Градиент | это… Что такое Градиент?
Эта статья о математической характеристике; о способе заливки см.: Градиент (компьютерная графика).
Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и тем длиннее, чем круче наклон.
Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.
Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.
С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве.
Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным.
Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.
Стандартные обозначения:
или, с использованием оператора набла,
— вместо может быть любое скалярное поле, обозначенное любой буквой, например — обозначения градиента поля V.
Содержание
|
такжеОпределение
Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат , , называется векторная функция с компонентами
- , , .
Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :
Если — функция переменных , то её градиентом называется -мерный вектор
компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.
- Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.
- Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, или ) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».
Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения при смещении на .
Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:
Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:
или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,
(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.
Пример
Например, градиент функции будет представлять собой:
В физике
В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.
Например, напряженность электростатического поля есть минус градиент электрического потенциала, напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала. Сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии.
В естественных науках
Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далеких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).
Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т.
д.
Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.
Геометрический смысл
Рассмотрим семейство линий уровня функции :
Нетрудно показать, что градиент функции в точке перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.
Связь с производной по направлению
Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции по направлению равняется скалярному произведению градиента на единичный вектор :
Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.
Градиент в ортогональных криволинейных координатах
где — коэффициенты Ламе.
Полярные координаты (на плоскости)
Коэффициенты Ламе:Отсюда:
Цилиндрические координаты
Коэффициенты Ламе:
Отсюда:
Сферические координаты
Коэффициенты Ламе:
- .
Отсюда:
См. также
- Векторный анализ
- Теорема Остроградского — Гаусса
- Формулы векторного анализа
- Оператор набла
- Теория поля
- Градиент концентрации
- 4-градиент
- Оператор Canny
Литература
1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30
Градиент | это… Что такое Градиент?
Эта статья о математической характеристике; о способе заливки см.
: Градиент (компьютерная графика).
Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и тем длиннее, чем круче наклон.
Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.
Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.
С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве.
Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным.
Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.
Стандартные обозначения:
или, с использованием оператора набла,
— вместо может быть любое скалярное поле, обозначенное любой буквой, например — обозначения градиента поля V.
Содержание
|
Определение
Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат , , называется векторная функция с компонентами
- , , .
Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :
Если — функция переменных , то её градиентом называется -мерный вектор
компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.
- Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.
- Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, или ) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».
Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения при смещении на .
Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:
Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:
или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,
(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.
Пример
Например, градиент функции будет представлять собой:
В физике
В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.
Например, напряженность электростатического поля есть минус градиент электрического потенциала, напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала. Сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии.
В естественных науках
Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далеких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).
Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т.
д.
Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.
Геометрический смысл
Рассмотрим семейство линий уровня функции :
Нетрудно показать, что градиент функции в точке перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.
Связь с производной по направлению
Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции по направлению равняется скалярному произведению градиента на единичный вектор :
Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.
Градиент в ортогональных криволинейных координатах
где — коэффициенты Ламе.
Полярные координаты (на плоскости)
Коэффициенты Ламе:
Отсюда:
Цилиндрические координаты
Коэффициенты Ламе:
Отсюда:
Сферические координаты
Коэффициенты Ламе:
- .
Отсюда:
См. также
- Векторный анализ
- Теорема Остроградского — Гаусса
- Формулы векторного анализа
- Оператор набла
- Теория поля
- Градиент концентрации
- 4-градиент
- Оператор Canny
Литература
1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30
Градиент | это… Что такое Градиент?
Эта статья о математической характеристике; о способе заливки см.
: Градиент (компьютерная графика).
Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и тем длиннее, чем круче наклон.
Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.
Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.
С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве.
Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным.
Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.
Стандартные обозначения:
или, с использованием оператора набла,
— вместо может быть любое скалярное поле, обозначенное любой буквой, например — обозначения градиента поля V.
Содержание
|
Определение
Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат , , называется векторная функция с компонентами
- , , .
Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :
Если — функция переменных , то её градиентом называется -мерный вектор
компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.
- Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.
- Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, или ) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».
Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения при смещении на .
Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:
Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:
или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,
(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.
Пример
Например, градиент функции будет представлять собой:
В физике
В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.
Например, напряженность электростатического поля есть минус градиент электрического потенциала, напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала. Сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии.
В естественных науках
Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далеких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).
Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т.
д.
Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.
Геометрический смысл
Рассмотрим семейство линий уровня функции :
Нетрудно показать, что градиент функции в точке перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.
Связь с производной по направлению
Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции по направлению равняется скалярному произведению градиента на единичный вектор :
Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.
Градиент в ортогональных криволинейных координатах
где — коэффициенты Ламе.
Полярные координаты (на плоскости)
Коэффициенты Ламе:
Отсюда:
Цилиндрические координаты
Коэффициенты Ламе:
Отсюда:
Сферические координаты
Коэффициенты Ламе:
- .
Отсюда:
См. также
- Векторный анализ
- Теорема Остроградского — Гаусса
- Формулы векторного анализа
- Оператор набла
- Теория поля
- Градиент концентрации
- 4-градиент
- Оператор Canny
Литература
1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30
Понимание градиента – BetterExplained
Градиент – это причудливое слово для обозначения производной или скорости изменения функции.
Это вектор (направление движения), который
- указывает в направлении наибольшего увеличения функции (интуиция почему)
- равен нулю на локальном максимуме или локальном минимуме (поскольку нет единого направления увеличения)
Термин «градиент» обычно используется для функций с несколькими входами и одним выходом (скалярное поле). Да, вы можете сказать, что линия имеет градиент (ее наклон), но использование «градиента» для функций с одной переменной излишне сбивает с толку. Будь проще.
«Градиент» может относиться к постепенным изменениям цвета, но мы будем придерживаться математического определения, если оно вас устраивает. Вы увидите, что значения связаны.
Свойства градиента
Теперь, когда мы знаем, что градиент является производной функции с несколькими переменными, давайте выведем некоторые свойства.
Обычная старая производная дает нам скорость изменения одной переменной, обычно $x$. Например, $\frac{dF}{dx}$ говорит нам, насколько изменится функция $F$ при изменении $x$.
Но если функция принимает несколько переменных, таких как $x$ и $y$, у нее будет несколько производных: значение функции будет меняться, когда мы «качаем» $x$ ($\frac{dF}{dx}$ ) и когда мы покачиваем $y$ ($\frac{dF}{dy}$).
Мы можем представить эти множественные скорости изменения в виде вектора с одним компонентом для каждой производной. Таким образом, функция, которая принимает 3 переменные, будет иметь градиент с 3 компонентами:
- $F(x)$ имеет одну переменную и единственную производную: $\frac{dF}{dx}$
- $F(x,y,z)$ имеет три переменные и три производные: $\frac{dF}{dx}, \frac{dF}{dy}, \frac{dF}{dz}$
Градиент функции с несколькими переменными имеет компонент для каждого направления.
И точно так же, как обычная производная, градиент указывает в направлении наибольшего увеличения (и вот почему: мы меняем движение в каждом направлении достаточно, чтобы максимизировать выигрыш).
Однако теперь, когда у нас есть несколько направлений для рассмотрения ($x$, $y$ и $z$), направление наибольшего увеличения больше не просто «вперед» или «назад» вдоль оси $x$, как с функциями одной переменной.
Если у нас есть две переменные, то наш двухкомпонентный градиент может задавать любое направление на плоскости. Точно так же с 3 переменными градиент может указывать и направление в трехмерном пространстве, чтобы двигаться, чтобы увеличить нашу функцию.
Искривленный пример
Я большой поклонник примеров, помогающих закрепить объяснение. Предположим, у нас есть волшебная печь, на ней написаны координаты и есть специальный экран дисплея:
Мы можем ввести любые 3 координаты (например, «3,5,2»), и дисплей покажет нам градиент температуры в этой точке.
Микроволновая печь также оснащена удобными часами. К сожалению, у часов есть своя цена — температура внутри микроволновой печи сильно различается от места к месту. Но это того стоило: мы очень хотели эти часы.
Пока со мной? Мы вводим любую координату, и микроволновка выдает градиент в этом месте.
Будьте осторожны, не перепутайте координаты и градиент. Координаты — это текущее местоположение , измеренное по осям $x,y,z$.
Градиент — это направление движения от нашего текущего местоположения, например, движение вверх, вниз, влево или вправо.
Теперь предположим, что нам нужна психиатрическая помощь, и мы поместим Мальчика с тестом Pillsbury в духовку, потому что мы думаем, что он будет вкусным. Он сделан из теста для печенья, верно? Мы размещаем его в случайном месте внутри духовки, и наша цель — приготовить его как можно быстрее. Градиент может помочь!
Градиент в любом месте точек в направлении наибольшего увеличения функции. В данном случае наша функция измеряет температуру. Таким образом, градиент говорит нам, в каком направлении нужно двигать пончика, чтобы он оказался в месте с более высокой температурой, чтобы приготовить его еще быстрее. Помните, что градиент , а не дает нам координаты, куда идти; это дает нам направление , чтобы двигаться , чтобы увеличить нашу температуру.
Таким образом, мы начали бы со случайной точки, такой как (3,5,2), и проверили бы градиент.
В этом случае градиент равен (3,4,5). На самом деле мы бы не переместились на целых 3 единицы вправо, на 4 единицы назад и на 5 единиц вверх. Градиент — это просто направление, поэтому мы0003 следуйте по этой траектории чуть-чуть , а затем снова проверьте градиент.
Мы подходим к новой точке, довольно близкой к нашей исходной, которая имеет собственный градиент. Этот новый градиент является новым лучшим направлением для подражания. Мы будем продолжать повторять этот процесс: немного двигаться в направлении градиента, проверять градиент и немного двигаться в новом направлении градиента. Каждый раз, когда мы продвигались вперед и следовали градиенту, мы попадали во все более и более теплое место.
В конце концов, мы доберемся до самой горячей части духовки и останемся там, чтобы насладиться свежим печеньем.
Не ешь это печенье!
Но прежде чем вы съедите это печенье, давайте сделаем несколько замечаний по поводу градиента. Это веселее, правда?
Во-первых, когда мы достигаем самой горячей точки в духовке, какой там градиент?
Ноль.
Нада. пшик. Почему? Что ж, как только вы окажетесь в максимальном месте, нет направления наибольшего увеличения . Любое направление, которому вы следуете, приведет к понижению температуры. Это как быть на вершине горы: любое направление, в котором вы двигаетесь, ведет вниз. Нулевой градиент говорит вам оставаться на месте — вы находитесь на максимуме функции и не можете добиться большего.
Но что, если рядом два максимума, как две горы рядом друг с другом? Вы можете быть на вершине одной горы, но рядом с вами может быть вершина побольше. Чтобы добраться до самой высокой точки, нужно сначала спуститься вниз.
А, теперь мы отправляемся в не очень приятную изнанку градиента. Нахождение максимума в обычных функциях (с одной переменной) означает, что мы находим все места, где производная равна нулю: нет направления наибольшего возрастания. Если вы помните, обычная производная будет указывать на локальных минимума и максимума , и абсолютный максимум/минимум должны быть протестированы из этих возможных местоположений.
Тот же принцип применим к градиенту, обобщению производной. Вы должны найти несколько мест, где градиент равен нулю — вам нужно будет проверить эти точки, чтобы увидеть, какая из них является глобальным максимумом. Опять же, вершина каждого холма имеет нулевой уклон — вам нужно сравнить высоту на каждом, чтобы увидеть, какой из них выше. Теперь, когда мы это прояснили, наслаждайтесь своим печеньем.
Математика
Мы знаем определение градиента: производная для каждой переменной функции. Символ градиента обычно представляет собой перевернутую дельту и называется «дельта» (это имеет смысл — дельта указывает на изменение одной переменной, а градиент — это изменение для всех переменных). Возьмем нашу группу из 3 производных выше
Обратите внимание, что x-компонента градиента является частной производной по $x$ (аналогично для $y$ и $z$). Для функции с одной переменной вообще нет $y$-компоненты, поэтому градиент сводится к производной.
Также обратите внимание на то, что градиент является функцией: он принимает 3 координаты в качестве положения и возвращает 3 координаты в качестве направления.
Если мы хотим найти направление движения, чтобы увеличить нашу функцию быстрее всего, мы подставляем наши текущие координаты (например, 3,4,5) в градиент и получаем:
Итак, это новый вектор (1, 8, 75) будет направлением, в котором мы будем двигаться, чтобы увеличить значение нашей функции. В этом случае наша x-компонента не сильно увеличивает значение функции: частная производная всегда равна 1,9.0005
Очевидным применением градиента является нахождение максимума/минимума функций с несколькими переменными. Другое менее очевидное, но родственное приложение — поиск максимума функции с ограничениями: функции, значения x и y которой должны лежать в определенной области, т. е. найти максимум всех точек, лежащих вдоль окружности. Решение этой проблемы требует моего мальчика Лагранжа, но всему свое время, всему свое время: пока наслаждайтесь градиентом.
Ключевым моментом является понимание градиента как обобщения производной. Градиент указывает направление наибольшего увеличения; продолжайте следовать градиенту, и вы достигнете локального максимума.
Вопросы
Почему градиент перпендикулярен линиям с одинаковым потенциалом?
Линии равного потенциала («эквипотенциальные») — это точки с одинаковой энергией (или значением для $F(x,y,z)$). В простейшем случае круг представляет все элементы на одинаковом расстоянии от центра.
Градиент указывает направление наибольшего изменения. Если бы у него был какой-либо компонент вдоль линии эквипотенциала, то эта энергия была бы потрачена впустую (поскольку он приближается к точке с той же энергией). Когда градиент перпендикулярен эквипотенциальным точкам, он движется как можно дальше от них (в этой статье объясняется, почему градиент является направлением наибольшего увеличения — это направление, которое максимизирует различные компромиссы внутри круга).
Другие сообщения из этой серии
- Векторное исчисление: понимание скалярного произведения
- Векторное исчисление: понимание векторного произведения
- Векторное исчисление: понимание потока
- Векторное исчисление: понимание дивергенции
- Векторное исчисление: понимание циркуляции и завитка
- Векторное исчисление: понимание градиента
- Понимание пифагорейского расстояния и градиента
Определение градиента – объяснение и примеры
Следующие свойства градиента помогают понять ориентацию линии.
Для линии, проведенной в n-мерном пространстве, градиент линии относительно определенного измерения называется ее производной по направлению.
Понятие частной производной помогает найти производную по направлению. И это представлено как \(\frac{\delta y}{\delta x} \)
Здесь частная производная по отношению к x дает производную по направлению в направлении оси x. В этом выражении z рассматривается как константа.
\[\begin{align} \frac{\delta y}{\delta x} &= \frac{\delta}{\delta x}(5x + 4z + 3xz + 11) \\ \frac{\delta y}{\delta x} &= \frac{\delta}{\delta x}(5x) + \frac{\delta}{\delta x}(4z) + \frac{\delta}{\delta x} (3xz)
+ \frac{\delta}{\delta x}(11) \\\frac{\delta y}{\delta x} &= 5(1) + 0 + 3(1)z + 0 \\\frac{ \delta y}{\delta x} &=5 + 3z\end{align} \]
\(\следовательно \) 5 + 3z — производная по направлению уравнения прямой относительно оси x.
Think Tank
Уравнение y = mx + c называется формой пересечения наклона.
0 \). Что такое уклон лестницы? 90 \\ m &=\sqrt3 \end{align} \]
| \(\следовательно \) Градиент лестницы равен \(\sqrt 3 \) |
| Пример 2 |
Альберт отмечает на миллиметровке две точки (4, 3) и (6, 7) и проводит линию, проходящую через эти точки. Найдите градиент линии.
Решение
Даны точки \((x_1, y_1) \) = (4, 3) и \((x_2, y_2) \) = (6, 7)
Градиент — это наклон (м) линии, соединяющей эти точки.
\[\begin{align} m &=\frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \\ m &=\frac{(7 – 3)}{(6 – 4)} \\m &= \frac{4}{2} \\ m &= 2 \end{align} \]
| \(\следовательно \) Градиент равен 2 |
| Пример 3 |
Проведена линия, касающаяся кривой \(f(x) = x^3 + 2x^2 -5x + 8 \) в точке (1, 6).
Найдите градиент этой линии. 92 + 4(1) – 5 \\ m &= 3 + 4 – 5 \\ m &= 7 – 5 \\ m &= 2 \end{align} \]
| \(\следовательно \) Градиент касательной равен 2 |
| Пример 4 |
Шерил рисует две параллельные линии, и уравнение одной линии 2x – y + 5 = 0. Найдите градиент другой линии.
Решение
Данное уравнение прямой имеет вид 2x – y = 5
Кроме того, градиент двух параллельных линий равен.
Найдем градиент этой линии.
\[\begin{align} 2x -y + 5 &= 0 \\ -y &= -2x -5 \\ y &= 2x + 5 \end{align} \]
Сравнивая это с наклоном- y = mx + c получаем m = 2
Градиент этой линии равен 2
Следовательно, искомый градиент параллельной линии равен m = 2
| \(\следовательно \) уклон параллельной линии равен 2 |
| Пример 5 |
Учитель просит Сэма нарисовать набор перпендикулярных линий и записать наклон одной линии как 2.
Помогите Сэму найти наклон другой линии.
Решение
Наклон данной прямой равен \(m_1 \) = 2
Произведение наклонов двух перпендикулярных прямых равно -1
\[\begin{align} m_1.m_2 &= -1 \\ 2 \times m_2 &= -1 \\ m_2 &= \frac{-1}{2}\end{align} \]
| \(\следовательно \) Наклон линии равен \(\frac{-1}{2}\) |
Интерактивные вопросы по градиенту
Вот несколько упражнений для практики. Выберите/введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.
0004
Мини-урок был посвящен увлекательной концепции градиента. Математическое путешествие по градиенту началось с основ градиента и продолжилось творческим созданием новой концепции, включающей формулы и уравнения. Сделано таким образом, что это не только понятно и легко для понимания, но и останется с ними навсегда.
В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!
Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-преподавание-обучение» учителя изучают тему со всех сторон.
Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любая другая форма отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и разумный подход к обучению. , Что такое определение градиента?
Градиент — это наклон линии. Он измеряется углом, который линия образует с опорной осью X. Кроме того, две точки на линии или уравнение линии помогают найти градиент.
\[m = tan\theta = \frac{y_2 — y_1}{x_2 — x_1} = \frac{d}{dx}.f(x) \]
2. Что такое градиент матрицы?
Для матрицы, содержащей в качестве элементов различные функции (уравнения), производная этих элементов, представленная в матричной форме, называется градиентом матрицы.
3. Для чего нужен градиент в математике?
В математике градиент полезен, чтобы знать угол между двумя линиями.
Как правило, одна из линий считается горизонтальной линией, параллельной оси x или оси x, а угол, который она образует с другой линией, называется градиентом этой линии.
Если угол между линиями равен \(\theta \), то градиент \(m = tan\theta \).
Нахождение градиента векторной функции | by Chi-Feng Wang
Часть 3 книги «Шаг за шагом: математика за нейронными сетями»
Заглавное изображение: ИсточникВ части 1 нам дали задачу: вычислить градиент этой функции потерь:
Изображение 1 : Функция потерь Чтобы найти градиент, мы должны найти производную функции. Во второй части мы научились вычислять частную производную функции по каждой переменной. Однако большинство переменных в этой функции потерь являются векторами. Возможность найти частную производную векторных переменных особенно важна, поскольку нейронная сеть имеет дело с большими объемами данных. Векторные и матричные операции — это простой способ представления операций с таким большим количеством данных.
Как именно можно найти градиент векторной функции?
Градиент скалярной функции
Допустим, у нас есть функция f(x,y) = 3x²y . Наши частные производные:
Изображение 2: Частные производныеЕсли мы организуем эти частные производные в горизонтальный вектор, мы получим градиент из f(x,y) или ∇ f(x,y) :
Изображение 3: Градиент f(x,y)6yx — это изменение f(x,y) по отношению к изменению x , а 3x² — это изменение f(x,y) относительно изменения y .
Что происходит, когда у нас есть две функции? Давайте добавим еще одну функцию, g(x,y) = 2x+y⁸ . Частные производные:
Изображение 4: Частичные для g(x,y)Таким образом, градиент g(x,y):
Изображение 5: Градиент g(x,y)Представление функций
Когда мы имеем несколько функций с несколькими параметрами, часто бывает полезно представить их в более простом виде. Мы можем объединить несколько параметров функций в один векторный аргумент, 9Это выглядит следующим образом: ).
Мы также можем объединить несколько функций в вектор, например: x ), f₂( x ), f₃( x )…fn( x )]
Для нашего предыдущего примера с двумя функциями, f(x,y) ⇒ f( x ) и g(x,y) ⇒ g( x ). Здесь вектор x = [x₁, x₂], где x₁=x и x₂=y . Чтобы упростить его еще больше, мы можем объединить наши функции: [f ( x ), g ( x )] = [f₁ ( x ), f₂ ( x )] = f (x) = у.
Изображение 8: Уравнения внутри векторной функции yЧасто количество функций и количество переменных совпадают, так что решение существует для каждой переменной.
Градиент векторной функции
Теперь, когда у нас есть две функции, как нам найти градиент обеих функций? Если мы организуем оба их градиента в одну матрицу, мы перейдем от векторного исчисления к матричному исчислению.
Эта матрица и организация градиентов нескольких функций с несколькими переменными известны как матрица Якоби .
Существует несколько способов представления якобиана. Этот макет, в котором мы накладываем градиенты по вертикали, известен как 9.0003 макет числителя , но в других статьях будет использоваться макет знаменателя , который просто переворачивает его по диагонали: x) = x , где fi( x ) = xi , и найдите его градиент:
Изображение 11: Функция тождестваТак же, как мы создали наш предыдущий якобиан, мы можем найти градиенты каждой скалярной функции и сложите их вертикально, чтобы создать якобиан функции тождества:
Изображение 12: Якобиан функции тождестваПоскольку это функция тождества, f₁( x ) = x₁, f₂( x ) = x₂ и так далее. Следовательно,
Изображение 13: Якобиан функции тождества Частная производная функции по переменной, не входящей в функцию, равна нулю.
Например, частная производная 2x² относительно y равна 0. Другими словами,
Следовательно, все, что не находится на диагонали якобиана, становится равным нулю. Между тем, частная производная любой переменной по отношению к самой себе равна 1. Например, частная производная x по отношению к x равна 1. Таким образом, якобиан принимает вид:
Изображение 15: Якобиан тождественной функцииГрадиент поэлементных комбинаций векторных функций
Поэлементные бинарные операторы являются операциями (такими как сложение w + x или w > x , который возвращает вектор единиц и нулей), который последовательно применяет оператор, начиная с первого элемента обоих векторов, чтобы получить первый элемент вывода, затем второй элемент обоих векторов, чтобы получить второй элемент продукции… и так далее.
В этой статье представлены поэлементные бинарные операции с такими обозначениями:
Изображение 16: Поэлементная бинарная операция с f(x) и g(x)Здесь ◯ означает любой поэлементный оператор (например, +), а не композиция функций.
Так как же найти градиент поэлементной операции двух векторов?
Так как у нас есть два набора функций, нам нужны два якобиана, один представляющий градиент относительно x и один относительно w :
Изображение 17: Якобиан относительно w и xБольшинство арифметических операций, которые нам понадобятся, являются простыми, поэтому f(w) часто представляет собой просто вектор w . Другими словами, fi(wi) = wi . Например, операция w+x подходит под эту категорию, поскольку ее можно представить как f(w)+g(x) , где fi(wi) + gi(xi) = wi +xi.
При этом условии каждый элемент в двух якобианах упрощается до:
Изображение 18: Элементы в якобиане На диагонали i=j, поэтому существует значение частной производной.
Однако вне диагонали i≠j, так что частные производные становятся равными нулю:
Мы можем представить это более кратко как:
Изображение 20: Якобиан относительно w и xПопробуем найти градиент функции w+x . Мы знаем, что все, что находится за пределами диагонали, равно 0. Значения частичных чисел по диагонали относительно w и x равны:
диагональ равна 1. Это выглядит знакомо… это единичная матрица!Попробуем умножить: ш*х . Значения парциалов по диагонали относительно w и x : x равен диаг.( x ) , а градиент по отношению к x w*x равен диаг.( w ).
Применяя те же шаги для вычитания и деления, мы можем суммировать все это:
Изображение 23: Градиенты общих поэлементных бинарных операцийГрадиент векторных сумм
Одной из наиболее распространенных операций в глубоком обучении является операция суммирования.
Как мы можем найти градиент функции y=sum( x ) ?
y=сумма( x ) также может быть представлена как:
сумма( x )А поскольку частная производная функции по переменной, не входящей в функцию, равна нулю, ее можно упростить следующим образом: результатом является горизонтальный вектор.
Как насчет градиента y=sum( x z) ? Единственное отличие состоит в том, что мы умножаем каждое частичное число на константу z:
. Изображение 27: Градиент y=sum( x z) относительно xХотя это производная по отношению к x , производная по отношению к скаляру z является просто числом:
Изображение 28: Градиент y=sum( x z) по отношению к zГрадиент комбинаций векторных функций цепных правил
В части 2 мы узнали о многовариантных цепных правилах.
Однако это работает только для скаляров. Давайте посмотрим, как мы можем интегрировать это в векторные вычисления!
Возьмем векторную функцию, y = f (x) и найдите его градиент. Давайте определим функцию как:
Изображение 29: y = f (x)Оба f₁(x) и f₂(x) являются составными функциями. Введем промежуточные переменные для f₁(x) и f₂(x) и перепишем нашу функцию: наше цепное правило с несколькими переменными для вычисления производной вектора и . Просто вычислите производную от f₁(x) и f₂(x) и поместите их друг над другом:
Изображение 31: Градиент y = f ( g (x))Вуаля! У нас есть градиент. Однако мы пришли к нашему решению со скалярными правилами, просто сгруппировав числа вместе в вектор. Есть ли способ представить правило цепочки с несколькими переменными для векторов?
Прямо сейчас наш градиент вычисляется с помощью:
Изображение 32: Градиент y = f ( g (x)) Обратите внимание, что первый член градиентов f₁(x) и f₂(x) включает часть g₁ x , а второй член градиентов как f₁(x) , так и f₂(x) включает часть g₂ на x .