Значок следовательно – Таблица математических символов. Сокращённая запись математического текста, математические обозначения. Математический алфавит. Математическая скоропись. Негламурный эксклюзив от Проекта DPVA.info

Импликация — Википедия

Импликация (от лат. implicatio — «связь») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…».

Импликация записывается как посылка ⇒{\displaystyle \Rightarrow } следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами[1][2]:

Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы[3].

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением[4].

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества {0,1}{\displaystyle \{0,1\}}. Результат также принадлежит множеству {0,1}{\displaystyle \{0,1\}}. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений 0,1{\displaystyle 0,1} может использоваться любая другая пара подходящих символов, например false,true{\displaystyle \operatorname {false} ,\operatorname {true} } или F,T{\displaystyle F,T} или «ложь», «истина».

Правило:

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация A→B{\displaystyle A\to B} это сокращённая запись для выражения ¬A∨B{\displaystyle \neg A\lor B}.

Таблицы истинности:

прямая импликация (от a к b) (материальная импликация (англ.)русск., материальный кондиционал (англ.)русск.)

  • если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
  • если a⩽b{\displaystyle a\leqslant b}, то истинно (1).

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:

А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).
В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0).

В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.

обратная импликация (англ.)русск. (от b к a, A∨(¬B){\displaystyle A\lor (\neg B)})

  • если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
  • если a⩾b{\displaystyle a\geqslant b}, то истинно (1).

Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) прямой импликации

  • если первый операнд больше второго операнда, то 1,
  • если a>b{\displaystyle a>b}, то истинно (1).

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (англ.)русск. (¬A∧B{\displaystyle \lnot A\land B}), разряд займа в двоичном полувычитателе.

  • если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
  • если a<b{\displaystyle a<b}, то истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

Синонимические импликации выражения в русском языке[править | править код]

  • Если А, то Б
  • Б в том случае, если А
  • При А будет Б
  • Из А следует Б
  • В случае А произойдет Б
  • Б, так как А
  • Б, потому что А
  • А — достаточное условие для Б
  • Б — необходимое условие для А

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом ⇒{\displaystyle \Rightarrow }, и ей соответствует вложение множеств: пусть A⊂B{\displaystyle A\subset B}, тогда

x∈A⇒x∈B.{\displaystyle x\in A\Rightarrow x\in B.}

Например, если A{\displaystyle A} — множество всех квадратов, а B{\displaystyle B} — множество прямоугольников, то, конечно, A⊂B{\displaystyle A\subset B} и

(a — квадрат) ⇒{\displaystyle \Rightarrow } (a — прямоугольник).

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.

Можно доказать эквивалентность импликации A→B{\displaystyle A\rightarrow B} формуле ¬A∨B{\displaystyle \neg A\lor B} (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле ¬(A∧¬B){\displaystyle \neg (A\land \neg B)}, которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)). Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде A→⊭{\displaystyle A\rightarrow \nvDash }, где ⊭{\displaystyle \nvDash } — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

В языках программирования импликация используется, как правило, неявно. Например, конструкция, предполагающая истинность условий B в данном участке программы:

 if (!(выражение A) || выражение B) {
    сделать_что-то_полезное
 } else {
    сбой
 }

будет успешно выполняться тогда и только тогда, когда верна импликация A → B. В то же время эти условия можно спокойно написать в одной строке, объединив их оператором конъюнкции.

 if (выражение A) and (выражение B) {
    сделать_что-то_полезное
 }

При стандартных опциях компилятора (Delphi, C++ Builder)[прояснить] проверка идёт до тех пор, пока результат не станет очевидным, и если А ложно, то (А и В) ложно вне зависимости от В, и не нужно ставить ещё один условный оператор.

 //выражение A - ложно
 if (выражение A) {
    // Дальше проверка не идёт
    ... if (выражение B) {
       сделать_что-то_полезное
    } ...
 }

В функциональных языках импликация может быть не только правилом вычислений, но и видом отношения между данными, то есть обрабатываться (в том числе и выполняться) и создаваться по ходу выполнения программы.

  • Эдельман С.Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
  • Игошин В.И.
    Задачник-практикум по математической логике. — М.: Просвещение, 1986. — 158 с.
  • Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.
  • Барабанов О.О. Импликация / Труды XI международных Колмогоровских чтений: сборник статей. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2013. С.49-53.

Знак деления — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Знак деления — математический символ в виде двоеточия (∶), обелюса (÷) или косой черты (∕), используемый для обозначения оператора деления.

÷

В большинстве стран используют двоеточие (∶)[1], в англоязычных странах и на клавишах микрокалькуляторов — символ (÷). В связи с большими неудобствами и даже невозможностью введения полноценных дробей в компьютер во времена операционных систем без GUI использовали упрощённые знаки для формул, в том числе для знака деления использовали значок косой черты (⁄).

Герон, Диофант и исламские авторы в качестве знака деления использовали горизонтальную черту дроби. В средневековой Европе деление часто обозначали буквой D. Отред в своём труде

Clavis Mathematicae (1631) предпочёл косую черту или (иногда) знак правой круглой скобки, последняя встречается и у Штифеля: конструкции 8)24{\displaystyle 8)24} или 8)24({\displaystyle 8)24(} означали деление 24{\displaystyle 24} на 8.{\displaystyle 8.} Двоеточием деление стал обозначать с 1684 года Лейбниц в трактате Acta eruditorum[2].

Швейцарский математик Иоганн Ран ввёл для обозначения деления знак (÷) (обелюс). Вместе со знаком умножения в виде звёздочки (∗) он появился в его книге «Teutsche Algebra» в 1659 году. Из-за распространения в Англии знак Рана часто называют «английским знаком деления», однако корни его лежат в Швейцарии. Ранее Жирар использовал символ обелюса как синоним минуса[3][4]. Попытка Американского национального комитета по математическим стандартам (англ. National Committee on Mathematical Requirements) вывести обелюс из практики (1923) оказалась безрезультатной[5].

Другие употребления символов (÷) и (∶)[править | править код]

Символы (÷) и (∶) могут использоваться также для обозначения диапазона. Например, «5÷10» может обозначать диапазон [5, 10], то есть от 5 до 10 включительно. Если имеется таблица, строки которой обозначаются числами, а столбцы — латинскими буквами, то запись вида «D4:F11» может использоваться для обозначения массива ячеек (двумерного диапазона) от

D до F и от 4 до 11.

Кодировка по Unicode, HTML и LaTeX
Знак Юникод Название HTML/XML LaTeX
Код Название Шестнадцатеричное Десятичное Мнемоника
U+2236 RATIO &#x2236; &#8758; \vdotdot
: U+003A COLON двоеточие &#x003A; &#58; :
÷ U+00F7 DIVISION SIGN &#x00F7;
&#247;
&divide; \div
U+2215 DIVISION SLASH &#x2215; &#8725; /
U+2044 FRACTION SLASH знак дроби &#x2044; &#8260; &frasl; /
⛭
  • Плюс (+)
  • Минус ()
  • Знак умножения (· или ×)
  • Знак деления (: или /)
  • Обелюс (÷)
  • Знак корня ()
  • Факториал (!)
  • Знак интеграла ()
  • Набла ()
  • Знак равенства (=, , и др.)
  • Знаки неравенства (, >, < и др.)
  • Пропорциональность (
    )
  • Скобки (( ), [ ], ⌈ ⌉, ⌊ ⌋, { }, ⟨ ⟩)
  • Вертикальная черта (|)
  • Косая черта, слеш (/)
  • Обратная косая черта, бэкслеш (\)
  • Знак бесконечности ()
  • Знак градуса (°)
  • Штрих (, , , )
  • Звёздочка (*)
  • Процент (%)
  • Промилле ()
  • Тильда (~)
  • Карет (^)
  • Циркумфлекс (ˆ)
  • Плюс-минус (±)
  • Знак минус-плюс ()
  • Десятичный разделитель (, или .)
  • Символ конца доказательства ()

Тогда и только тогда — Википедия

Запрос «Iff» перенаправляется сюда; другие значения см. IFF.

↔ ⇔ ≡


Логические символы, изображающие тогда и только тогда.

«Тогда́ и то́лько тогда́» — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике, математике, философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию[1][нет в источнике] («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение русского языка «тогда и только тогда» определённую выше связку с её уже существующим смыслом. Конечно, ничто не может помешать нам читать эту связку именно как «тогда и только тогда», хотя это может иногда привести к путанице.

В письменной форме в качестве альтернативы к «тогда и только тогда» часто используется достаточно спорные выражения, включающие: Q необходимо и достаточно для Р; Р эквивалентно (или материально эквивалентно) Q; Р точно, если Q; P точно, когда Q; P точно в случае Q; P именно в случае Q.

В логических формулах вместо всех вышеприведённых фраз используются логические символы.

Таблица истинности для p ↔ q имеет следующий вид:[2]

Тогда и только тогда
p q

pq

1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1

Заметим, что эквивалентное преобразование производит стандартная ячейка XNOR, а противоположное преобразование — стандартная ячейка XOR.

Нотация[править | править код]

Для обозначения в формулах логической связки «тогда и только тогда» используются логические символы ↔, ⇔ и ≡. В английских текстах иногда для обозначения связки используется «iff» (аббревиатура от «if and only if»), а в русскоязычных текстах по аналогии изредка используется аббревиатура «ттт»[3] или «согда»[4]. Обычно все эти символы трактуются как эквивалентные. Однако некоторые тексты математической логики (особенно по логике первого порядка и в меньшей степени по логике высказываний) делают различие между ними, причём, первый знак ↔ используется как символ в логических формулах, тогда как знак ⇔ используется в рассуждениях по поводу этих формул (например, в металогике). В нотации Лукасевича в качестве префикса используется символ «E». Отрицанием данной связки является «исключающее или».

Доказательства[править | править код]

В большинстве логических систем доказывается утверждения вида «P ↔ Q» через доказательство «если P, то Q» и «если Q, то P» (или обратное «если не-P, то не-Q» и «если не-Q, то не-P»). Доказательство этой пары утверждений иногда приводит к более строгому доказательству, поскольку есть неочевидные условия, из которых можно вывести эквиваленцию непосредственно. Альтернативой является доказательство дизъюнкции «(P и Q) или (не-P и не-Q)», которая сама по себе может быть выведена из дизъюнктов, т.е поскольку связка ↔ является функцией истинности, то отсюда следует, что «P ↔ Q» истинно только, если P и Q оба истинны или оба ложны.

  1. «Если пудинг с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть.» или «Мэдисон будет есть пудинг, если он с заварным кремом.» (эквивалентно к «Только если Мэдисон будет есть пудинг, тогда возможно, что он с заварным кремом.» или «Если Мэдисон не будет есть пудинг, значит он без крема.» или «Только если пудинг без крема, то возможно, что Мэдисон не станет его есть.»)
    Здесь утверждается лишь то, что Мэдисон будет есть крем-пудинг. Это, однако, не исключает возможности того, что Мэдисон съест хлеб-пудинг. Может быть, она будет есть, может быть не будет — предложения ничего не говорят нам. Мы знаем наверняка, что она будет есть любой крем-пудинг, с которым она встретится. Крем является достаточным условием для того, чтобы Мэдисон съела пудинг.
  2. «Только если пудинг с заварным кремом, тогда возможно, что Мэдисон будет его есть.» или «Мэдисон будет есть пудинг только тогда, когда он с заварным кремом.» (эквивалентно к «Если Мэдисон будет есть пудинг, значит он с заварным кремом.» или «Если пудинг без крема, то Мэдисон не станет его есть.» или «Только если Мэдисон не стала есть пудинг, то возможно, что он без крема.»)
    Здесь утверждается, что Мэдисон будет есть пудинг только с кремом. Это, однако, не исключает возможности того, что Мэдисон откажется от заварного крема, даже если он ей доступен, в отличие от (1), в котором требуется, чтобы Мэдисон съела любой имеющийся заварной крем. Во втором случае пудинг с заварным кремом является необходимым условием для того, чтобы Мэдисон его съела. Это не достаточное условие, так как Мэдисон может и не есть любые крем-пудинги, которые ей дают.
  3. «Тогда и только тогда, когда пудинг с заварным кремом, Мэдисон будет его есть.» или «Мэдисон будет есть пудинг тогда и только тогда, когда он с заварным кремом.»
    Здесь совершенно ясно, что Мэдисон будет есть только все те пудинги, которые с заварным кремом. Она не оставит ни одного такого пудинга несъеденным, и она не будет есть никакой другой вид пудинга. Данный крем-пудинг является одновременно необходимым и достаточным условием для того, чтобы Мэдисон его съела.

Достаточность является инверсией необходимости. То есть, если дано PQ (или если P, то Q), то P будет достаточным условием для Q, а Q будет необходимым условием для P. Кроме того, если дано PQ, то истинно также ¬Q¬P (где ¬ является оператором отрицания, то есть «не»). Это означает, что связь между P и Q, установленная оператором PQ, может быть выражена следующими эквивалентными способами:

P достаточно для Q
Q необходимо для P
¬Q достаточно для ¬P
¬P необходимо для ¬Q

Если в качестве примера взять вышеприведённое предложение (1), в котором утверждается PQ, где P — это «пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом», а Q — это «Мэдисон будет есть пудинг, о котором идёт речь». Следующие четыре способа выражения отношений эквивалентны:

Если пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть.
Только если Мэдисон будет есть пудинг, о котором идёт речь, он с заварным кремом.
Если Мэдисон не будет есть пудинг, о котором идёт речь, он без заварного крема.
Только если пудинг, о котором идёт речь, без заварного крема, Мэдисон не будет его есть.

Таким образом, мы видим, что вышеприведённое предложение (2) можно переформулировать в виде если … то, например, «Если Мэдисон съест пудинг, о котором идёт речь, то он с кремом». Беря это в сочетании с (1), мы находим, что (3) можно сформулировать так: «Если пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть, И если Мэдисон будет есть пудинг, то он с заварным кремом».

  1. ↑ Логика высказываний
  2. ↑ Основы логики. Таблицы истинности, логические операции (конъюнкция, дизъюнкция, инверсия, импликация, эквивалентность), логические выражения и логические высказывания. (неопр.). www.webmath.ru. Дата обращения 10 февраля 2019.
  3. ↑ Непейвода Н. Н., Прикладная логика, глава 2 (недоступная ссылка)  (недоступная ссылка с 13-05-2013 [2427 дней])
  4. ↑ Виро О. Я., Иванов О. А., Нецветаев Н. Ю., Харламов В. М. Элементарная топология

Восклицательный знак — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Символ со сходным начертанием: ǃ
Восклицательный знак
!

Изображение

Bang.svg

exclamation mark
Юникод U+0021
HTML-код  или 
UTF-16 0x21
%21

Восклица́тельный знак (!) — знак препинания, выполняющий интонационно-экспрессивную и отделительную функции, который ставится в конце предложения для выражения изумления, сильного чувства, волнения и тому подобного.

Также восклицательный знак может ставиться при обращении: «Товарищи! Все на защиту Родины!» или после междометия: «Ах! Не говорите мне о нём!». Может сочетаться с вопросительным знаком для обозначения вопроса — восклицания и с многоточием. По правилам русской пунктуации первым пишется вопросительный знак: «Куда это ты собрался?!». В русской типографике многоточие после восклицательного знака имеет не три, а две точки: «Мы тонем!..»

Применительно к церковнославянской и старинной русской письменности восклицательный знак называется удиви́тельная.

Так называемый сатирический восклицательный знак, заключённый в скобки и поставленный после слова или высказывания, указывает на нелепость или неверность сказанного. В профессиональной практике восклицательный знак в скобках, напротив, используется для подтверждения крайне необычного высказывания, как указание на намеренный, а не ошибочный его характер (например, в медицине при выписке рецепта на дозировку, превышающую предельно допустимую). Восклицательный знак в скобках ставится и после цифр, чтобы избежать путаницы с факториалом.

В некоторых языках (прежде всего в испанском) также используется перевёрнутый восклицательный знак (¡ — U+00A1), который ставится в начале восклицательного предложения в дополнение к обычному восклицательному знаку в конце.

В американской типографике в 1960-е — 1970-е годы употреблялся пунктуационный знак — лигатура из восклицательного и вопросительного знаков, именовавшийся interrobang ( — U+203D).

По одной из теорий его происхождения, это было латинское слово для обозначения радости (Io), написанное с буквой «I» над буквой «o»[1].

Восклицательный знак был введён в английскую типографику в XV веке и назывался «sign of admiration or exclamation»[2] или «note of admiration», до середины XVII века[3]. В немецкой орфографии этот знак впервые появился в Сентябрьской Библии в 1797 году[4].

Знак не встречался в обычных пишущих машинках до 1970-х годов. Вместо этого печатали точку, делали откат назад на один знак, а затем печатали апостроф[5].

Восклицательным знаком обозначается факториал:

n!=1⋅2⋅…⋅n.{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n.}

либо субфакториал:

!n=n!(1−11!+12!−13!+…+(−1)n1n!)={\displaystyle !n=n!\left(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\ldots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right)=}

n!∑k=0n(−1)kk!{\displaystyle n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}}

Два восклицательных знака (, U+203C) означают двойной факториал:

n!!=n⋅(n−2)⋅(n−4)…;{\displaystyle n!!=n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\dots ;}

произведение заканчивается единицей для нечётных и двойкой для чётных чисел.

Квантор существования в сочетании с восклицательным знаком (∃!{\displaystyle \exists !}) означает «существует и единственный».

Также в математической логике и в записи решений и доказательств используется тройной восклицательный знак !!! обозначающий «противоречие».

В то же время сочетание символов ?! читается, как «требуется доказать».

  • В HTML и его потомках, в том числе и вики, тег комментария имеет вид <!-- произвольный текст -->.
  • В вики-разметке в таблицах означает заголовок колонки.

В шахматной нотации ! означает сильный ход, а  — очень сильный.

  1. ↑ Power J., A handy-book about books, for book-lovers, book-buyers, and book-sellers, 1870, p. 91.
  2. MacKellar, Thomas. The American Printer: A Manual of Typography, Containing Practical Directions for Managing all Departments of a Printing Office, As Well as Complete Instructions for Apprentices: With Several Useful Tables, Numerous Schemes for Imposing Forms in Every Variety, Hints to Authors, Etc (англ.). — Fifteenth - Revised and Enlarged. — Philadelphia: MacKellar, Smiths & Jordan, 1885. — P. 65.
  3. Truss, Lynne. Eats, Shoots & Leaves: the zero tolerance approach to punctuation (англ.). — New York: Gotham Books (англ.)русск., 2004. — P. 137. — ISBN 1-59240-087-6.
  4. Mathias, Wolfgang From the Virgel to the Comma - The development of German punctuation (нем.) (Press release) (недоступная ссылка). Cologne University (8. Oktober 2002). Архивировано 6 июня 2011 года. English tr.
  5. ↑ Truss (2004), p. 135.
⛭
Стандартные
  • Точка (.)
  • Запятая (,)
  • Точка с запятой (;)
  • Двоеточие (:)
  • Восклицательный знак (!)
  • Вопросительный знак (?, ;, ‏؟‏‎)
  • Многоточие (..., …)
  • Дефис (‐)
  • Тире (‒, –, —, ―)
  • Скобки ([ ], ( ), { }, ⟨ ⟩)
  • Кавычки („ “, « », “ ”, ‘ ’, ‹ ›)
Комбинации
Предложенные
Перевёрнутые
По системам письма
  • Армянская пунктуация (՝, ֊, ՜, ՞)
  • Китайская и японская пунктуация (。, ,, 、, !, ?, ⋯, ( ), 【 】, 「 」, 『 』, 〜)
Исторические
Нестандартные

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о