Импликация — Википедия
Импликация (от лат. implicatio — «связь») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если…, то…».
Импликация записывается как посылка ⇒{\displaystyle \Rightarrow } следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.
Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами[1][2]:
Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы[3].
При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением[4].
В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества {0,1}{\displaystyle \{0,1\}}. Результат также принадлежит множеству {0,1}{\displaystyle \{0,1\}}. Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений 0,1{\displaystyle 0,1} может использоваться любая другая пара подходящих символов, например false,true{\displaystyle \operatorname {false} ,\operatorname {true} } или F,T{\displaystyle F,T} или «ложь», «истина».
Правило:
- Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация A→B{\displaystyle A\to B} это сокращённая запись для выражения ¬A∨B{\displaystyle \neg A\lor B}.
Таблицы истинности:
прямая импликация (от a к b) (материальная импликация (англ.)русск., материальный кондиционал (англ.)русск.)
- если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
- если a⩽b{\displaystyle a\leqslant b}, то истинно (1).
«Житейский» смысл импликации.
Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:- А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).
- В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0).
В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.
обратная импликация (англ.)русск. (от b к a, A∨(¬B){\displaystyle A\lor (\neg B)})
- если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
- если a⩾b{\displaystyle a\geqslant b}, то истинно (1).
Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).
отрицание (инверсия, негация) прямой импликации
- если первый операнд больше второго операнда, то 1,
- если a>b{\displaystyle a>b}, то истинно (1).
отрицание (инверсия, негация) обратной импликации (англ.)русск. (¬A∧B{\displaystyle \lnot A\land B}), разряд займа в двоичном полувычитателе.
- если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
- если a<b{\displaystyle a<b}, то истинно (1).
Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.
Синонимические импликации выражения в русском языке[править | править код]
- Если А, то Б
- Б в том случае, если А
- При А будет Б
- Из А следует Б
- В случае А произойдет Б
- Б, так как А
- Б, потому что А
- А — достаточное условие для Б
- Б — необходимое условие для А
Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом ⇒{\displaystyle \Rightarrow }, и ей соответствует вложение множеств: пусть A⊂B{\displaystyle A\subset B}, тогда
- x∈A⇒x∈B.{\displaystyle x\in A\Rightarrow x\in B.}
Например, если A{\displaystyle A} — множество всех квадратов, а B{\displaystyle B} — множество прямоугольников, то, конечно, A⊂B{\displaystyle A\subset B} и
- (a — квадрат) ⇒{\displaystyle \Rightarrow } (a — прямоугольник).
(если a является квадратом, то a является прямоугольником).
В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.
Можно доказать эквивалентность импликации A→B{\displaystyle A\rightarrow B} формуле ¬A∨B{\displaystyle \neg A\lor B} (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле ¬(A∧¬B){\displaystyle \neg (A\land \neg B)}, которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)). Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.
В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям. Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде A→⊭{\displaystyle A\rightarrow \nvDash }, где ⊭{\displaystyle \nvDash } — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.
В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.
В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».
В языках программирования импликация используется, как правило, неявно. Например, конструкция, предполагающая истинность условий B в данном участке программы:
if (!(выражение A) || выражение B) {
сделать_что-то_полезное
} else {
сбой
}
будет успешно выполняться тогда и только тогда, когда верна импликация A → B. В то же время эти условия можно спокойно написать в одной строке, объединив их оператором конъюнкции.
if (выражение A) and (выражение B) {
сделать_что-то_полезное
}
При стандартных опциях компилятора (Delphi, C++ Builder)[прояснить] проверка идёт до тех пор, пока результат не станет очевидным, и если А ложно, то (А и В) ложно вне зависимости от В, и не нужно ставить ещё один условный оператор.
//выражение A - ложно
if (выражение A) {
// Дальше проверка не идёт
... if (выражение B) {
сделать_что-то_полезное
} ...
}
В функциональных языках импликация может быть не только правилом вычислений, но и видом отношения между данными, то есть обрабатываться (в том числе и выполняться) и создаваться по ходу выполнения программы.
- Эдельман С.Л. Математическая логика. —
- Игошин В.И. Задачник-практикум по математической логике. — М.: Просвещение, 1986. — 158 с.
- Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.
- Барабанов О.О. Импликация / Труды XI международных Колмогоровских чтений: сборник статей. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2013. С.49-53.
Знак деления — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Знак деления — математический символ в виде двоеточия (∶), обелюса (÷) или косой черты (∕), используемый для обозначения оператора деления.
⁄
∕
÷
∶
В большинстве стран используют двоеточие (∶)[1], в англоязычных странах и на клавишах микрокалькуляторов — символ (÷). В связи с большими неудобствами и даже невозможностью введения полноценных дробей в компьютер во времена операционных систем без GUI использовали упрощённые знаки для формул, в том числе для знака деления использовали значок косой черты (⁄).
Герон, Диофант и исламские авторы в качестве знака деления использовали горизонтальную черту дроби. В средневековой Европе деление часто обозначали буквой D. Отред в своём труде Clavis Mathematicae (1631) предпочёл косую черту или (иногда) знак правой круглой скобки, последняя встречается и у Штифеля: конструкции 8)24{\displaystyle 8)24} или 8)24({\displaystyle 8)24(} означали деление 24{\displaystyle 24} на 8.{\displaystyle 8.} Двоеточием деление стал обозначать с 1684 года Лейбниц в трактате Acta eruditorum[2].
Швейцарский математик Иоганн Ран ввёл для обозначения деления знак (÷) (обелюс). Вместе со знаком умножения в виде звёздочки (∗) он появился в его книге «Teutsche Algebra» в 1659 году. Из-за распространения в Англии знак Рана часто называют «английским знаком деления», однако корни его лежат в Швейцарии. Ранее Жирар использовал символ обелюса как синоним минуса
Другие употребления символов (÷) и (∶)[править | править код]
Символы (÷) и (∶) могут использоваться также для обозначения диапазона. Например, «5÷10» может обозначать диапазон [5, 10], то есть от 5 до 10 включительно. Если имеется таблица, строки которой обозначаются числами, а столбцы — латинскими буквами, то запись вида «D4:F11» может использоваться для обозначения массива ячеек (двумерного диапазона) от D до F и от 4 до 11.
| Знак | Юникод | Название | HTML/XML | LaTeX | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Код | Название | Шестнадцатеричное | Десятичное | Мнемоника | |||
| ∶ | U+2236 | RATIO | ∶ | ∶ | — | \vdotdot | |
| : | U+003A | COLON | двоеточие | : | : | — | : |
| ÷ | U+00F7 | DIVISION SIGN | ÷ | ÷ | ÷ | \div | |
| ∕ | U+2215 | DIVISION SLASH | ∕ | ∕ | — | / | |
| ⁄ | U+2044 | FRACTION SLASH | знак дроби | ⁄ | ⁄ | ⁄ | / |
 | |
|---|---|
| |
Тогда и только тогда — Википедия
Запрос «Iff» перенаправляется сюда; другие значения см. IFF.↔ ⇔ ≡
Логические символы, изображающие тогда и только тогда.
«Тогда́ и то́лько тогда́» — логическая связка эквиваленции между утверждениями, применяемая в логике, математике, философии. Чтобы быть эквиваленцией, связка должна быть идентична стандартному материальному условному высказыванию[1][нет в источнике] («только тогда» эквивалентно «если … то»), соединённому со своей противоположностью, откуда и название связки. В результате истинность одного утверждения требует такой же истинности другого, то есть либо оба они истинны, либо оба ложны. Можно спорить о том, передаёт ли выражение русского языка «тогда и только тогда» определённую выше связку с её уже существующим смыслом. Конечно, ничто не может помешать нам читать эту связку именно как «тогда и только тогда», хотя это может иногда привести к путанице.
В письменной форме в качестве альтернативы к «тогда и только тогда» часто используется достаточно спорные выражения, включающие: Q необходимо и достаточно для Р; Р эквивалентно (или материально эквивалентно) Q; Р точно, если Q; P точно, когда Q; P точно в случае Q; P именно в случае Q.
В логических формулах вместо всех вышеприведённых фраз используются логические символы.
Таблица истинности для p ↔ q имеет следующий вид:[2]
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Заметим, что эквивалентное преобразование производит стандартная ячейка XNOR, а противоположное преобразование — стандартная ячейка XOR.
Нотация[править | править код]
Для обозначения в формулах логической связки «тогда и только тогда» используются логические символы ↔, ⇔ и ≡. В английских текстах иногда для обозначения связки используется «iff» (аббревиатура от «if and only if»), а в русскоязычных текстах по аналогии изредка используется аббревиатура «ттт»[3] или «согда»[4]. Обычно все эти символы трактуются как эквивалентные. Однако некоторые тексты математической логики (особенно по логике первого порядка и в меньшей степени по логике высказываний) делают различие между ними, причём, первый знак ↔ используется как символ в логических формулах, тогда как знак ⇔ используется в рассуждениях по поводу этих формул (например, в металогике). В нотации Лукасевича в качестве префикса используется символ «E». Отрицанием данной связки является «исключающее или».
Доказательства[править | править код]
В большинстве логических систем доказывается утверждения вида «P ↔ Q» через доказательство «если P, то Q» и «если Q, то P» (или обратное «если не-P, то не-Q» и «если не-Q, то не-P»). Доказательство этой пары утверждений иногда приводит к более строгому доказательству, поскольку есть неочевидные условия, из которых можно вывести эквиваленцию непосредственно. Альтернативой является доказательство дизъюнкции «(P и Q) или (не-P и не-Q)», которая сама по себе может быть выведена из дизъюнктов, т.е поскольку связка ↔ является функцией истинности, то отсюда следует, что «P ↔ Q» истинно только, если P и Q оба истинны или оба ложны.
- «Если пудинг с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть.» или «Мэдисон будет есть пудинг, если он с заварным кремом.» (эквивалентно к «Только если Мэдисон будет есть пудинг, тогда возможно, что он с заварным кремом.» или «Если Мэдисон не будет есть пудинг, значит он без крема.» или «Только если пудинг без крема, то возможно, что Мэдисон не станет его есть.»)
- Здесь утверждается лишь то, что Мэдисон будет есть крем-пудинг. Это, однако, не исключает возможности того, что Мэдисон съест хлеб-пудинг. Может быть, она будет есть, может быть не будет — предложения ничего не говорят нам. Мы знаем наверняка, что она будет есть любой крем-пудинг, с которым она встретится. Крем является достаточным условием для того, чтобы Мэдисон съела пудинг.
- «Только если пудинг с заварным кремом, тогда возможно, что Мэдисон будет его есть.» или «Мэдисон будет есть пудинг только тогда, когда он с заварным кремом.» (эквивалентно к «Если Мэдисон будет есть пудинг, значит он с заварным кремом.» или «Если пудинг без крема, то Мэдисон не станет его есть.» или «Только если Мэдисон не стала есть пудинг, то возможно, что он без крема.»)
- Здесь утверждается, что Мэдисон будет есть пудинг только с кремом. Это, однако, не исключает возможности того, что Мэдисон откажется от заварного крема, даже если он ей доступен, в отличие от (1), в котором требуется, чтобы Мэдисон съела любой имеющийся заварной крем. Во втором случае пудинг с заварным кремом является необходимым условием для того, чтобы Мэдисон его съела. Это не достаточное условие, так как Мэдисон может и не есть любые крем-пудинги, которые ей дают.
- «Тогда и только тогда, когда пудинг с заварным кремом, Мэдисон будет его есть.» или «Мэдисон будет есть пудинг тогда и только тогда, когда он с заварным кремом.»
- Здесь совершенно ясно, что Мэдисон будет есть только все те пудинги, которые с заварным кремом. Она не оставит ни одного такого пудинга несъеденным, и она не будет есть никакой другой вид пудинга. Данный крем-пудинг является одновременно необходимым и достаточным условием для того, чтобы Мэдисон его съела.
Достаточность является инверсией необходимости. То есть, если дано P→Q (или если P, то Q), то P будет достаточным условием для Q, а Q будет необходимым условием для P. Кроме того, если дано P→Q, то истинно также ¬Q→¬P (где ¬ является оператором отрицания, то есть «не»). Это означает, что связь между P и Q, установленная оператором P→Q, может быть выражена следующими эквивалентными способами:
- P достаточно для Q
- Q необходимо для P
- ¬Q достаточно для ¬P
- ¬P необходимо для ¬Q
Если в качестве примера взять вышеприведённое предложение (1), в котором утверждается P→Q, где P — это «пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом», а Q — это «Мэдисон будет есть пудинг, о котором идёт речь». Следующие четыре способа выражения отношений эквивалентны:
- Если пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть.
- Только если Мэдисон будет есть пудинг, о котором идёт речь, он с заварным кремом.
- Если Мэдисон не будет есть пудинг, о котором идёт речь, он без заварного крема.
- Только если пудинг, о котором идёт речь, без заварного крема, Мэдисон не будет его есть.
Таким образом, мы видим, что вышеприведённое предложение (2) можно переформулировать в виде если … то, например, «Если Мэдисон съест пудинг, о котором идёт речь, то он с кремом». Беря это в сочетании с (1), мы находим, что (3) можно сформулировать так: «Если пудинг, о котором идёт речь, с заварным кремом, тогда Мэдисон будет его есть, И если Мэдисон будет есть пудинг, то он с заварным кремом».
- ↑ Логика высказываний
- ↑ Основы логики. Таблицы истинности, логические операции (конъюнкция, дизъюнкция, инверсия, импликация, эквивалентность), логические выражения и логические высказывания. (неопр.). www.webmath.ru. Дата обращения 10 февраля 2019.
- ↑ Непейвода Н. Н., Прикладная логика, глава 2 (недоступная ссылка) (недоступная ссылка с 13-05-2013 [2427 дней])
- ↑ Виро О. Я., Иванов О. А., Нецветаев Н. Ю., Харламов В. М. Элементарная топология
Восклицательный знак — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Символ со сходным начертанием: ǃ| Восклицательный знак | |
|---|---|
| ! | |
Изображение
| |
| exclamation mark | |
| Юникод | U+0021 |
| HTML-код | |
| UTF-16 | 0x21 |
| %21 | |
Восклица́тельный знак (!) — знак препинания, выполняющий интонационно-экспрессивную и отделительную функции, который ставится в конце предложения для выражения изумления, сильного чувства, волнения и тому подобного.
Также восклицательный знак может ставиться при обращении: «Товарищи! Все на защиту Родины!» или после междометия: «Ах! Не говорите мне о нём!». Может сочетаться с вопросительным знаком для обозначения вопроса — восклицания и с многоточием. По правилам русской пунктуации первым пишется вопросительный знак: «Куда это ты собрался?!». В русской типографике многоточие после восклицательного знака имеет не три, а две точки: «Мы тонем!..»
Применительно к церковнославянской и старинной русской письменности восклицательный знак называется удиви́тельная.
Так называемый сатирический восклицательный знак, заключённый в скобки и поставленный после слова или высказывания, указывает на нелепость или неверность сказанного. В профессиональной практике восклицательный знак в скобках, напротив, используется для подтверждения крайне необычного высказывания, как указание на намеренный, а не ошибочный его характер (например, в медицине при выписке рецепта на дозировку, превышающую предельно допустимую). Восклицательный знак в скобках ставится и после цифр, чтобы избежать путаницы с факториалом.
В некоторых языках (прежде всего в испанском) также используется перевёрнутый восклицательный знак (¡ — U+00A1), который ставится в начале восклицательного предложения в дополнение к обычному восклицательному знаку в конце.
В американской типографике в 1960-е — 1970-е годы употреблялся пунктуационный знак — лигатура из восклицательного и вопросительного знаков, именовавшийся interrobang (‽ — U+203D).
По одной из теорий его происхождения, это было латинское слово для обозначения радости (Io), написанное с буквой «I» над буквой «o»[1].
Восклицательный знак был введён в английскую типографику в XV веке и назывался «sign of admiration or exclamation»[2] или «note of admiration», до середины XVII века[3]. В немецкой орфографии этот знак впервые появился в Сентябрьской Библии в 1797 году[4].
Знак не встречался в обычных пишущих машинках до 1970-х годов. Вместо этого печатали точку, делали откат назад на один знак, а затем печатали апостроф[5].
Восклицательным знаком обозначается факториал:
- n!=1⋅2⋅…⋅n.{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n.}
либо субфакториал:
- !n=n!(1−11!+12!−13!+…+(−1)n1n!)={\displaystyle !n=n!\left(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\ldots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right)=}
n!∑k=0n(−1)kk!{\displaystyle n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}}
Два восклицательных знака (‼, U+203C) означают двойной факториал:
- n!!=n⋅(n−2)⋅(n−4)…;{\displaystyle n!!=n\cdot (n-2)\cdot (n-4)\dots ;}
произведение заканчивается единицей для нечётных и двойкой для чётных чисел.
Квантор существования в сочетании с восклицательным знаком (∃!{\displaystyle \exists !}) означает «существует и единственный».
Также в математической логике и в записи решений и доказательств используется тройной восклицательный знак !!! обозначающий «противоречие».
В то же время сочетание символов ?! читается, как «требуется доказать».
- В HTML и его потомках, в том числе и вики, тег комментария имеет вид
<!--произвольный текст-->. - В вики-разметке в таблицах означает заголовок колонки.
В шахматной нотации ! означает сильный ход, а ‼ — очень сильный.
- ↑ Power J., A handy-book about books, for book-lovers, book-buyers, and book-sellers, 1870, p. 91.
- ↑ MacKellar, Thomas. The American Printer: A Manual of Typography, Containing Practical Directions for Managing all Departments of a Printing Office, As Well as Complete Instructions for Apprentices: With Several Useful Tables, Numerous Schemes for Imposing Forms in Every Variety, Hints to Authors, Etc (англ.). — Fifteenth — Revised and Enlarged. — Philadelphia: MacKellar, Smiths & Jordan, 1885. — P. 65.
- ↑ Truss, Lynne. Eats, Shoots & Leaves: the zero tolerance approach to punctuation (англ.). — New York: Gotham Books (англ.)русск., 2004. — P. 137. — ISBN 1-59240-087-6.
- ↑ Mathias, Wolfgang From the Virgel to the Comma — The development of German punctuation (нем.) (Press release) (недоступная ссылка). Cologne University (8. Oktober 2002). Архивировано 6 июня 2011 года. English tr.
- ↑ Truss (2004), p. 135.
| |
|---|---|
| Стандартные |
|
| Комбинации | |
| Предложенные | |
| Перевёрнутые | |
| По системам письма |
|
| Исторические | |
| Нестандартные | |