Вектор градиента: Градиент — Википедия – Скачать бесплатные векторные изображения, фото и PSD-файлы

Дифференциальные операторы в различных системах координат — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Здесь приведён список векторных дифференциальных операторов в различных системах координат.

Общее выражение для оператора ∇ в произвольной системе ортогональных координат можно записать так:

∇∘A=∑mim∘∂A∂rm=i1∘∂A∂r1+i2∘∂A∂r2+i3∘∂A∂r3{\displaystyle \nabla \circ \mathbf {A} =\sum _{m}i_{m}\circ {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{m}}=i_{1}\circ {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{1}}+i_{2}\circ {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{2}}+i_{3}\circ {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{3}}},

где «∘{\displaystyle \circ }» — любой из трех значков, соответствующих действию оператора ∇:

• » » — градиент;
• » · » — дивергенция;
• » × » — ротор.

Элементы ∂rm{\displaystyle \partial r_{m}} в этой записи соответствуют элементам радиус-вектора в соответствующей системе координат:

dr=∑mim∂rm=i1∂r1+i2∂r2+i3∂r3{\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{m}i_{m}\partial r_{m}=i_{1}\partial r_{1}+i_{2}\partial r_{2}+i_{3}\partial r_{3}}

Иначе говоря, первым действием является взятие частной производной ∂A∂rm{\displaystyle {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{m}}} по проекции радиус-вектора от всего вектора A{\displaystyle \mathbf {A} } (с учетом производных орт в данной системе координат), и лишь потом умножение (простое для градиента, скалярное для дивергенции и векторное для ротора) орта направления на ∂A∂rm{\displaystyle {\partial \mathbf {A} \over \partial r_{m}}}.

При этом достаточно знать выражения:

Например: в приведенной ниже таблице запись дивергенции в цилиндрических координатах получена следующим образом:

∇⋅A=iρ⋅∂∂ρ(iρAρ+iφAφ+izAz)+1ρiφ⋅∂∂φ(iρAρ+iφAφ+izAz)+iz⋅∂∂z(iρAρ+iφAφ+izAz)={\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =i_{\rho }\cdot {\partial \over \partial \rho }(i_{\rho }A_{\rho }+i_{\varphi }A_{\varphi }+i_{z}A_{z})+{1 \over \rho }i_{\varphi }\cdot {\partial \over \partial \varphi }(i_{\rho }A_{\rho }+i_{\varphi }A_{\varphi }+i_{z}A_{z})+i_{z}\cdot {\partial \over \partial z}(i_{\rho }A_{\rho }+i_{\varphi }A_{\varphi }+i_{z}A_{z})=}

=∂Aρ∂ρ+(1ρiφ⋅∂iρ∂φAρ)+1ρ∂Aφ∂φ+∂Az∂z=(∂Aρ∂ρ+Aρρ)+1ρ∂Aφ∂φ+∂Az∂z={\displaystyle ={\partial A_{\rho } \over \partial \rho }+{\biggl (}{1 \over \rho }i_{\varphi }\cdot {\partial i_{\rho } \over \partial \varphi }A_{\rho }{\biggr )}+{1 \over \rho }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial A_{z} \over \partial z}={\biggl (}{\partial A_{\rho } \over \partial \rho }+{A_{\rho } \over \rho }{\biggr )}+{1 \over \rho }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial A_{z} \over \partial z}=}

=1ρ∂(ρAρ)∂ρ+1ρ∂Aφ∂φ+∂Az∂z{\displaystyle ={1 \over \rho }{\partial (\rho A_{\rho }) \over \partial \rho }+{1 \over \rho }{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi }+{\partial A_{z} \over \partial z}}

Здесь используются стандартные физические обозначения. Для сферических координат, θ обозначает угол между осью z

и радиус-вектором точки, φ — угол между проекцией радиус-вектора на плоскость x-y и осью x.

Градиент концентрации — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

При наличии градиента концентрации в растворе наблюдается диффузия — диффузионный поток растворённого вещества направлен против градиента концентрации. Если имеется полупроницаемая перегородка, пропускающая только молекулы растворителя (но не растворённого вещества), наблюдается осмос — поток растворителя, направлен по градиенту концентрации.

Градиент концентрации или концентрационный градиент — это векторная физическая величина, характеризующая величину и направление наибольшего изменения концентрации какого-либо вещества в среде. Например, если рассмотреть две области с различной концентрацией какого-либо вещества, разделённые полупроницаемой мембраной, то градиент концентрации будет направлен

из области меньшей концентрации вещества в область с большей его концентрацией. Вектор диффузионного потока направлен против вектора градиента концентрации, что, в соответствии с принципом Ле-Шателье, приводит со временем к уменьшению этого потока и градиента концентрации.

Градиент концентрации направлен по пути l{\displaystyle l}, соответствующему нормали к изоконцентрационной поверхности (полупроницаемой мембране). Значение градиента концентрации ∇C{\displaystyle \nabla C} равно отношению приращения концентрации dC{\displaystyle dC} к соответствующему приращению пути dl{\displaystyle dl}:

∇C=dCdl.{\displaystyle \nabla C={\frac {dC}{dl}}.}

При постоянном значении градиента концентрации C{\displaystyle C} на длине пути l{\displaystyle l}:

∇C=C1−C2l.{\displaystyle \nabla C={\frac {C_{1}-C_{2}}{l}}.}

Здесь C1{\displaystyle C_{1}} и C2{\displaystyle C_{2}} — начальное и конечное значение концентрации на длине пути l{\displaystyle l} (нормали к изоконцентрационной поверхности).

Градиент концентрации может быть причиной переноса веществ, например диффузии. Диффузия осуществляется против вектора градиента концентрации^{[источник не указан 1262 дня]}.

Единицей измерения градиента концентрации в Международной системе единиц (СИ) является величина м⁻⁴ (моль/м⁴ или кг/м⁴), а также её дольные или кратные производные.

Гистограмма направленных градиентов — Википедия

Эта статья или раздел содержит незавершённый перевод с английского языка. Вы можете помочь проекту, закончив перевод.

Гистограмма направленных градиентов

(англ. Histogram of Oriented Gradients, HOG) — дескрипторы особых точек, которые используются в компьютерном зрении и обработке изображений с целью распознавания объектов. Данная техника основана на подсчете количества направлений градиента в локальных областях изображения. Этот метод похож на гистограммы направления края, дескрипторы SIFT и контексты формы, но отличается тем, что вычисляется на плотной сетке равномерно распределенных ячеек и использует нормализацию перекрывающегося локального контраста для увеличения точности.

Навнит Далал и Билл Триггс, исследователи INRIA, впервые описали гистограмму направленных градиентов в своей работе на CVPR в июне 2005 года. В этой работе они использовали алгоритм для нахождения пешеходов на статичных изображениях, хотя впоследствии расширили область применения до нахождения людей на видео, а также различных животных и машин на статичных изображениях.

Основной идеей алгоритма является допущение, что внешний вид и форма объекта на участке изображения могут быть описаны распределением градиентов интенсивности или направлением краев. Реализация этих дескрипторов может быть произведена путём разделения изображения на маленькие связные области, именуемые ячейками, и расчетом для каждой ячейки гистограммы направлений градиентов или направлений краев для пикселей, находящихся внутри ячейки. Комбинация этих гистограмм и является дескриптором. Для увеличения точности локальные гистограммы подвергаются нормализации по контрасту. С этой целью вычисляется мера интенсивности на большем фрагменте изображения, который называется блоком, и полученное значение используется для нормализации. Нормализованные дескрипторы обладают лучшей инвариантностью по отношению к освещению.

Дескриптор HOG имеет несколько преимуществ над другими дескрипторами. Поскольку HOG работает локально, метод поддерживает инвариантность геометрических и фотометрических преобразований, за исключением ориентации объекта. Подобные изменения появятся только в больших фрагментах изображения. Более того, как обнаружили Далал и Триггс, грубое разбиение пространства, точное вычисление направлений и сильная локальная фотометрическая нормализация позволяют игнорировать движения пешеходов, если они поддерживают вертикальное положение тела. Дескриптор HOG, таким образом, является хорошим средством нахождения людей на изображениях.

[1]

Вычисление градиента[править | править код]

Первым шагом вычислений во многих детекторах особых точек является нормализация цвета и гамма-коррекция. Далал и Триггс установили, что для дескриптора HOG этот шаг можно опустить, поскольку последующая нормализация даст тот же результат. Поэтому на первом шаге рассчитываются значения градиентов. Самым распространенным методом является применение одномерной дифференцирующей маски в горизонтальном и/или вертикальном направлении. Этот метод требует фильтрации цветовой или яркостной составляющей при помощи следующих фильтрующих ядер:

[−1,0,1]{\displaystyle [-1,0,1]} и [−1,0,1]T.{\displaystyle [-1,0,1]^{T}.}

Далал и Триггс использовали более сложные маски, такие как Собел 3×3 (Оператор Собеля) или диагональные маски, но эти маски показали более низкую производительность для данной задачи. Они также экспериментировали с размытием по Гауссу перед применением дифференцирующей маски, но также обнаружили, что пропуск этого шага увеличивает быстродействие без заметной потери качества.^[2]

Группировка направлений[править | править код]

На следующем шаге вычисляются гистограммы ячеек. Каждый пиксел в ячейке участвует во взвешенном голосовании для каналов гистограммы направлений, основанном на значении градиентов. Ячейки могут быть прямоугольной или круглой формы, каналы гистограммы равномерно распределяются от 0 до 180 или же от 0 до 360 градусов, в зависимости от того, вычисляется «знаковый» или «беззнаковый градиент». Далал и Триггс обнаружили, что беззнаковый градиент совместно с девятью каналами гистограммы дает лучшие результаты при распознавании людей. При распределении весов в голосовании вес пикселя может задаваться либо абсолютным значением градиента, либо некоторой функцией от него; в реальных тестах абсолютное значение градиента дает лучшие результаты. Другими возможными вариантами могут быть квадратный корень, квадрат или урезанное абсолютное значение градиента.^[3]

Блоки дескрипторов[править | править код]

Для принятия во внимание яркости и контрастности градиенты следует локально нормировать, для чего ячейки нужно сгруппировать в более крупные связные блоки. Дескриптор HOG, таким образом, является вектором компонент нормированных гистограмм ячеек из всех областей блока. Как правило, блоки перекрываются, то есть каждая ячейка входит более чем в один конечный дескриптор. Используются две основные геометрии блока: прямоугольные R-HOG и круглые C-HOG. Блоки R-HOG обычно являются квадратными сетками, характеризующимися тремя параметрами: количеством ячеек на блок, количеством пикселов на ячейку и количеством каналов на гистограмму ячейки. В эксперименте Далала и Триггса оптимальными параметрами являются блоки 16×16, ячейки 8×8 и 9 каналов на гистограмму. Более того, они обнаружили, что можно слегка повысить скорость вычислений, применяя гауссов фильтр внутри каждого блока до процедуры голосования, что, в свою очередь, снижает вес пикселей на границах блоков. Блоки R-HOG оказываются очень похожими на SIFT-дескрипторы; однако, несмотря на их похожую структуру, блоки R-HOG вычисляются на плотных сетках фиксированного масштаба без фиксированного направления, в то время как SIFT-дескрипторы вычисляются в разреженных, не чувствительных к масштабу ключевых точках изображения и используют поворот для выравнивания направления. Кроме того, для кодирования информации о форме объектов блоки R-HOG используются совместно, в то время как SIFT-дескрипторы используются по отдельности.

Блоки C-HOG имеют 2 разновидности: с цельной центральной ячейкой и разделенной на сектора. Эти блоки могут быть описаны 4 параметрами: количество секторов и колец, радиус центрального кольца и коэффициент расширения для радиусов остальных колец. Далал и Триггс обнаружили, что обе разновидности показали одинаковый результат, и разделение на 2 кольца и 4 сектора с радиусом 4 пиксела и коэффициентом расширения 2 дало лучший результат в их эксперименте. Кроме того, гауссово взвешивание не дало никаких улучшений при использовании блоков C-HOG. Эти блоки похожи на контексты формы, но имеют важное отличие: блоки C-HOG содержат ячейки с несколькими каналами направлений, в то время как контексты формы используют только наличие одного края.^[4]

Нормализация блоков[править | править код]

Далал и Триггс исследовали четыре метода нормализации блоков. Пусть v{\displaystyle v} — ненормированный вектор, содержащий все гистограммы данного блока, ‖v‖k{\displaystyle \|v\|_{k}} — его k-норма при k=1,2{\displaystyle k={1,2}} и e{\displaystyle e} — некая малая константа (точное значение не так важно). Тогда нормировочный множитель можно получить одним из следующих способов:

L2-норма: f=v‖v‖22+e2{\displaystyle f={v \over {\sqrt {\|v\|_{2}^{2}+e^{2}}}}}

L2-hys: L2-норма ограничивается сверху (значения v, бóльшие 0,2, полагаются равными 0,2) и перенормируется, как в^[5]

L1-норма: f=v(‖v‖1+e){\displaystyle f={v \over (\|v\|_{1}+e)}}

корень из L1-нормы: f=v(‖v‖1+e){\displaystyle f={\sqrt {v \over (\|v\|_{1}+e)}}}

Далал и Триггс установили, что L1-норма дает менее надежные результаты, чем остальные три, которые работают приблизительно одинаково хорошо, однако все четыре метода значительно улучшают результаты по сравнению с ненормализованными.^[4]

SVM-классификатор[править | править код]

Конечным шагом в распознавании объектов с использованием HOG является классификация дескрипторов при помощи системы обучения с учителем. Далал и Триггс использовали метод опорных векторов (SVM, Support Vector Machine).

В оригинальном эксперименте по обнаружению людей, Далал и Триггс сравнивали дескрипторы R-HOG и C-HOG с обобщенными вейвлетами Хаара и контекстами формы. Обобщенные вейвлеты Хаара являются направленными вейвлетами Хаара и были использованы в 2001 году Моханом, Папагеоргиу и Поггио в их экспериментах по обнаружению объектов. Дескрипторы PCA-SIFT похожи на SIFT-дескрипторы, но отличаются тем, что к нормализованным градиентам применяется метод главных компонент. Дескрипторы PCA-SIFT впервые были использованы в 2004 в работе Ке и Суктханкара; было заявлено, что они по своим параметрам превосходят обычные SIFT-дескрипторы. Наконец, контексты формы, подобно C-HOG, используют круглые бины, но учитывают голоса только на основе присутствия края, не учитывая ориентацию. Контексты формы появились в 2001 в работе Белонги, Малик и Пузича.

Тестирование проводилось на двух разных наборах данных. База данных пешеходов Массачусетского технологического института содержит обучающую выборку из 509 изображений и тестовую выборку из 200 изображений. Набор содержит изображения людей только спереди или сзади, позы на изображениях почти не отличаются. Эта база данных широко известна и используется в других исследованиях, найти её можно по ссылке https://web.archive.org/web/20080130190339/http://cbcl.mit.edu/cbcl/software-datasets/PedestrianData.html. Второй набор данных был специально создан Далалом и Триггсом для их эксперимента, поскольку на наборе MIT дескрипторы HOG показали почти совершенные результаты. Этот набор данных, известный как INRIA, содержит 1805 изображений людей. Набор содержит изображения людей в широком разнообразии поз, включает в себя изображения с трудным фоном (например, на фоне толпы), и является гораздо более сложным для распознавания, чем набор MIT. База данных INRIA в настоящий момент доступна по адресу http://lear.inrialpes.fr/data.

По результатам исследований, дескрипторы C-HOG и R-HOG дают сравнимые результаты, причем C-HOG имеют несколько меньшую долю пропущенных изображений при фиксированной доле ошибок первого рода на обоих наборах изображений.

Дескриптор	Набор изображений	Доля пропущенных изображений	Доля ошибок первого рода
HOG	MIT	≈0	10−4
HOG	INRIA	0.1	10−4
Обобщенные вейвлеты Хаара	MIT	0.01	10−4
Обобщенные вейвлеты Хаара	INRIA	0.3	10−4
PCA-SIFT, контексты формы	MIT	0.1	10−4
PCA-SIFT, контексты формы	INRIA	0.5	10−4

По следующей ссылке можно найти соответствующий график DET.^[2]

В рамках семинара Pascal Visual Object Classes в 2006 году, Далал и Триггс представили результаты применения HOG-дескрипторов к поиску на изображениях не только людей, но и машин, автобусов, велосипедов, собак, кошек и коров, а также оптимальные параметры для формирования и нормализации блоков в каждом случае. По ссылке можно посмотреть примеры для обнаружения мотоциклов.^[6]

Затем в рамках Европейской конференции по компьютерному зрению 2006 года, Далал и Триггс совместно с Корделией Шмид применили HOG-дескрипторы к распознаванию людей на видео. Предложенный ими способ заключается в совместном использовании обычных HOG-дескрипторов на каждом кадре и гистограмм внутреннего движения (англ. Internal Motion Histograms, IMH) на парах последовательных кадров. IMH-дескрипторы используют длины градиентов, полученных из оптического потока между двумя последовательными кадрами.

Скалярное поле — Википедия

Если каждой точке M{\displaystyle M} заданной области пространства (чаще всего размерности 2 или 3) поставлено в соответствие некоторое (обычно — действительное) число u{\displaystyle u}, то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Другими словами, скалярное поле — это функция, отображающая Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} в R{\displaystyle \mathbb {R} } (скалярная функция точки пространства).

Чаще других в приложениях встречаются:

• Функция трёх переменных: u=u(r)=u(x,y,z){\displaystyle u=u(\mathbf {r} )=u(x,y,z)} (скалярное поле на (в) трёхмерном пространстве, называемое иногда^[1] пространственным полем).
• Функция двух переменных: u=u(r)=u(x,y){\displaystyle u=u(\mathbf {r} )=u(x,y)} (скалярное поле на (в) двумерном пространстве, называемое иногда^[1] плоским полем).

Обычно от скалярной функции требуется непрерывность или дифференцируемость достаточное количество раз (то есть, функция должна принадлежать Cm{\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}).

Примеры скалярных полей на трёхмерном пространстве:

Примеры плоских (двумерных) скалярных полей:

• глубина моря, отмеченная каким-либо образом на плоской карте;
• плотность заряда на плоской поверхности проводника.

Обычно под скалярным полем понимается поле, инвариантное при преобразованиях координат (иногда, и нередко — при определенном классе преобразований координат, например, при преобразованиях, сохраняющих объем, ортогональных преобразованиях и т. п.; но не менее редко имеется в виду инвариантность скалярного поля при произвольных преобразованиях координат, ограниченных, быть может, только гладкостью). (См. скаляр).

В этом смысле далеко не каждая вещественнозначная функция координат является скалярным полем. Простейший пример: в этом смысле не является скалярным полем одна из координатных компонент векторного поля, так как при изменении выбора координат (например, при повороте координатных осей) она не останется неизменной (то есть, не является инвариантом преобразований координат).

В физике и многих других приложениях поле, вообще говоря, зависит также от времени^[2]:

u=u(x,y,z,t){\displaystyle u=u(x,y,z,t)},

при этом операции над полем (такие, как градиент) используются по-прежнему 3-мерные, то есть, несмотря на добавление еще одной независимой переменной, по существу при этом поле рассматривается как поле в пространстве размерности 3, а не 4. Те же соображения касаются случаев, когда поле зависит, кроме пространственных координат, ещё от каких-то других параметров: эти параметры могут быть явно указаны в функциональной зависимости, что, однако, не меняет размерности основного пространства, в котором рассматривается поле.

В современной теоретической физике принято явным образом рассматривать время как координату, формально равноправную трем пространственным^[3], а совокупность пространства и времени рассматривается явно как единое четырёхмерное пространство (называемое пространством-временем). Таким образом, говоря о скалярном поле в современной теоретической физике, по умолчанию подразумевают поле на четырёхмерном пространстве или многообразии, т. е. функцию, зависимую от четырёх формально равноправных координат:

u=u(xi)=u(x0,x1,x2,x3){\displaystyle u=u(x_{i})=u(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})}

(одна из этих четырёх координат xi{\displaystyle x_{i}} равна или пропорциональна времени), более того, при этом, если используют термин скалярное поле, еще и подразумевается, что u{\displaystyle u} — лоренц-инвариантно. Все операции над полем (такие, как градиент) при этом используются в их четырёхмерном виде.

Под скалярным полем в современной теоретической физике понимается обычно (если речь идёт о фундаментальных полях) фундаментальное поле скаляра пространства Минковского (лоренц-инвариантное поле) или поле, инвариантное относительно общекоординатных преобразований, (обычно первое и второе практически совпадает).

Практическими синонимами термина скалярное поле в этом смысле являются термины поле спина ноль, частица спина ноль, скалярная частица (последние, всё же несколько разводя эти близкие понятия, называют также возбуждениями скалярного поля).

Единственной экспериментально открытой скалярной частицей является бозон Хиггса.

Скалярные поля играют немалую роль в теоретических построениях. Их наличие (наряду с векторными и тензорными полями, понимаемыми в том же смысле и наблюдаемыми реально) необходимо для полноты классификации фундаментальных полей.

В новых физических теориях (таких, как например теория струн) часто имеют дело с пространствами и многообразиями разной размерности, в том числе и достаточно высокой (больше четырёх), и полями, в том числе скалярными полями, на таких пространствах.

Скалярное поле можно представить графически с помощью поверхностей уровня (также называемой изоповерхностями).

Поверхностью уровня скалярного поля u=u(x,y,z){\displaystyle u=u(x,y,z)} называется множество точек пространства, в которых функция u принимает одно и то же значение c, то есть поверхность уровня определяется уравнением u(x,y,z)=c{\displaystyle u(x,y,z)=c}. Изображение набора поверхностей уровня для разных c{\displaystyle c} дает наглядное представление о конкретном скалярном поле, для которого они построены (изображены)^[4], кроме того, представление о поверхностях уровня дает определенный дополнительный геометрический инструмент для работы со скалярным полем, который может использоваться для вычислений, доказательства теорем и т. п. Пример: эквипотенциальная поверхность.

Для поля на двумерном пространстве аналогом поверхности уровня является линии уровня. Примеры: изобата, Изотерма, изогипса (линия равных высот) на географической карте и прочие изолинии.

Поверхностями уровня для скалярного поля на пространстве большей размерности являются гиперповерхности с размерностью на единицу меньшей, чем размерность пространства.

Направление скорейшего возрастания поля u=u(r)=u(x,y,z){\displaystyle u=u(\mathbf {r} )=u(x,y,z)} указывает вектор градиента, обозначаемый стандартно:

grad u{\displaystyle \mathbf {grad} \ u},

или иное обозначение:

∇u{\displaystyle \nabla u},

с компонентами:

(∂u∂x, ∂u∂y, ∂u∂z){\displaystyle \left({\frac {\partial u}{\partial x}},\ {\frac {\partial u}{\partial y}},\ {\frac {\partial u}{\partial z}}\right)}.

Здесь приведена формула для трёхмерного случая, на другие размерности она обобщается прямо и тривиально.

• Если координаты не декартовы (базис не ортонормирован) существенно заметить, что приведенные выше компоненты градиента есть компоненты ковариантные, то есть градиент скалярного поля есть ко-векторное поле. Для ортономированных базисов это не существенно, так как для них понятие вектора и ко-вектора можно считать совпадающими, как и ковариантные и контравариантные координаты.

Абсолютная величина вектора градиента u есть производная u по направлению скорейшего роста (скорость роста u при движении с единичной скоростью в этом направлении).

Градиент всегда перпендикулярен поверхностям уровня (в двумерном случае — линиям уровня). Исключение — особые точки поля, в которых градиент равен нулю.

1. ↑ ^{1 2} Плоское поле — Метеорологический Словарь
2. ↑ Будем во избежание путаницы в этом параграфе говорить только о поле на трёхмерном пространстве.
3. ↑ На это есть достаточно серьёзные причины, сводящиеся к тому, что в физике не только можно делать формальные преобразования (так называемые преобразования Лоренца, которые можно охарактеризовать как пространственно-временные повороты), смешивающие пространственные координаты с временной, но оказывается, что никакие физические эксперименты и наблюдения, насколько известно на сегодня, не могут выявить различия между уравнениями физики, записанными в той или другой из двух повернутых так друг относительно друга пространственно-временных системах координат.
4. ↑ «Картинка» таких поверхностей, конечно же, в целом трёхмерная (сами поверхности двумерны, но вообще говоря не плоские и располагаются в трёхмерном пространстве), однако её можно, в простых случаях и нетрудно вообразить^[что?], а также каким-то образом построить одну или несколько двумерных проекций или сечений такой трёхмерной картинки.