Как это горизонтально: горизонтальный | это… Что такое горизонтальный?

Какую карьеру выбрать: горизонтальную или вертикальную?

Содержание статьи

Многие считают, что карьерный рост состоит в регулярном повышении в должности, от стажера к младшему специалисту, от среднего специалиста к руководителю. Но не все профессионалы желают быть начальниками в строгих костюмах, заниматься отчетностью, брать ответственность за результат, руководить группами или отделами. На самом деле карьерно развиваться можно в двух направлениях – в горизонтальном и вертикальном. В статье мы расскажем о каждом виде карьерного роста и разберем их основные преимущества и недостатки.

Вертикальный карьерный рост

Вертикальное развитие – это постепенный переход от должности младшего специалиста к руководящей. Например, вы пришли работать в компанию продавцом, потом доросли до менеджера и затем стали руководителем. Или начали с доставщика продуктов, а потом возглавили отдел логистики. Обычно такой карьерный рост происходит в одной компании или же в одной области.

Какие преимущества у вертикального развития?

• вертикально вырасти можно в любой компании, в любой сфере деятельности;
• у вас появляется возможность управлять другими людьми и стать лицом отдела, фирмы;
• вы определяете амбициозные цели, выполняете сложные задачи, принимаете самостоятельно решения;
• вы несете ответственность за результат, отвечает за бюджет и выполнение плана;
• высокая заработная плата;
• в обществе такой рост считается успехом.

Какие недостатки в вертикальном карьерном росте?

• из-за высокой ответственности есть большой риск эмоционального и профессионального выгорания;
• придется работать в напряженном графике, чтобы получить повышение в должности;
• необходимо постоянно совершенствовать свои навыки, чтобы карьерно расти. Чем выше должность, тем больше требований к специалисту.

Ошибочно считать, что только вертикальное движение по карьерной лестнице может быть единственно верным путем. Да, это более заметный рост, так как человек переходит от одной должности к другой, но не каждому дано быть лидером.

Горизонтальный карьерный рост

Горизонтальное развитие – это расширение профессиональных знаний и навыков специалиста в одном отделе. Можно сравнить с естественным процессом развития профессионала, когда он постепенно прокачивает свои умения от стажера до старшего специалиста. Например, начинающий дизайнер стал арт-директором или копирайтер дорос до редактора.

Какие преимущества у горизонтального развития?

• вы развиваете навыки в одной области;
• чем уже ваша специализация, тем больше ваша заработная плата;
• вы прокачиваете свои компетенции только в одном направлении. Вам не нужно параллельно изучать документооборот и методы управления;
• вы несете ответственность только за свои решения в определенном направлении;
• вы постепенно расширяете свои знания и растете карьерно без стрессов и борьбы за должность.

  Какие недостатки в горизонтальном карьерном росте?

• горизонтальное развитие больше подходит для профессий, в которых доминируют прикладные навыки. Например, hr-специалист попадает под ограничения, скорее всего, ему проще будет расти вертикально;
• вы можете стать лидером в коллективе, но при этом не получить повышение в организации;
• ваш уровень профессионального развития будет не сильно заметен со стороны.

В статье мы рассказали отдельно про каждый вид карьерного роста, но в жизни они взаимосвязаны между собой. Специалисту будет сложно вырасти вертикально, если он не будет расширять свои профессиональные знания, а значит расти горизонтально в первое время. В любом случае только сам человек может решить, какой путь ему выбрать. Если вы находитесь сейчас в сомнениях и у вас есть потребность в профессиональном развитии – посмотрите бесплатный онлайн-курс «Личная стратегия развития», с помощью которого вы сможете составить глобальный план действий, определить цели и разработать пути реализации задач.

Как работают горизонтальные отношения в команде

Вертикально или горизонтально? 

Скажем сразу: универсального ответа на этот вопрос нет. Горизонтальные или вертикальные (то есть иерархические) отношения – это не нечто однозначно хорошее и однозначно плохое. Обе эти модели нуждаются в изучении и/или тестировании в каждом конкретном коллективе. Возможно, вы выберете вертикальные отношения – и это не делает вашу команду плохой. Но узнать о других вариантах все равно стоит.

Если вы привыкли к вертикальным отношениям, иные модели могут пугать своей неизвестностью и отсутствием наработанного опыта. Все новое – это риск, необходимость изучать реальность, устанавливать правила и прорабатывать договоренности, которые из нашего предыдущего бэкграунда не очевидны. Если классическая вертикальная модель управления существует повсеместно и давно, а потому мы понимаем, как в ней действовать, что можно, а что нельзя, то горизонтальные отношения – это исследование, очень личное, ломающее привычки в общении как в рабочей команде, так и с людьми вообще.

Кто-то пробовал это раньше?

Когда мы называем вертикальные отношения классическими, имеем ли мы в виду, что история не знает примеров горизонтальности и что нет опыта, к которому можно было бы обратиться? Нет, горизонтальные отношения существовали – возможно, не в чистом виде и не часто, но попытки их построить предпринимались однозначно.

Рыцари Круглого стола из британских легенд получили свое название от того, как король Артур придумал рассаживать своих соратников: чтобы не порождать споры о месте и важности каждого рыцаря, которые были связаны с размещением за обеденным столом, он ввел в обиход круглый, а не прямоугольный стол, который позволял каждому видеть каждого, быть близко друг к другу, находясь в равном положении. Смелая идея для феодальной Европы имела колоссальный успех: рыцари прославились своими подвигами и стали образцом уважительных и продуктивных отношений между сильными людьми.

Что и говорить: даже Будда, рожденный принцем, не знавший забот и несправедливости, встал на путь духовного развития именно через горизонтальные отношения. Отказавшись от богатства и положения, он вышел в мир, чтобы общаться с людьми на равных, исследовать мир не с позиции своего статуса, а так, чтобы в этом был риск, открытия и личная ответственность.

Феминизм, если вдуматься, тоже именно про построение горизонтальных отношений: про отмену традиционной иерархии, когда мужское слово, вне зависимости от его разумности, будет ценнее женского, про признание ценности людей как людей, а не тех, кто представляет определенный гендер.

В конце 20-го века попытки сотрудничать без иерархии стали появляться чаще. В 1960-х годах, после исследования психолога Клера Уильяма Грейвза о спиральной динамике развития человека, бизнес стал задумываться о реформах в управлении. В девяностые Дон Бек и Крис Кован, ученики Грейвза, адаптировали его теорию для менеджеров и стратегов, написав книгу «Спиральная динамика». В 2014 году Фредерик Лалу в книге «Открывая организации будущего», опираясь на теорию спиральной динамики, присвоил разным типам управления цвета. Известные «бирюзовые организации», описанные Лалу, по сути, строятся на основе горизонтальности. 

Эффективны ли горизонтальные отношения?

В последнее время, когда НГО и бизнес ищут новые пути построения отношений между людьми, речь про горизонтальные отношения заходит все чаще. С одной стороны, это ценностный вопрос: стандарты уважения и свободы повышаются, и общественные организации, выступающие в авангарде социальных изменений, тестируют такие формы коммуникации, которые требуют осознанности и уважения достоинства другого. С другой стороны, это прагматичный вопрос: кажется, иерархические отношения не столь эффективны, как мы веками думали. К тому же, они не привлекают молодых и компетентных сотрудни_ц.

Джефф Батлер, консультант, который помогает бизнесу привлекать на работу миллениалов, так говорит о современных типах иерархии:

«Миллениалы продолжают увольняться. Когда вам наконец удается закрыть одну позицию, уходит кто-то еще. Даже в компаниях с потрясающим брендингом – таких, как Amazon и Google – сотрудник в среднем работает до двух лет.

Справка:
Миллениал – представитель поколения людей, родившихся в конце 80-х – начале 90-х годов. Это поколение отличается тесной связью с технологиями. Как утверждают различные исследования, миллениалы мыслят о себе и о мире радикально иначе, чем предыдущие поколения. Это связано с умением быстро обучаться и видеть для себя много возможностей, а также с желанием получать от работы не только деньги, но и смысл.

Существует ряд исследований разной направленности, которые утверждают, что чем больше авторитарности в отношениях (как межчеловеческих, так и на уровне государство–человек), тем менее эффективны процессы.  

Горизонтальные отношения – это продуктивность или хаос?

Звучит заманчиво, но пробовать все равно страшно. Как работать, если все равны? Кто будет давать рабочие задачи и проверять качество их исполнения? Кто проследит за тем, чтобы все работали слаженно и никакая зона ответственности не оказывалась «ничейной»? Обычно страхи по поводу горизонтальных отношениях в команде таковы:

Если не будет начальни_цы, то никто не будет работать

Если в команде есть человек (или несколько людей), которые не могут взять личную ответственность за то, когда и как будет сделана их работа, то, вероятно, у них кризис мотивации. Роль начальни_цы могла бы сгладить некоторые внешние проявления этого кризиса, но точно не избавила бы коллектив от этой проблемы. Лучше разобраться с кризисом мотивации, а не его симптомами: в конце концов, пока у человека не будут гореть глаза, работа (особенно если она связана с помощью людям и решением новых, не рутинных задач) не будет выполняться действительно хорошо.

Урегулировать спорные вопросы без начальства невозможно

Как договориться, если мнения разные и нет человека, за которым остается последнее слово? Без «главного» вам нужно будет больше кооперироваться и сотрудничать, объяснять и слышать. Консенсус, голосование – выбор варианта может происходить разными путями, и вы в команде сами определяете, каковы ваши договоренности о принятии решений.

В горизонтальном  управлении никто ни за что не несет ответственности

Горизонтальность предполагает наличие координаторских позиций и четкого описания зоны ответственности каждо_й участни_цы команды. Если команда пытается построить горизонтальность без четкого (и желательно письменного) определения рабочих задач и ответственных за это лиц, то, к сожалению, предприятие вряд ли увенчается успехом. 

Теперь кажд_ая неспециалист_ка будет лезть в мою работу?

Горизонтальность не отменяет понятие экспертности и не предполагает, что вашу работу могут оценивать те, кто не разбирается в этой области деятельности.

Три правила для начала

Джей А. Хьюлин (юрист, преподаватель курса на факультете менеджмента Университета Макгилла) и Карл Мур (профессор Университета Макгилла, научный сотрудник в Колледже Грина Темплтона в Оксфордском университете, последние 10 лет тесно работает с Генри Минцбергом, известным профессором и автором книг о менеджменте и лидерстве) выделяют три вещи, которые важно сделать, строя горизонтальные отношения:

1. точно определите, что нужно другому человеку от вас;
   На рабочем месте ваши коллеги нуждаются в том, чтобы вы выполняли определенные задачи определенными способами в определенное время. Вероятно, вы знаете, как делать вашу работу. Но понимаете ли вы, в чем и насколько коллеги зависят от вас? Стоит спросить: что я могу сделать, чтобы облегчить вашу работу? Этот подход позволит вам лучше понять задачи ваше_й коллеги и ее/его видение вашей работы, а также того, как ваша деятельность связана. Во многих случаях люди ответят взаимностью вашему желанию сотрудничать.
2. подумайте, каким способом другой человек может получить нечто полезное для себя, когда он помогает вам;
   Суть этого вопроса заключается в том, чтобы посмотреть на рабочие процессы с перспективы другого человека. Мы охотнее делаем что-либо, когда видим в действии личную пользу, когда в нем есть нечто, что вызывает наш искренний интерес. Польза может быть выражена в разных вещах: повышении компетенций, упрощении рабочего процесса, сокращении времени для исполнения задачи, достижении большего результата, признании своей работы, приятных эмоциях от общения с коллегами. Задавая вопрос о пользе для другого, мы предполагаем кооперации не с целью манипулировать и несправедливо разделить нагрузку и ответственность, а с целью взаимовыгодной работы.
3. проработайте способы, которыми вы можете создать новый тип отношений с коллегами.
   Подумайте о своих коллегах как о клиент_ках, бенифициар_ках, малознакомых, но авторитетных для вас людях. Как ни парадоксально, но чем ближе мы знакомы с кем-либо, тем больше склонны к нетактичному поведению. Это может проявиться через небрежное отношение к совместным задачам, медлительность в рутинных процессах, уделение меньшего внимания деталям, фамильярность, пренебрежение чувствами других. Стоит сопротивляться побуждению относиться к людям, которые работают рядом, неосторожно. В конце концов, именно с ними вы проводите значительную часть своего времени, от связей с ними зависит ваш успех. 
   Когда вы решите рассматривать своих коллег как важных для вас людей с их собственными потребностями, целями и особенностями, вы, вероятно, станете более терпимыми к их поведению. Это не означает, что вы должны просто принимать что угодно, но важно помнить, что нужно попытаться найти способ мирно работать с этим человеком.
    
   Эффективное горизонтальное лидерство, вероятно, расширит сферу вашего влияния в организации, повысит вашу производительность и позволит получать большее удовлетворение от работы.

Быть в горизонтальной команде: личный опыт

Посмотрим, возможно ли на практике эффективно управлять процессами и развивать проект, если никто из кресла босса не смотрит соколиным взглядом.

Мы спросили Дарью Романович, участницу команды MAKEOUT, которая работает горизонтально с самого своего основания, о том, каково было строить отношения в такой модели и о каких выводах можно говорить сегодня, спустя пять лет существования.

– Почему вы с командой выбрали именно горизонтальные отношения? 

– Я присоединилась к ребятам, когда они уже пару месяцев работали в такой модели. Мне сказали, мол, у нас все вот так и так – и я без проблем включилась. Внутри команды образовались рабочие группы, каждая из которых работает над своей темой. У масштабной деятельности есть координаторки/координаторы, которые синхронизируют процессы, но ответственность распределяется на всех.

– А не бывает так, что этой общей ответственностью злоупотребляют? Например, человек берет ответственность что-то сделать, но не делает, и общая задача «зависает»?

– Я давно уже работаю с ребятами и доверяю им. Не замечала злоупотреблений. Бывает, что человек плохо себя чувствует и не может сделать то, что запланировал. Тогда мы обсуждаем, как заново распределить задачи, поддерживаем. У нас есть договоренности по поводу работы и зон ответственности. Планируем направление – и договариваемся, кто чем хочет заниматься. То есть это не какие-то универсальные обязанности, записанные в одном документе, а договоренности по поводу каждой конкретной активности. Поэтому ситуации, когда работа непонятна чья, не случаются особо. 

– Был ли у тебя до этого опыт работы в горизонтальной команде?

– Нет, до этого я даже не слышала про горизонтальные отношения и вообще работала только в коммерческих структурах.

– Что было сложнее всего в горизонтальных отношениях поначалу?

– Я бы не сказала, что мне было как-то сложно. Интуитивно было понятно, что делать. Такая форма подходила нам и нашей работе. Иерархия предполагает возможность дискриминации, а горизонтальность – это осознанное желание всех существовать в определенных ценностях, принятие ответственности за это. Достаточно анархистская концепция, по сути.

– Что ты читала, о чем думала, чтобы приспособиться к новому способу взаимодействия?

– Попадались какие-то тексты, но так, чтобы прямо с кем-то разговаривать, искать книги – такого не было. Я знаю, что в Беларуси есть и другие команды с горизонтальным самоуправлением, в том числе коммерческие (например, печатный кооператив «Листовка»), но мы друг с другом не обсуждали горизонтальность как-то специально и глубоко.

– Как ты себя чувствовала в вертикальных отношениях, а как – в горизонтальных?

– Я думаю, что обе эти формы имеют свои плюсы и минусы, комфортно может быть и там, и там. Не могу сказать, что одно однозначно лучше, а второе – хуже. Все очень зависит от того, о каких людях речь, насколько они эмпатичны, тактичны, ответственны, внимательны к другим. Начальник на моей первой работе, например, был прекрасным человеком и крутым специалистом, который помогал, подсказывал, поддерживал, был включен в процессы и чувствовал ответственность за них, не перекладывал, например, какие-то неудачи на подчиненных. Я многому у него научилась и вспоминаю этот опыт с благодарностью.

– Есть ли в горизонтальности вещи, с которыми тебе до сих пор сложно?

– Да, бывает сложно понять, кому и когда говорить о каких-то изменениях в своей работе. Насколько это изменение значительно, чтобы его вообще обсуждать? Кому и в какой момент сказать? Проще, конечно, сказать это наедине одному человеку, чем высказываться перед всей командой. А еще время принятия решений увеличивается по сравнению с вертикальным взаимодействием. Мы договорились принимать решения консенсусом, и у нас есть одна еженедельная встреча, на которой мы обсуждаем накопившиеся серьезные вопросы. Что-то небольшое можем выяснить друг у друга в чате, письменно, но для более масштабных решений нужно ждать планерки. И если нам на почту пишут с каким-то запросом, мы отвечаем, что дадим настоящий ответ через столько-то дней (смеется).

– Хотела ли бы ты вернуться к работе с вертикальными отношениями? Почему?

– Я не против работы в вертикальных отношениях. Если это оптимальная форма для определенной команды и определенных целей, то здесь нет проблемы. В любых типах отношений можно вести себя с людьми уважительно и тактично. Но если в вертикальных отношениях тебе попадается неэмпатичный странный начальник – тогда это просто жесть. 

Как сделать мероприятие: чек-лист

Next article >>

Продавая тренд: как феминизм изменил мир моды и важно ли это

Горизонтальное растяжение — свойства, график и примеры

Возможно, вы уже сталкивались с графиками, которые выглядят одинаково, но имеют разную ширину. Эти функции могли быть горизонтально растянуты с использованием базовой функции. Горизонтальное растяжение является одним из наиболее часто применяемых методов преобразования при графическом отображении функций, поэтому лучше понять его определение.

Горизонтальные растяжения происходят, когда базовый график равен расширен вдоль оси x и в сторону от оси y.

Изучение того, как мы можем растягивать графики по горизонтали, может помочь нам понять семейство графиков функций. Мы также можем узнать, как ускорить построение графиков новых функций на основе применяемых коэффициентов масштабирования.

Прежде чем переходить к следующему разделу, проверьте свои знания родительских функций, переводов и вертикального растяжения.

• Понимание общих родительских функций, с которыми мы можем столкнуться.
• Освежите свои знания о вертикальных и горизонтальных преобразованиях.
• Посмотрите, как мы применяем вертикальную растяжку.

Эти связанные статьи могут помочь вам освежить свои знания, и когда вы будете готовы, давайте продолжим и узнаем больше о горизонтальной растяжке .

Что такое горизонтальное растяжение?

Мы можем применить горизонтальное растяжение к функции, умножив ее входные значения на коэффициент масштабирования, a , где 0 < 1/a < 1 . Что это означает для таких функций, как f(x)? Когда 1/a умножается на x, график f(x) растягивается по горизонтали с масштабным коэффициентом a .

Давайте посмотрим, как на f(x) = x ² повлияет масштабный коэффициент 1/2 и 1/3.

Как мы и ожидали, график растягивается в 2 и 3 раза. Обратите внимание, что значения y остаются прежними? Это верно для всех горизонтальных растяжек. График всего на простирается от оси Y , когда мы растягиваем график по горизонтали.

Горизонтальное растяжение в других функциях будет иметь аналогичные свойства. Допустим, у нас есть f(x) = |x|, если график этой функции растянуть по горизонтали, чтобы получить g(x), выражение новой функции можно выразить как |1/3 ∙ x| = |х/3| .

Почему бы нам не сравнить некоторые значения обеих функций?

Мы также ожидаем, что все его x-coordinates увеличится на 3. , когда мы сделаем это, Выходные значения останутся на .

Что это означает для координат графика новой функции? Если функция f(x) проходит через (m, n) и растягивается по горизонтали с коэффициентом 1/a , новая функция пройдет через (am, n) .

Как растянуть функцию по горизонтали?

Теперь, когда мы узнали о горизонтальных растяжениях и о том, как они влияют на базовую функцию, пришло время применить их к графикам функций. Прежде чем мы начнем растягивать функции по горизонтали на определенный коэффициент, запомните эти указатели для более быстрого растягивания графиков по горизонтали:

• Только растяните основание графика по горизонтали так, чтобы координаты y остались в том же положении.
• Поскольку координаты y останутся прежними, точка пересечения y также останется той же .
• Убедитесь, что перепроверили критические точки на графике, такие как точки пересечения, максимальные точки и т. д.
• Проверьте, правильно ли масштабируются точки координат .

Воспользуемся таблицей значений, показанной в предыдущем разделе, для построения графика y = |x| и у = |х/3| визуализировать эффекты горизонтального растяжения на графике.

Как мы уже говорили, мы ожидаем, что графики будут растягиваться вдоль основания, а значения y останутся постоянными.

Чтобы получить y = |x/3|, мы растянем родительскую функцию y = |x| в 3 раза. График, показанный выше, подтверждает это, и мы можем применить тот же процесс при горизонтальном растяжении графиков других функций.

Готовы построить график дополнительных функций и применить горизонтальные растяжения? Давайте сначала подведем итог тому, что мы узнали, прежде чем мы попробуем другие вопросы.

Краткое изложение определения и свойств горизонтального растяжения

Вот несколько важных советов, которые следует помнить при решении задач и графических функций, связанных с горизонтальными растяжениями:

• Мы можем горизонтально растянуть график только в раз Входное значение также увеличивается на .
• Если f(x) растянуть по горизонтали до f(ax), умножить координаты x на .
• Сохраните положение точки пересечения оси Y.
• Результирующая функция будет иметь тот же диапазон, но может иметь другой домен .
• Учитывая точку (m, n), становится (am, n) при растяжении по горизонтали.

Давайте всегда возвращаться к этим пятиочковым, когда сомневаетесь. Способность овладеть техникой горизонтального растягивания графиков может помочь нам быстрее отображать функции и понимать их поведение.

Готовы ли вы проверить свои знания? Давайте продолжим и попробуем решить некоторые из этих задач!

Пример 1

Функция g(x) получается путем горизонтального растяжения f(x) = 8x с масштабным коэффициентом 1/4. Какое из следующих выражений является правильным выражением для g(x)?

а. г(х) = 32 х
б. г(х) = 16х
с. г(х) = 2х
д. g(x) =1/2 x

Решение

Помните, что когда мы растягиваем функцию по горизонтали на 1/a , мы делим входное значение на a . Почему бы нам не применить это к проблеме? Мы заменим x на x/4, чтобы найти выражение для g(x).

g(x) = 8(x/4)

Упрощение выражения приведет к g(x) = 2x .

Пример 2

Запишите выражения для g(x) и h(x) через f(x) при следующих условиях:

    a. Функция g(x) является результатом горизонтального растяжения f(x) в 1/5 раза.
б. Когда мы растягиваем g(x) по горизонтали с масштабным коэффициентом 1/2, мы получаем h(x).

Решение

Начнем с g(x). Мы можем растянуть f(x) по горизонтали, чтобы получить g(x), поэтому мы делим входное значение f(x) на 5, чтобы получить выражение g(x): f(x/5).

Теперь, когда у нас есть g(x), мы можем найти выражение для h(x). Мы делим входное значение g(x) на 2. Следовательно, мы имеем:

h(x) = g(x/2)

= f(x/5 ·1/2 )

= f(x /10)

Это означает, что в терминах f(x) g(x) = f(x/5) и h(x)= f(x/10).

Пример 3

Функция f(x) проходит через точку (6, 4). Если f(x) растянуть по горизонтали с коэффициентом масштабирования 1/2, какова будет новая координата x точки?

Решение

Когда мы растягиваем график по горизонтали, мы умножаем координату x базовой функции на знаменатель заданного коэффициента масштабирования, чтобы найти новую точку, лежащую вдоль той же координаты y.

Отсюда имеем (6, 4) → (2 ∙ 6, 4). Новая x-координата точки будет (12, 4).

Пример 4

Таблица значений f(x) показана ниже. Если h(x) является результатом горизонтального растяжения f(x) с коэффициентом масштабирования 1/4, создайте его таблицу значений и сохраните текущие выходные значения.

Решение

Когда функция растянута горизонтально, мы Многочисленные значения (для этого входных значений (для этого входных значений (для этого входных значений (для этого входных значений (для этого входных значений. знаменателем заданного масштабного коэффициента.

Это означает, что (-2, -4) преобразуется в (4∙ -2, -4) = (-8, -4). Мы применяем тот же процесс для остальных значений и имеем таблицу значений h(x), как показано ниже.

Пример 5

Соблюдайте указанные ниже функции. Какая связь между f(x) и g(x)?

Решение

Просто взглянув на график, мы можем увидеть, что g(x) является результатом горизонтального растяжения f(x). Почему бы нам не проверить некоторые точки на обоих графиках?

Вот что происходит с точками:

• (-3, 9) → (-9, 9)
• (-2, 4) → (-6, 4)
• (-1, 1) → (-3, 1)
• (0, 0) → (0, 0)
• (1, 1) → (3, 1)
• (2, 4) → (6, 4)
• (3, 9) → (9, 9)

Обратите внимание, как для каждого случая: x-координаты g(x) все в три раза больше, чем f(x). Это означает, что масштабный коэффициент, используемый для растяжения f(x), равен 1/3.

Функция g(x) является результатом f(x), растянутого по горизонтали на с масштабным коэффициентом 1/3 .

Пример 6

На изображении ниже показан график f(x). Постройте график g(x), используя тот факт, что он является результатом горизонтального растяжения f(x) в 1/2 раза. Не забудьте включить новые критические точки для g(x).

Решение

Давайте продолжим и сначала найдем новые критические точки g(x). Поскольку f(x) будет растянута по горизонтали, мы умножим координаты x на 2. Следовательно, мы имеем следующие критические точки:

• (-3, 0) → (-6, 0)
• (0 , 3) → (0, 3)
• (3, 0) → (6, 0)

Нанесите эти точки и растяните график f(x) на 3. Убедитесь, что координаты y и y- перехват остается прежним.

Вот как должен выглядеть полученный график. Поскольку g(x) является результатом горизонтального растяжения f(x), мы растягиваем график f(x) по шкале 3,9. 0007

Пример 7

Опишите преобразования, выполненные для следующих функций, показанных ниже.

a.f(x) = x ² → g(x) = x ² /9

b. m(x) = √x → n(x) = 3√(x/4)
c. p(x) = 3x – 1→ q(x) = 3x/4 – 2

Решение

Если вы могли заметить, что некоторые из них могут демонстрировать не только горизонтальное растяжение, вы правы!

Имейте в виду, что иногда нам приходится применять различные методы преобразования, чтобы получить выражение определенной функции.

Во-первых, давайте начнем с f(x) и g(x):

Чтобы проверить коэффициент масштабирования, применяемый во входном значении f(x) для достижения g(x), давайте представим g(x) как совершенный квадрат: g(x) = (x/3) ² = (1/3 · x) ² .

Выражая g(x) через f(x), получаем g(x) = f(x/3). Следовательно, g(x) является результатом горизонтального растяжения f(x) с масштабным коэффициентом 1/3 .

Переходим к m(x) и n(x):

Мы можем видеть два масштабных коэффициента, примененных к n(x): 3 для выходного значения и 1/4 для входного значения. Применяя то, что мы знаем о вертикальных и горизонтальных участках, получаем n(x) = 3·m(1/4·x). Значение, n(x) является результатом вертикального растяжения m(x) с масштабным коэффициентом 3 и горизонтального растяжения с масштабным коэффициентом 1/4 .

Наконец, давайте посмотрим на переводы, сделанные на p(x).

q(x) = 3/4 x – 1 – 1

= 3(x/4) – 1 – 1

= p(x/4) – 1

Отсюда видно, что q( x) получается из p(x), равного , растянутого по горизонтали с коэффициентом масштабирования 1/4 и переведенного на одну единицу вниз .

Пример 8

Какие преобразования выполняются над f(x), чтобы получить g(x) = 2|x/3| – 1? Используйте приведенный ниже график f(x) в качестве ориентира. Примените преобразования к графику g(x).

Решение

Давайте продолжим и выразим g(x) через f(x).

г(х) = 2 · |1/3 · х| – 1

= 2 · f(x/3) – 1

Это означает, что преобразование f(x) для получения g(x):

• Растянуто по горизонтали с коэффициентом масштабирования 1/3.
• Растянуто по вертикали с коэффициентом масштабирования 2.
• Перенесено вниз на 1 единицу.

Давайте медленно применим эти преобразования к f(x), начиная с горизонтального растяжения f(x).

Теперь растянем получившийся график по вертикали с коэффициентом масштабирования 2.

Наконец, давайте переместим график на одну единицу вниз.

Следовательно, мы только что показали, как g(x) может быть построена на графике с использованием родительской функции функций абсолютного значения, f(x) = |x|.

 

3.

2 Графические функции с использованием вертикального и горизонтального сдвига – Math 3080 Подготовка

Часто, когда нам дают задачу, мы пытаемся смоделировать сценарий, используя математику в виде слов, таблиц, графиков и уравнений. Один из методов, который мы можем использовать, — это адаптировать базовые графики функций инструментария для построения новых моделей для заданного сценария. Существуют систематические способы изменения функций для построения подходящих моделей для проблем, которые мы пытаемся решить.

Определение вертикального смещения

Один из простых видов преобразования включает сдвиг всего графика функции вверх, вниз, вправо или влево. Самый простой сдвиг — это сдвиг по вертикали на , перемещающий график вверх или вниз, потому что это преобразование включает добавление к функции положительной или отрицательной константы. Другими словами, мы добавляем одну и ту же константу к выходному значению функции независимо от входных данных. Для функции [латекс]\текст{}g\left(x\right)=f\left(x\right)+k,\text{}[/latex] функция [латекс]\текст{}f\left (x\right)\text{}[/latex] смещается по вертикали на [latex]\text{}k\text{}[/latex] единиц. См. пример на Рисунке 3-2.

 

Рисунок 3-2: Вертикальный сдвиг на [latex]\text{}k=1\text{}[/latex] функции кубического корня [latex]\text{}f\left(x\right)=\sqrt[ 3]{x}[/латекс].

Чтобы помочь вам визуализировать концепцию вертикального сдвига, учтите, что [латекс]\текст{}у=f\влево(х\вправо)\текст{}[/латекс]. Следовательно, [латекс]\текст{}f\left(x\right)+k\text{}[/latex] эквивалентен [latex]\text{}y+k\text{}[/latex]. Каждая единица [латекс]\текст{}у\текст{}[/латекс] заменяется на [латекс]\текст{}у+к,\текст{}[/латекс], поэтому [латекс]\текст{} Значение y\text{-}[/latex] увеличивается или уменьшается в зависимости от значения [latex]\text{}k\text{}[/latex]. Результатом является сдвиг вверх или вниз.

Сдвиг по вертикали

Дана функция [латекс]f\влево(х\вправо)[/латекс], новая функция [латекс]г\влево(х\вправо)=f\влево(х\вправо)+ k[/latex], где [latex]\text{}k[/latex] — константа, — вертикальный сдвиг функции [latex]f\left(x\right)[/latex]. Все выходные значения изменяются на [latex]k[/latex] единиц. Если [latex]k[/latex] положителен, график сдвинется вверх. Если [latex]k[/latex] отрицательно, график сдвинется вниз.

Для регулирования температуры в зеленом здании вентиляционные отверстия возле крыши открываются и закрываются в течение дня. На рис. 3-3 показана площадь открытых вентиляционных отверстий [latex]\text{}V\text{}[/latex] (в квадратных футах) в течение дня в часы после полуночи, [latex]\text{}t\text{ }[/латекс]. Летом управляющий хозяйством решает попытаться лучше регулировать температуру, увеличив количество открытых вентиляционных отверстий на 20 квадратных футов в течение дня и ночи. Нарисуйте график этой новой функции.

Рисунок 3-3

Решение

Учитывая табличную функцию, создайте новую строку для представления вертикального смещения.

1. Укажите выходную строку или столбец.
2. Определите величину сдвига.
3. Добавьте сдвиг к значению в каждой выходной ячейке. Добавьте положительное значение вверх или отрицательное значение вниз.

Функция [latex]\text{}f\left(x\right)\text{}[/latex] указана в таблице 1. Создайте таблицу для функции [latex]\text{}g\left(x \right)=f\left(x\right)-3[/латекс].

Таблица 1

[латекс]x[/латекс]	2	4	6	8
[латекс]f\влево(х\вправо)[/латекс]	1	3	7	11

Анализ

Как и в предыдущем вертикальном сдвиге, обратите внимание, что входные значения остаются прежними, а изменяются только выходные значения. 9{2}+30t\text{}[/latex] дает высоту [latex]\text{}h\text{}[/latex] мяча (в метрах), брошенного вверх с земли после [latex]\text {}t\text{}[/latex] секунд. Предположим, что вместо этого мяч был брошен с крыши 10-метрового здания. Свяжите эту новую функцию высоты [латекс]\текст{}b\left(t\right)\text{}[/latex] с [латекс]\text{}h\left(t\right)\text{}[/ латекс], а затем найдите формулу для [латекс]\текст{}b\left(t\right)[/латекс].

Раствор

Идентификация горизонтальных сдвигов

Мы только что видели, что сдвиг по вертикали — это изменение выхода или вне функции. Теперь мы посмотрим, как изменения ввода внутри функции изменяют ее график и значение. Сдвиг на входе приводит к перемещению графика функции влево или вправо в так называемом горизонтальном сдвиге , показанном на рисунке 3-4.

Рисунок 3-4: Горизонтальный сдвиг функции [латекс]\текст{}f\влево(х\вправо)=\sqrt[3]{х}\текст{}[/латекс]. Обратите внимание, что [latex]\text{}h=+1\text{}[/latex] сдвигает график влево, то есть в сторону отрицательных значений [latex]\text{}x[/latex]. 9{2}\text{}[/latex] – это новая функция. Каждый вход уменьшается на 2 перед возведением функции в квадрат. В результате график смещается на 2 единицы вправо, потому что нам нужно было бы увеличить предыдущий ввод на 2 единицы, чтобы получить такое же выходное значение, как указано в [latex]\text{}f[/latex].

Горизонтальное смещение

Учитывая функцию [латекс]\текст{}f\текст{}[/латекс], новую функцию [латекс]\текст{}г\влево(х\вправо)=f\влево( x-h\right)\text{}[/latex], где [latex]\text{}h\text{}[/latex] — константа, — сдвиг по горизонтали функции [latex]\text{}f\ текст{}[/латекс]. Если [latex]\text{}h\text{}[/latex] положительный, график сдвинется вправо. Если значение [latex]\text{}h\text{}[/latex] отрицательное, график сдвинется влево.

Возвращаясь к нашему примеру потока воздуха в здании из Примера 1 (Рисунок 3-5 ниже), предположим, что осенью руководитель предприятия решает, что первоначальный план вентиляции начинается слишком поздно, и хочет начать всю программу вентиляции на 2 часа раньше. Нарисуйте график новой функции.

Рисунок 3-5

Анализ

Обратите внимание, что [latex]\text{}V\left(t+2\right)\text{}[/latex] сдвигает график на влево .

Горизонтальные изменения или «внутренние изменения» влияют на домен функции (вход), а не на диапазон, и часто кажутся нелогичными. Новая функция [latex]\text{}F\left(t\right)\text{}[/latex] использует те же выходные данные, что и [latex]\text{}V\left(t\right)\text{} [/latex], но сопоставляет эти выходные данные с входными на 2 часа раньше, чем [latex]\text{}V\left(t\right)\text{}[/latex]. Другими словами, мы должны добавить 2 часа к входным данным [latex]\text{}V\text{}[/latex], чтобы найти соответствующий вывод для [latex]F:F\left(t\right)=V \влево(т+2\вправо)[/латекс].

Решение

Учитывая табличную функцию, создайте новую строку для представления горизонтального смещения.

1. Определите входную строку или столбец.
2. Определите величину сдвига.
3. Добавьте сдвиг к значению в каждой входной ячейке.

Функция [latex]\text{}f\left(x\right)\text{}[/latex] указана в таблице 2. Создайте таблицу для функции [latex]\text{}g\left(x \right)=f\left(x-3\right)[/латекс].

Таблица 2

[латекс]x[/латекс]	2	4	6	8
[латекс]f\влево(х\вправо)[/латекс]	1	3	7	11

Анализ

На рис. {2}\text{}[/latex]. Свяжите эту новую функцию [латекс]\текст{}г\влево(х\вправо)\текст{}[/латекс] с [латекс]\текст{}f\влево(х\вправо)\текст{}[/латекс ], а затем найдите формулу для [латекс]\текст{}г\влево(х\вправо)[/латекс].

Рисунок 3-7 Анализ

Чтобы определить, является ли сдвиг [латекс]\текст{}+2\текст{}[/латекс] или [латекс]\текст{}-2[/латекс], рассмотрим одиночный точка отсчета на графике. Для квадратичного удобно смотреть на точку вершины. В исходной функции [латекс]\текст{}f\влево(0\вправо)=0\текст{}[/латекс]. В нашей сдвинутой функции [латекс]\текст{}г\влево(2\вправо)=0\текст{}[/латекс]. Чтобы получить выходное значение 0 из функции [latex]\text{}f\text{}[/latex], нам нужно решить, какой знак плюс или минус будет работать для удовлетворения [latex]\text{}g \left(2\right)=f\left(x-2\right)=f\left(0\right)=0\text{}[/latex]. Для этого нам понадобится вычесть 2 единицы из наших входных значений.

Раствор

1. Функция [латекс]\текст{}G\влево(м\вправо)\текст{}[/латекс] дает количество галлонов газа, необходимое для привода [латекс]\текст{}м\текст{}[ /латекс] миль. Интерпретировать [латекс]\текст{}G\влево(м\вправо)+10\текст{}[/латекс] и [латекс]\текст{}G\влево(м+10\вправо)[/латекс].
2. Учитывая функцию [латекс]\текст{}f\left(x\right)=\sqrt{x}\text{}[/latex], постройте график исходной функции [латекс]\текст{}f\left(x \right)\text{}[/latex] и преобразование [latex]\text{}g\left(x\right)=f\left(x+2\right)\text{}[/latex] на одинаковые оси. Это сдвиг по горизонтали или по вертикали? В какую сторону сместился график и на сколько единиц?

Раствор

Комбинация вертикального и горизонтального смещения

Теперь, когда у нас есть два преобразования, мы можем объединить их вместе. Вертикальные сдвиги — это внешние изменения, которые влияют на выходные значения оси [latex](y\text{-})[/latex] и сдвигают функцию вверх или вниз. Горизонтальные сдвиги — это внутренние изменения, которые влияют на входные значения оси [latex](x\text{-})[/latex] и сдвигают функцию влево или вправо. Сочетание двух типов сдвигов приведет к смещению графика функции вверх или вниз 9. 0738 и вправо или влево.

Учитывая функцию и вертикальное и горизонтальное смещение, нарисуйте график.

1. Определите вертикальное и горизонтальное смещение по формуле.
2. Сдвиг по вертикали является результатом добавления константы к выходным данным. Переместите график вверх для положительной константы и вниз для отрицательной константы.
3. Горизонтальное смещение получается из константы, добавленной к входу. Переместите график влево для положительной константы и вправо для отрицательной константы.
4. Применить сдвиги к графику в любом порядке.

1. Учитывая [латекс]\текст{}f\left(x\right)=|x|\text{}[/latex], нарисуйте график [латекс]\text{}h\left(x\right) =f\влево(x+1\вправо)-3[/латекс].
2. Учитывая [латекс]\текст{}f\left(x\right)=|x|\text{}[/latex], нарисуйте график [латекс]\text{}h\left(x\right)= f\влево(x-2\вправо)+4[/латекс].

Раствор

1.  Напишите формулу для графика, показанного на рис.