откроете для себя легкое введение в производную и градиент в машинном обучении.

После прохождения этого руководства вы будете знать:

  • Производная функции - это изменение функции для заданного входа.
  • Градиент - это просто производный вектор для многомерной функции.
  • Как вычислять и интерпретировать производные простой функции.

Приступим.

Что такое градиент в машинном обучении?
Фото Роаниша, некоторые права защищены.

Обзор учебного пособия

Это руководство разделено на пять частей; их:

  1. Что такое производная?
  2. Что такое градиент?
  3. Рабочий пример расчета производных
  4. Как интерпретировать производную
  5. Как вычислить производную функции

Что такое дериватив?

В исчислении производная - это скорость изменения в заданной точке вещественной функции.

Например, производная f '(x) функции f () для переменной x - это скорость изменения функции f () в точке x .

Это может сильно измениться, например быть очень изогнутым или может немного измениться, например небольшой изгиб, или он может вообще не измениться, например плоский или стационарный.

Функция является дифференцируемой, если мы можем вычислить производную во всех точках ввода для переменных функции. Не все функции дифференцируемы.

После того, как мы вычислим производную, мы можем использовать ее по-разному.

Например, учитывая входное значение x и производную в этой точке f '(x) , мы можем оценить значение функции f (x) в ближайшей точке delta_x (изменение в x ) с использованием производной:

  • f (x + delta_x) = f (x) + f '(x) * delta_x

Здесь мы видим, что f '(x) - это линия, и мы оцениваем значение функции в ближайшей точке, перемещаясь вдоль линии на delta_x .

Мы можем использовать производные в задачах оптимизации, поскольку они говорят нам, как изменить входные данные целевой функции таким образом, чтобы увеличить или уменьшить выход функции, чтобы мы могли приблизиться к минимуму или максимуму функции.

Производные полезны при оптимизации, поскольку они предоставляют информацию о том, как изменить заданную точку, чтобы улучшить целевую функцию.

- стр.32, Алгоритмы оптимизации, 2019.

Поиск линии, которая может быть использована для аппроксимации ближайших значений, было основной причиной начального развития дифференциации.Эта линия называется касательной или наклоном функции в данной точке.

Задача нахождения касательной к кривой […] включает нахождение того же типа предела […] Этот особый тип предела называется производной, и мы увидим, что его можно интерпретировать как скорость изменения любого наук или техники.

- стр. 104, Исчисление, 8-е издание, 2015 г.

Пример касательной точки для функции приведен ниже, взятый на странице 19 «Алгоритмы для оптимизации.”

Касательная функция в заданной точке
Взято из алгоритмов оптимизации.

Технически описанная производная называется первой производной или производной первого порядка.

Вторая производная (или производная второго порядка) - это производная функции производной. То есть скорость изменения скорости изменения или насколько изменяется изменение функции.

  • Первая производная : скорость изменения целевой функции.
  • Вторая производная : Скорость изменения первой производной функции.

Естественным использованием второй производной является аппроксимация первой производной в ближайшей точке, точно так же, как мы можем использовать первую производную для оценки значения целевой функции в соседней точке.

Теперь, когда мы знаем, что такое производная, давайте взглянем на градиент.

Что такое градиент?

Градиент - это производная функции, которая имеет более одной входной переменной.

Это термин, используемый для обозначения производной функции с точки зрения области линейной алгебры. В частности, когда линейная алгебра встречается с исчислением, это называется векторным исчислением.

Градиент - это обобщение производной на функции многих переменных. Он фиксирует локальный наклон функции, позволяя нам предсказать эффект небольшого шага из точки в любом направлении.

- Стр.21, Алгоритмы оптимизации, 2019.

Несколько входных переменных вместе определяют вектор значений, например.грамм. точка во входном пространстве, которая может быть предоставлена ​​целевой функции.

Производная целевой функции с вектором входных переменных аналогично является вектором. Этот вектор производных для каждой входной переменной и есть градиент.

  • Градиент (векторное исчисление) : вектор производных для функции, которая принимает вектор входных переменных.

Вы могли вспомнить из школьной алгебры или предварительного вычисления, градиент также обычно относится к наклону линии на двумерном графике.

Рассчитывается как увеличение (изменение по оси Y) функции, деленное на прогон (изменение по оси X) функции, упрощенное до правила: « превышение прогона »:

  • Градиент (алгебра): Наклон линии, рассчитанный как подъем за пробег.

Мы видим, что это простая и грубая аппроксимация производной функции с одной переменной. Производная функция из исчисления более точна, поскольку она использует пределы, чтобы найти точный наклон функции в точке.Эта идея градиента из алгебры связана, но не имеет прямого отношения к идее градиента, используемой в оптимизации и машинном обучении.

Функция, которая принимает несколько входных переменных, например вектор входных переменных может называться многомерной функцией.

Частная производная функции по переменной является производной при условии, что все другие входные переменные остаются постоянными.

- стр.21, Алгоритмы оптимизации, 2019.

Каждый компонент градиента (вектор производных) называется частной производной целевой функции.

Частная производная предполагает, что все другие переменные функции остаются постоянными.

  • Частная производная : Производная для одной из переменных многомерной функции.

В линейной алгебре полезно работать с квадратными матрицами, а квадратная матрица производных второго порядка называется матрицей Гессе.

Гессиан многомерной функции - это матрица, содержащая все вторые производные по входу

- Стр.21, Алгоритмы оптимизации, 2019.

Мы можем использовать градиент и производную как взаимозаменяемые, хотя в областях оптимизации и машинного обучения мы обычно используем « gradient », поскольку мы обычно имеем дело с многомерными функциями.

Интуиция для производной переводится непосредственно в градиент, только с большим количеством измерений.

Теперь, когда мы знакомы с идеей производной и градиента, давайте посмотрим на рабочий пример вычисления производных.

Рабочий пример расчета производных

Сделаем производный бетон на отработанном примере.

Во-первых, давайте определим простую одномерную функцию, которая возводит входные данные в квадрат и определяет диапазон допустимых входных значений от -1,0 до 1,0.

В приведенном ниже примере представлены входные данные этой функции с шагом 0,1, вычисляется значение функции для каждого входа и отображается результат.

# график простой функции из numpy import arange из matplotlib import pyplot # целевая функция def objective (x): возврат x ** 2,0 # определить диапазон для ввода r_min, r_max = -1,0, 1,0 # образец входного диапазона равномерно с шагом 0,1 входы = arange (r_min, r_max + 0,1, 0,1) # вычислительные цели результаты = цель (исходные данные) # создать линейный график ввода и результата pyplot.plot (входные данные, результаты) # показать сюжет пиплот.показать ()

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

140002

13

14

18

# график простой функции

из numpy import arange

из matplotlib import pyplot

# target function

def objective (x):

return x ** 2.0

# определить диапазон для входа

r_min, r_max = -1.0, 1.0

# выборка входного диапазона равномерно с шагом 0,1

inputs = arange (r_min, r_max + 0,1, 0,1)

# вычислить цели

результатов = цель (входные данные)

# создать линейный график входных данных и результатов

pyplot.plot (входные данные, результаты)

# показать график

pyplot.show ()

При выполнении примера создается линейный график входных данных функции (ось x) и вычисленных выходных данных функции (ось y).

Мы видим знакомую U-образную форму, называемую параболой.

Линейный график простой одномерной функции

Мы можем видеть большие изменения или крутые кривые по бокам формы, где мы ожидаем большой производной, и плоскую область в середине функции, где мы ожидаем малую производную.

Давайте подтвердим эти ожидания, вычислив производную на -0,5 и 0,5 (крутой) и 0,0 (плоский).

Производная функции рассчитывается следующим образом:

В приведенном ниже примере вычисляются производные для конкретных входных точек для нашей целевой функции.

# вычисляем производную целевой функции # производная целевой функции def производная (x): return x * 2.0 # вычислить производные d1 = производная (-0,5) print ('f \' (- 0,5) =% .3f '% d1) d2 = производная (0,5) print ('f \' (0.5) =% .3f '% d2) d3 = производная (0,0) print ('f \' (0.0) =% .3f '% d3)

# вычислить производную целевой функции

# производную целевой функции

def производная (x):

return x * 2.0

# вычислить производные

d1 = производная (-0,5)

print ('f \' (- 0,5) =% .3f '% d1)

d2 = производная (0,5)

print (' f \ '(0,5) =% .3f'% d2)

d3 = производная (0,0)

print ('f \' (0,0) =% .3f '% d3)

При выполнении примера распечатываются производные значения для определенных входных значений.

Мы видим, что производная в крутых точках функции равна -1 и 1, а производная для плоской части функции равна 0.0.

f '(- 0,5) = -1,000 f '(0,5) = 1.000 f '(0,0) = 0,000

f '(- 0,5) = -1,000

f' (0,5) = 1.000

f '(0,0) = 0,000

Теперь, когда мы знаем, как вычислять производные функции, давайте посмотрим, как мы можем интерпретировать значения производных.

Как интерпретировать производную

Значение производной можно интерпретировать как скорость изменения (величину) и направление (знак).

  • Величина производной : Насколько изменится.
  • Знак производной : Направление изменения.

Производная 0,0 указывает на отсутствие изменений целевой функции, называемой стационарной точкой.

Функция может иметь одну или несколько стационарных точек, а локальный или глобальный минимум (дно долины) или максимум (вершина горы) функции являются примерами стационарных точек.

Точки уклона в направлении наискорейшего подъема касательной гиперплоскости…

- стр.21, Алгоритмы оптимизации, 2019.

Знак производной сообщает вам, увеличивается или уменьшается целевая функция в этой точке.

  • Положительная производная : функция увеличивается в этой точке.
  • Отрицательная производная : функция уменьшается в этой точке

Это может сбивать с толку, потому что, глядя на график из предыдущего раздела, значения функции f (x) увеличиваются по оси Y для -0,5 и 0,5.

Уловка здесь в том, чтобы всегда читать график функции слева направо, т.е.грамм. следуйте значениям на оси Y слева направо для ввода значений x.

Действительно, значения около x = -0,5 уменьшаются, если читать слева направо, следовательно, отрицательная производная, а значения около x = 0,5 увеличиваются, следовательно, положительная производная.

Мы можем представить, что если бы мы хотели найти минимумы функции в предыдущем разделе, используя только информацию о градиенте, мы бы увеличили входное значение x, если градиент был отрицательным, чтобы идти вниз, или уменьшили бы значение входа x, если градиент был положительным для спуска.

Это основа для класса алгоритмов оптимизации градиентного спуска (и градиентного подъема), которые имеют доступ к информации о градиенте функции.

Теперь, когда мы знаем, как интерпретировать производные значения, давайте посмотрим, как мы можем найти производную функции.

Как вычислить производную функции

Нахождение производной функции f '() , которая выводит скорость изменения целевой функции f () , называется дифференцированием.

Существует множество подходов (алгоритмов) вычисления производной функции.

В некоторых случаях мы можем вычислить производную функции с помощью инструментов исчисления либо вручную, либо с помощью автоматического решателя.

Общие классы методов вычисления производной функции включают:

Библиотека SymPy Python может использоваться для символьного дифференцирования.

Вычислительные библиотеки, такие как Theano и TensorFlow , можно использовать для автоматического различения.

Существуют также онлайн-сервисы, которыми вы можете воспользоваться, если вашу функцию легко указать в виде обычного текста.

Одним из примеров является веб-сайт Wolfram Alpha, который рассчитает производную функции за вас; например:

Не все функции дифференцируемы, а некоторые дифференцируемые функции могут затруднить поиск производной некоторыми методами.

Вычисление производной функции выходит за рамки этого руководства. Проконсультируйтесь с хорошим учебником по математическому анализу, например, из раздела для дальнейшего чтения.

Дополнительная литература

Этот раздел предоставляет дополнительные ресурсы по теме, если вы хотите углубиться.

Книги

Статьи

Сводка

В этом руководстве вы обнаружили легкое введение в производную и градиент в машинном обучении.

В частности, вы выучили:

  • Производная функции - это изменение функции для заданного входа.
  • Градиент - это просто производный вектор для многомерной функции.
  • Как вычислять и интерпретировать производные простой функции.

Есть вопросы?
Задайте свои вопросы в комментариях ниже, и я постараюсь ответить.

Что такое градиентный спуск? Быстрое и простое введение

Градиентный спуск - безусловно, самая популярная стратегия оптимизации, используемая в настоящее время в машинном обучении и глубоком обучении. Он используется при обучении моделей данных, может быть объединен с любым алгоритмом, прост для понимания и реализации.Каждый, кто работает с машинным обучением, должен понимать его концепцию. Мы рассмотрим, как работает градиентный спуск, какие его типы используются сегодня, а также его преимущества и недостатки.

Содержание

  • Введение
  • Что такое градиент?
  • Как это работает
  • Скорость обучения
  • Как убедиться, что он работает правильно
  • Типы градиентного спуска: пакетный, стохастический, мини-пакетный)

Введение в градиентный спуск

Градиентный спуск - это используемый алгоритм оптимизации при обучении модели машинного обучения.Он основан на выпуклой функции и итеративно настраивает ее параметры, чтобы минимизировать данную функцию до ее локального минимума.

Что такое градиентный спуск?

Градиентный спуск - это алгоритм оптимизации для поиска локального минимума дифференцируемой функции. Градиентный спуск просто используется для нахождения значений параметров функции (коэффициентов), которые минимизируют функцию стоимости, насколько это возможно.

Вы начинаете с определения значений начальных параметров, а затем градиентный спуск использует исчисление для итеративной корректировки значений, чтобы они минимизировали данную функцию стоимости.Чтобы полностью понять эту концепцию, важно знать о градиентах.

Что такое градиент?

«Градиент измеряет, насколько изменится вывод функции, если вы немного измените входы». - Лекс Фридман (Массачусетский технологический институт)

Градиент просто измеряет изменение всех весов с учетом изменения ошибки. Вы также можете думать о градиенте как о наклоне функции. Чем выше уклон, тем круче уклон и тем быстрее модель может учиться.Но если наклон равен нулю, модель перестает учиться. С математической точки зрения градиент - это частная производная по отношению к входным параметрам.

Представьте себе человека с завязанными глазами, который хочет подняться на вершину холма с наименьшим количеством шагов по пути. Он может начать восхождение на холм, делая действительно большие шаги в самом крутом направлении, что он может делать, пока не окажется близко к вершине. Однако по мере того, как он приближается к вершине, его шаги будут становиться все меньше и меньше, чтобы не перескочить через нее.Математически этот процесс можно описать с помощью градиента.

Представьте, что изображение ниже иллюстрирует наш холм сверху вниз, а красные стрелки - это шаги нашего альпиниста. Подумайте о градиенте в этом контексте как о векторе, который содержит направление самого крутого шага, который может сделать человек с завязанными глазами, а также длину этого шага.

Обратите внимание, что градиент от X0 до X1 намного длиннее, чем градиент от X3 до X4. Это потому, что крутизна / уклон холма, который определяет длину вектора, меньше.Это прекрасно представляет собой пример холма, потому что по мере подъема холм становится менее крутым. Следовательно, уменьшенный уклон сопровождается уменьшенным уклоном и уменьшенным размером ступеньки для альпиниста.

Как работает градиентный спуск

Вместо подъема на холм представьте себе градиентный спуск как спуск на дно долины. Это лучшая аналогия, потому что это алгоритм минимизации, который минимизирует данную функцию.

Уравнение ниже описывает, что делает градиентный спуск: b - следующая позиция нашего альпиниста, а a - его текущая позиция.Знак минус указывает на минимизирующую часть градиентного спуска. Гамма в середине - это фактор ожидания, а градиентный член (Δf (a)) - это просто направление наискорейшего спуска.

Итак, эта формула в основном говорит нам, в какую следующую позицию нам нужно перейти, то есть в направлении наиболее крутого спуска. Давайте посмотрим на другой пример, чтобы по-настоящему реализовать концепцию.

Представьте, что у вас есть проблема с машинным обучением и вы хотите обучить свой алгоритм с помощью градиентного спуска, чтобы минимизировать функцию затрат J ( w , b ) и достичь своего локального минимума, настроив его параметры ( w и б ).На изображении ниже горизонтальные оси представляют параметры ( w и b ), а функция стоимости J ( w , b ) представлена ​​на вертикальных осях. Градиентный спуск - это выпуклая функция.

Мы знаем, что хотим найти значения w и b , которые соответствуют минимуму функции стоимости (отмечены красной стрелкой). Чтобы начать поиск правильных значений, мы инициализируем w и b некоторыми случайными числами.Затем градиентный спуск начинается в этой точке (где-то в верхней части нашей иллюстрации), и он делает один шаг за другим в самом крутом нисходящем направлении (то есть сверху вниз на иллюстрации), пока не достигнет точки, в которой стоимость функция как можно меньше.

Важность скорости обучения

Насколько велики шаги градиентного спуска в направлении локального минимума, определяется скоростью обучения, которая определяет, насколько быстро или медленно мы будем двигаться к оптимальным весам.

Чтобы градиентный спуск достиг локального минимума, мы должны установить скорость обучения на соответствующее значение, которое не является ни слишком низким, ни слишком высоким. Это важно, потому что, если шаги, которые он делает, слишком велики, он может не достичь локального минимума, потому что он отскакивает назад и вперед между выпуклой функцией градиентного спуска (см. Левое изображение ниже). Если мы установим скорость обучения на очень маленькое значение, градиентный спуск в конечном итоге достигнет локального минимума, но это может занять некоторое время (см. Изображение справа).

Таким образом, скорость обучения никогда не должна быть слишком высокой или слишком низкой по этой причине. Вы можете проверить, насколько хорошо вы обучаетесь, нанеся его на график.

Как убедиться, что он работает правильно

Хороший способ убедиться, что градиентный спуск работает правильно, - это построить график функции стоимости в процессе оптимизации. Поместите количество итераций на ось x и значение функции затрат на ось y. Это помогает вам увидеть значение вашей функции затрат после каждой итерации градиентного спуска и дает возможность легко определить, насколько уместна ваша скорость обучения.Вы можете просто попробовать разные значения для него и построить их все вместе. На левом изображении ниже показан такой график, а на изображении справа показана разница между хорошей и плохой скоростью обучения.

Если градиентный спуск работает правильно, функция стоимости должна уменьшаться после каждой итерации.

Когда градиентный спуск больше не может уменьшать функцию затрат и остается более или менее на том же уровне, он сходится. Количество итераций, необходимых для схождения градиентного спуска, иногда может сильно различаться.Это может занять 50, 60 000 или, может быть, даже 3 миллиона итераций, что затрудняет предварительную оценку количества итераций до сходимости.

Есть несколько алгоритмов, которые могут автоматически сказать вам, сходится ли градиентный спуск, но вы должны заранее определить порог сходимости, который также довольно сложно оценить. По этой причине простые графики являются предпочтительным тестом на сходимость.

Еще одним преимуществом мониторинга градиентного спуска с помощью графиков является то, что он позволяет нам легко определить, если он не работает должным образом, например, увеличивается ли функция стоимости.В большинстве случаев причиной увеличения функции затрат при использовании градиентного спуска является слишком высокая скорость обучения.

Если график показывает, что кривая обучения просто идет вверх и вниз, не доходя до нижней точки, попробуйте уменьшить скорость обучения. Кроме того, начиная с градиентного спуска для данной задачи, просто попробуйте 0,001, 0,003, 0,01, 0,03, 0,1, 0,3, 1 и т. Д. В качестве скорости обучения и посмотрите, какая из них работает лучше всего.

Типы градиентного спуска

Существует три популярных типа градиентного спуска, которые в основном различаются объемом используемых данных:

Пакетный градиентный спуск

Пакетный градиентный спуск, также называемый ванильным градиентным спуском, вычисляет ошибку для каждый пример в наборе обучающих данных, но только после оценки всех обучающих примеров модель обновляется.Весь этот процесс похож на цикл и называется тренировочной эпохой.

Некоторыми преимуществами пакетного градиентного спуска являются его вычислительная эффективность, он обеспечивает стабильный градиент ошибок и стабильную сходимость. Некоторые недостатки заключаются в том, что стабильный градиент ошибок может иногда приводить к состоянию сходимости, которое не является лучшим, чего может достичь модель. Это также требует, чтобы весь набор обучающих данных был в памяти и доступен для алгоритма.

Стохастический градиентный спуск

Напротив, стохастический градиентный спуск (SGD) делает это для каждого обучающего примера в наборе данных, то есть обновляет параметры для каждого обучающего примера один за другим.В зависимости от проблемы это может сделать SGD быстрее, чем пакетный градиентный спуск. Одним из преимуществ является то, что частые обновления позволяют нам иметь довольно подробную скорость улучшения.

Однако частые обновления требуют больших вычислительных затрат, чем метод пакетного градиентного спуска. Кроме того, частота этих обновлений может привести к появлению шумных градиентов, что может привести к скачку частоты ошибок вместо медленного уменьшения.

Мини-пакетный градиентный спуск

Мини-пакетный градиентный спуск - это стандартный метод, поскольку он представляет собой комбинацию концепций SGD и пакетного градиентного спуска.Он просто разбивает обучающий набор данных на небольшие пакеты и выполняет обновление для каждого из этих пакетов. Это создает баланс между надежностью стохастического градиентного спуска и эффективностью пакетного градиентного спуска.

Общие размеры мини-пакетов варьируются от 50 до 256, но, как и для любого другого метода машинного обучения, нет четкого правила, потому что оно различается для разных приложений. Это основной алгоритм при обучении нейронной сети, и это наиболее распространенный тип градиентного спуска в рамках глубокого обучения.


Никлас Донгес - предприниматель, технический писатель и эксперт в области искусственного интеллекта. В течение 1,5 лет он работал в команде SAP, занимающейся ИИ, после чего основал компанию Markov Solutions. Базирующаяся в Берлине компания специализируется на искусственном интеллекте, машинном обучении и глубоком обучении, предлагая индивидуальные программные решения на базе ИИ и консалтинговые программы для различных компаний.

СвязанныеПодробнее о Data Science

Вектор градиента. Что это такое и как это вычислить? | Роман Паолуччи

Что это такое и как его вычислить?

Фото с Unsplash

В векторном исчислении одна из основных тем - введение векторов и трехмерного пространства как расширения двухмерного пространства, которое часто изучается в декартовой системе координат.Векторы обладают двумя основными свойствами: направление и звездная величина . В двух измерениях мы можем визуализировать вектор, идущий от начала координат, как стрелку (показывающую как направление, так и величину).

2-мерный векторный график из matplotlib

Интуитивно это можно расширить до 3-х измерений, где мы можем визуализировать стрелку, плавающую в пространстве (опять же, показывающую как направление, так и величину).

Трехмерный векторный граф из JCCC

Менее интуитивно понятие вектора может быть расширено до любого количества измерений, где понимание и анализ могут быть выполнены только алгебраически.Важно отметить, что в любом случае вектор не имеет определенного местоположения. Это означает, что если два вектора имеют одинаковое направление и величину, это один и тот же вектор . Теперь, когда у нас есть базовое представление о векторах, давайте поговорим о векторе градиента.

Независимо от размерности вектор градиента - это вектор, содержащий все частные производные первого порядка функции.

Давайте вычислим градиент для следующей функции…

Функция, которую мы вычисляем вектор градиента для

Градиент обозначается как ∇…

Вектор градиента для функции f

После частичного дифференцирования…

Вектор градиента для функции f после подстановки частных производных

Это вектор градиента для функции f (x, y) .Это все здорово, но какой в ​​этом смысл? Что может делать вектор градиента - что он вообще означает?

Gradient Ascent: Maximization

Градиент для любой функции указывает в направлении наибольшего увеличения. Это невероятно. Представьте, что у вас есть функция моделирования прибыли для вашей компании. Очевидно, ваша цель - максимизировать прибыль. Один из способов сделать это - вычислить вектор градиента и выбрать несколько случайных входных данных - теперь вы можете итеративно обновлять свои входные данные, вычисляя градиент и добавляя эти значения к своим предыдущим входным данным, пока не будет достигнут максимум.

Спуск градиента: минимизация

Мы знаем, что вектор градиента указывает в направлении наибольшего увеличения. И наоборот, отрицательный вектор градиента указывает в направлении наибольшего уменьшения. Основная цель градиентного спуска - минимизировать ошибку или стоимость, что особенно характерно для машинного обучения. Представьте, что у вас есть затраты на функциональное моделирование для вашей компании. Очевидно, ваша цель - минимизировать затраты. Подобно максимизации прибыли, вы можете вычислить вектор градиента для некоторых случайных входных данных и итеративно обновлять входные данные, вычитая значения в векторе градиента из ваших предыдущих входных данных, пока не будет достигнут минимум.

Проблемы с градиентным подъемом / спуском

Наиболее заметной проблемой при использовании этого метода оптимизации является наличие относительных экстремумов. Относительные экстремумы относятся к точкам функции, которые являются максимальным или минимальным значением относительно точек вокруг нее, показанных на графике ниже.

Фотография из онлайн-заметок Пола

Традиционный расчетный подход к оптимизации сталкивается с той же проблемой и решает ее, сравнивая выходные данные функции во всех относительных экстремумах, чтобы определить истинный глобальный максимум / минимум.Что касается градиентного подъема / спуска, существует множество различных модификаций, которые могут быть внесены в итерационный процесс обновления входных данных, чтобы избежать (или пропустить) относительные экстремумы, помогая в усилиях по оптимизации. Основными типами градиентного подъема / спуска являются…

  • Стохастический градиентный подъем / спуск
  • Пакетный градиентный подъем / спуск
  • Мини-пакетный градиентный подъем / спуск

Градиент (или наклон) линии и наклон


Приложение: Дорожный знак, обозначающий крутой уклон.
Уклон дороги «15%» эквивалентен «m = 0,15».

Уклон (также известный как уклон ) линии определяется как

`" gradient "= текст (вертикальный подъем) / текст (горизонтальный бег`

На следующей диаграмме уклон линии AB определяется выражением: `a / b`

Как правило, для линии, соединяющей точки ( x 1 , y 1 ) и ( x 2 , у 2 ) имеем:

Теперь мы можем написать формулу для наклона прямой.

Градиент линии формулы

Как видно из диаграммы выше, уклон (обычно обозначается м ) определяется как:

`m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1`

Интерактивный график - наклон линии

Вы можете изучить концепцию наклона линии на следующем интерактивном графике (это не фиксированное изображение).

Перетащите либо точку A ( x 1 , y 1 ) или точку B ( x 2 , y 2 градиент), чтобы узнать, как градиент работает.Числа будут обновляться по мере взаимодействия с графиком.

Обратите внимание, что происходит со знаком (плюс или минус) наклона, когда точка B находится выше или ниже A.

Наклон `= (y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)`

`= (BC) / (AC)`

Авторские права © www.intmath.com

Вы можете перемещать график вверх-вниз, влево-вправо, если удерживаете клавишу «Shift», а затем перетаскиваете график.

Если заблудились, всегда можно обновить страницу.

Пример

Найдите наклон прямой, соединяющей точки (−4, −1) и (2, −5).

Ответ

Это задействованные точки:

Итак, уклон:

`m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1`

`= (- 5 - (- 1)) / (2 - (- 4)`

`= (- 4) / 6`

`= -2 / 3`

Обратите внимание, что наклон отрицательный . Линия идет «вниз по склону», когда мы движемся слева направо.

Положительные и отрицательные склоны

Как правило, положительный наклон указывает значение зависимой переменной (обычно y ) увеличивается при движении слева направо:

Зависимая переменная на приведенном выше графике - это значение y , а независимая переменная - x .

Отрицательный наклон означает, что значение зависимой переменной (обычно y ) равно , уменьшаясь на , когда мы идем слева направо:

Наклон

У нас есть линия с уклоном м и углом, который эта линия образует с x - ось α.

Из тригонометрии напомним, что тангенс угла α определяется как:

`tan \ alpha = текст (напротив) / текст (рядом)`

Теперь, поскольку наклон также определяется как противоположный / смежный, мы имеем:

Это дает нам результат:

tan α = м

Тогда мы можем найти угол α , используя

α = arctan м

(то есть α = tan -1 м )

Этот угол α называется углом наклона линии [email protected] `

ПРИМЕЧАНИЕ: Размер угла α (по определению) только между `0 °` и `180 °`.

Упражнение 2

Найдите наклон прямой α = 137 °.

Ответ

Ситуация следующая:

Итак, уклон:

м = tan α

= загар 137 °

= -0,933

Обратите внимание, что наклон отрицательный.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *