Треугольник с закругленными углами – ТЗ в виде треугольника с закруглёнными углами с цифрой внутри: riaslov — LiveJournal

Треугольник Рёло — Википедия

Построение треугольника Рёло

Треуго́льник Рёло́^{[* 1]} представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне^[1][2]. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.

Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины^[1]. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых^{[* 2]}, то расстояние между ними не будет зависеть от выбранного направления^[3]. Это расстояние называется шириной треугольника Рёло.

Среди прочих фигур постоянной ширины треугольник Рёло выделяется рядом экстремальных свойств: наименьшей площадью^[1], наименьшим возможным углом при вершине

[4], наименьшей симметричностью относительно центра^[5]. Треугольник получил распространение в технике — на его основе были созданы кулачковые и грейферные механизмы, роторно-поршневой двигатель Ванкеля и даже дрели, позволяющие сверлить (фрезеровать) квадратные отверстия^[6].

Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рёло. Он, вероятно, был первым, кто исследовал свойства этого так называемого криволинейного треугольника; также он использовал его в своих механизмах^[7].

Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась^[8].

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке

[9]. Тем не менее, подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции^[10], а также в Мадридском кодексе^[9].

Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами (угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов^[11].

Ещё раньше, в XIII веке, создатели церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон^[9].

Треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой^[12].

Основные геометрические характеристики[править | править код]

Если ширина треугольника Рёло равна a{\displaystyle a}, то его площадь равна^[13]

S=12(π−3)⋅a2,{\displaystyle S={{1} \over {2}}\left(\pi -{\sqrt {3}}\right)\cdot a^{2},}

периметр

p=πa,{\displaystyle p=\pi a,}

радиус вписанной окружности

r=(1−13)⋅a,{\displaystyle r=\left(1-{{1} \over {\sqrt {3}}}\right)\cdot a,}

а радиус описанной окружности

R=a3{\displaystyle R={{a} \over {\sqrt {3}}}}.

Симметрия[править | править код]

Треугольник Рёло обладает осевой симметрией. Он имеет три оси симметрии второго порядка, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также одну ось симметрии третьего порядка, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центр^{[* 3]}. Таким образом, группа симметрий треугольника Рёло состоит из шести отображений (включая тождественное) и совпадает с группой D3{\displaystyle D_{3}} симметрий правильного треугольника.

Построение циркулем[править | править код]

Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирается произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей.

Свойства, общие для всех фигур постоянной ширины[править | править код]

Поскольку треугольник Рёло является фигурой постоянной ширины, он обладает всеми общими свойствами фигур этого класса. В частности,

• с каждой из своих опорных прямых треугольник Рёло имеет лишь по одной общей точке^[14];
• расстояние между двумя любыми точками треугольника Рёло ширины a{\displaystyle a} не может превышать a{\displaystyle a}^[15];
• отрезок, соединяющий точки касания двух параллельных опорных прямых к треугольнику Рёло, перпендикулярен к этим опорным прямым^[16];
• через любую точку границы треугольника Рёло проходит по крайней мере одна опорная прямая^[17];
• через каждую точку P{\displaystyle P} границы треугольника Рёло проходит объемлющая его окружность радиуса a{\displaystyle a}^{[* 4]}, причём опорная прямая, проведённая к треугольнику Рёло через точку P{\displaystyle P}, является касательной к этой окружности^[18];
• радиус окружности, имеющей не меньше трёх общих точек с границей треугольника Рёло ширины a{\displaystyle a}, не превышает a{\displaystyle a}^[19];
• по теореме Ханфрида Ленца^[de] о множествах постоянной ширины треугольник Рёло нельзя разделить на две фигуры, диаметр которых был бы меньше ширины самого треугольника^[20][21];
• треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат^[22], а также в правильный шестиугольник^[23];
• по теореме Барбье формула периметра треугольника Рёло справедлива для всех фигур постоянной ширины^[24][25][26].

Экстремальные свойства[править | править код]

Наименьшая площадь[править | править код]

Среди всех фигур постоянной ширины a{\displaystyle a} у треугольника Рёло наименьшая площадь^[1]. Это утверждение носит название теоремы Бляшке — Лебега^[27][28] (по фамилиям немецкого геометра Вильгельма Бляшке, опубликовавшего теорему в 1915 году^[29], и французского математика Анри Лебега, который сформулировал её в 1914 году^[30]). В разное время варианты её доказательства предлагали Мацусабуро Фудзивара (1927 и 1931 год)^[31][32], Антон Майер (1935 год)^[33], Гарольд Эгглстон (1952 год)^[34], Абрам Безикович (1963 год)^[35], Дональд Чакериан (1966 год)^[36], Эванс Харрелл (2002 год)^[37] и другие математики^[5].

Чтобы найти площадь треугольника Рёло, можно сложить площадь внутреннего равностороннего треугольника

S△=34⋅a2{\displaystyle S_{\triangle }={{\sqrt {3}} \over {4}}\cdot a^{2}}

и площадь трёх оставшихся одинаковых круговых сегментов, опирающихся на угол в 60°

Sseg=a22(π3−sin⁡π3)=(π6−34)⋅a2,{\displaystyle S_{seg}={{a^{2}} \over {2}}\left({{\pi } \over {3}}-\sin {{\pi } \over {3}}\right)={\left({{\pi } \over {6}}-{{\sqrt {3}} \over {4}}\right)\cdot a^{2}},}

то есть

Srt=S△+3Sseg=12(π−3)⋅a2=a2⋅0,70477…{\displaystyle S_{rt}=S_{\triangle }+3S_{seg}={{1} \over {2}}\left(\pi -{\sqrt {3}}\right)\cdot a^{2}=a^{2}\cdot 0{,}70477\ldots }^[38]

Фигура, обладающая противоположным экстремальным свойством — круг. Среди всех фигур данной постоянной ширины его площадь

S◯=a2⋅π4=a2⋅0,78539…{\displaystyle S_{\bigcirc }=a^{2}\cdot {{\pi } \over {4}}=a^{2}\cdot 0{,}78539\ldots }

максимальна^{[39][* 5]}. Площадь соответствующего треугольника Рёло меньше на ≈10,27 %. В этих пределах лежат площади всех остальных фигур данной постоянной ширины.

Наименьший угол[править | править код]

Через каждую вершину треугольника Рёло, в отличие от остальных его граничных точек, проходит не одна опорная прямая, а бесконечное множество опорных прямых. Пересекаясь в вершине, они образуют «пучок». Угол между крайними прямыми этого «пучка» называется углом при вершине. Для фигур постоянной ширины угол при вершинах не может быть меньше 120°. Единственная фигура постоянной ширины, имеющая углы, равные в точности 120° — это треугольник Рёло^[4].

Наименьшая центральная симметрия[править | править код]

Треугольник Рёло (бежевый) и его образ при центральной симметрии относительно своего центра (заштрихован). Наибольшая центрально-симметричная фигура, в нём содержащаяся (криволинейный шестиугольник), и наименьшая центрально-симметричная выпуклая, его содержащая (правильный шестиугольник) выделены жирной линией

Из всех фигур постоянной ширины треугольник Рёло обладает центральной симметрией в наименьшей степени^{[5][40][41][42][43]}. Существует несколько различных способов дать определение степени симметричности фигуры. Один из них — это мера Ковнера — Безиковича. В общем случае для выпуклой фигуры C{\displaystyle C} она равна

σ(C)=μ(A)μ(C),{\displaystyle \sigma (C)={{\mu (A)} \over {\mu (C)}},}

где μ{\displaystyle \mu } — площадь фигуры, A{\displaystyle A} — содержащаяся в C{\displaystyle C} центрально-симметричная выпуклая фигура максимальной площади. Для треугольника Рёло такой фигурой является шестиугольник с искривлёнными сторонами, представляющий собой пересечение этого треугольника Рёло со своим образом при центральной симметрии относительно своего центра^{[* 3]}. Мера Ковнера — Безиковича для треугольника Рёло равна

σ=6arccos⁡(5+3312)+3−11π−3=0,84034…{\displaystyle \sigma ={{6\arccos {\left({{5+{\sqrt {33}}} \over {12}}\right)}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {11}}} \over {\pi -{\sqrt {3}}}}=0{,}84034\ldots }^[5][40]

Другой способ — это мера Эстерманна

τ(C)=μ(C)μ(B),{\displaystyle \tau (C)={{\mu (C)} \over {\mu (B)}},}

где B{\displaystyle B} — содержащая C{\displaystyle C} центрально-симметричная фигура минимальной площади. Для треугольника Рёло B{\displaystyle B} — это правильный шестиугольник, поэтому мера Эстерманна равна

τ=π−33=0,81379…{\displaystyle \tau ={{\pi -{\sqrt {3}}} \over {\sqrt {3}}}=0{,}81379\ldots }^[5][36]

Для центрально-симметричных фигур меры Ковнера — Безиковича и Эстерманна равны единице. Среди фигур постоянной ширины центральной симметрией обладает только круг^[25], который (вместе с треугольником Рёло) и ограничивает область возможных значений их симметричности.

Качение по квадрату[править | править код]

Любая фигура постоянной ширины вписана в квадрат со стороной, равной ширине фигуры, причём направление сторон квадрата может быть выбрано произвольно^{[22][* 6]}. Треугольник Рёло — не исключение, он вписан в квадрат и может вращаться в нём, постоянно касаясь всех четырёх сторон^[44].

Каждая вершина треугольника при его вращении «проходит» почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории лишь в углах — там вершина описывает дугу эллипса. Центр этого эллипса расположен в противоположном углу квадрата, а его больша́я и малая оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны

a⋅(3±1),{\displaystyle a\cdot \left({\sqrt {3}}\pm 1\right),}

где a{\displaystyle a} — ширина треугольника^[45]. Каждый из четырёх эллипсов касается двух смежных сторон квадрата на расстоянии

a⋅(1−32)=a⋅0,13397…{\displaystyle a\cdot \left(1-{{\sqrt {3}} \over {2}}\right)=a\cdot 0{,}13397\ldots }

от угла^[38].

Эллипс (выделен красным цветом), очерчивающий один из углов фигуры (её граница выделена чёрным цветом), которую покрывает треугольник Рёло при вращении в квадрате	Угол покрываемой вращением фигуры. Подписаны точки касания сторон квадрата с эллипсом. Светло-жёлтым показан не затронутый вращением угол квадрата

Центр треугольника Рёло при вращении движется по траектории, составленной из четырёх одинаковых дуг эллипсов. Центры этих эллипсов расположены в вершинах квадрата, а оси повёрнуты на угол в 45° относительно сторон квадрата и равны

a⋅(1±13){\displaystyle a\cdot \left(1\pm {{1} \over {\sqrt {3}}}\right)}^[45].

Иногда для механизмов, реализующих на практике такое вращение треугольника, в качестве траектории центра выбирают не склейку из четырёх дуг эллипсов, а близкую к ней окружность^[46].

Эллипс (выделен красным цветом), очерчивающий одну четвёртую кривой, по которой движется центр треугольника Рёло при вращении в квадрате	Траектория центра треугольника Рёло при вращении в квадрате. Выделены точки сопряжения четырёх дуг эллипсов. Для сравнения показана окружность (синим цветом), проходящая через эти же четыре точки

Площадь каждого из четырёх не затронутых вращением уголков равна

β=a2⋅(1−32−π24){\displaystyle \beta =a^{2}\cdot \left(1-{{\sqrt {3}} \over {2}}-{{\pi } \over {24}}\right)}^[47]

и, вычитая их из площади квадрата, можно получить площадь фигуры, которую образует треугольник Рёло при вращении в нём

a2−4β=a2⋅(23+π6−3)=a2⋅0,98770…{\displaystyle a^{2}-4\beta =a^{2}\cdot \left(2{\sqrt {3}}+{{\pi } \over {6}}-3\right)=a^{2}\cdot 0{,}98770\ldots }^[38][47][48]

Разница с площадью квадрата составляет ≈1,2 %, поэтому на основе треугольника Рёло создают свёрла, позволяющие получать почти квадратные отверстия^[45].

Сверление квадратных в сечении к оси фрезы отверстий[править | править код]

«Мы все слыхали о гаечных ключах, приспособленных для гаек с левой резьбой, завязанных в узел водопроводных трубах и бананах из чугуна. Мы считали подобные вещи смешными безделушками и отказывались даже верить, что они когда-нибудь встретятся нам в действительности. И вдруг появляется инструмент, позволяющий сверлить квадратные отверстия!»

рекламная листовка фирмы
Watts Brothers Tool Works^{[49][* 7]}

Фреза с сечением в виде треугольника Рёло и режущими лезвиями, совпадающими с его вершинами, позволяет получать почти квадратные отверстия. Отличие таких отверстий от квадрата в сечении состоит лишь в немного скруглённых углах^[50]. Другая особенность подобной фрезы заключается в том, что его ось при вращении не должна оставаться на месте, как это происходит в случае традиционных спиральных свёрл, а описывает в плоскости сечения кривую, состоящую из четырёх дуг эллипсов. Поэтому патрон, в котором зажата фреза, и крепление инструмента не должно препятствовать этому движению^[45].

Впервые реализовать подобную конструкцию крепления инструмента удалось Гарри Уаттсу, английскому инженеру, работавшему в США. Для этого он использовал направляющую пластину с отверстием в виде квадрата, в котором могло радиально перемещаться сверло, зажатое в «плавающем патроне»^[50]. Патенты на патрон^[51] и сверло^[52] были получены Уаттсом в 1917 году. Продажу новых дрелей осуществляла фирма Watts Brothers Tool Works^[en][53][54]. Ещё один патент США на похожее изобретение был выдан в 1978 году^[55].

Двигатель Ванкеля[править | править код]

Схема работы двигателя Ванкеля

Другой пример использования можно найти в двигателе Ванкеля: ротор этого двигателя выполнен в виде треугольника Рёло^[6]. Он вращается внутри камеры, поверхность которой выполнена по эпитрохоиде^[56]. Вал ротора жёстко соединён с зубчатым колесом, которое сцеплено с неподвижной шестернёй. Такой трёхгранный ротор обкатывается вокруг шестерни, всё время касаясь вершинами внутренних стенок двигателя и образуя три области переменного объёма, каждая из которых по очереди является камерой сгорания^[6]. Благодаря этому двигатель выполняет три полных рабочих цикла за один оборот.

Двигатель Ванкеля позволяет осуществить любой четырёхтактный термодинамический цикл без применения механизма газораспределения. Смесеобразование, зажигание, смазка, охлаждение и пуск в нём принципиально такие же, как у обычных поршневых двигателей внутреннего сгорания^[56].

Грейферный механизм[править | править код]

Рамочно-кулачковый грейферный механизм кинопроектора «Луч-2»

Ещё одно применение треугольника Рёло в механике — это грейферный механизм, осуществляющий покадровое перемещение плёнки в кинопроекторах. Грейфер проектора «Луч-2», например, основан на треугольнике Рёло, который вписан в рамку-квадрат и закреплён на двойном параллелограмме. Вращаясь вокруг вала привода, треугольник двигает рамку с расположенным на ней зубом. Зуб входит в перфорацию киноплёнки, протаскивает её на один кадр вниз и выходит обратно, поднимаясь затем к началу цикла. Его траектория тем ближе к квадрату, чем ближе к вершине треугольника закреплён вал (идеально квадратная траектория позволила бы проецировать кадр в течение ¾ цикла)^[6][57][58].

Существует и другая конструкция грейфера, также основанная на треугольнике Рёло. Как и в первом случае, рамка этого грейфера совершает возвратно-поступательное движение, однако её двигает не один, а два кулачка, работа которых синхронизирована с помощью зубчатой передачи^[28].

Крышки для люков[править | править код]

В форме треугольника Рёло можно изготавливать крышки для люков — благодаря постоянной ширине они не могут провалиться в люк^[59].

В Сан-Франциско, для системы рекуперирования воды^[en] корпуса люков имеют форму треугольника Рёло, но их крышки имеют форму равносторонних треугольников.

Кулачковый механизм[править | править код]

Внешние изображения
Кулачковые механизмы на основе треугольника Рёло
	Модели L01[60], L02[61] и L06[62] из коллекции механизмов Франца Рёло

Треугольник Рёло использовался в кулачковых механизмах некоторых паровых двигателей начала XIX века. В этих механизмах вращательное движение кривошипа поворачивает треугольник Рёло, прикреплённый к толкателю передаточными рычагами, что заставляет толкатель совершать возвратно-поступательное движение^[63]. По терминологии Рёло, это соединение образует «высшую» кинематическую пару, поскольку контакт звеньев происходит по линии, а не по поверхности^[64]. В подобных кулачковых механизмах толкатель при достижении крайнего правого или левого положения остаётся некоторое конечное время неподвижен^[63][10].

Треугольник Рёло ранее широко применялся в кулачковых механизмах швейных машин зигзагообразной строчки.

В качестве кулачка треугольник Рёло использовали немецкие часовые мастера в механизме наручных часов A. Lange & Söhne «Lange 31»^[65].

Каток[править | править код]

Для перемещения тяжёлых предметов на небольшие расстояния можно использовать не только колёсные, но и более простые конструкции, например, цилиндрические катки^[66]. Для этого груз нужно расположить на плоской подставке, установленной на катках, а затем толкать его. По мере освобождения задних катков их необходимо переносить и класть спереди^[67][66]. Такой способ транспортировки человечество использовало до изобретения колеса.

При этом перемещении важно, чтобы груз не двигался вверх и вниз, так как тряска потребует дополнительных усилий от толкающего^[67]. Для того, чтобы движение по каткам было прямолинейным, их сечение должно представлять собой фигуру постоянной ширины^[67][68]. Чаще всего сечением был круг, ведь катками служили обыкновенные брёвна. Однако сечение в виде треугольника Рёло будет ничуть не хуже^{[прояснить]} и позволит передвигать предметы столь же прямолинейно^[6][67].

Несмотря на то, что катки в форме треугольника Рёло позволяют плавно перемещать предметы, такая форма не подходит для изготовления колёс, поскольку треугольник Рёло не имеет фиксированной оси вращения^[69].

Плектр[править | править код]

Треугольник Рёло — распространённая форма плектра (медиатора): тонкой пластинки, предназначенной для игры на струнах щипковых музыкальных инструментов.

В дизайне[править | править код]

Треугольник Рёло используется как элемент логотипов компаний и организаций, например: FINA (Petrofina^[en])^[70], Bavaria^[71], Колорадская горная школа^[en][72].

В США система национальных троп и система велосипедных маршрутов^[en] оформлены с помощью треугольников Рёло^[73].

Форма центральной кнопки смартфона Samsung Corby представляет собой треугольник Рёло, вложенный в серебристое обрамление такой же формы. Центральная кнопка, по мнению экспертов, является главным элементом дизайна лицевой стороны Corby

[74]^[75].

Архитектура[править | править код]

Форма треугольника Рёло используется и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку, однако целиком он встречается в готических сооружениях довольно редко^[76][77

Что такое треугольник Рёло ?

Треуголник Рёло – это область пересечения трех окружностей, построенных из вершин правильного треугольника. Они имеют радиус, равный стороне этого же треугольника. Он относится к разряду простых фигур (как круг), обладающих постоянной шириной. То есть если к нему провести две параллельные опорные прямые, то независимо от выбранного направления, расстояние между ними будет неизменным, в любой точке независимо от их длины.

По мнению историков, название это «непростой» простой фигуре дал немецкий механик Франц Рёло, живший с 1829 по 1905 годы. Многие историки сходятся в том, что именно он стал первооткрывателем свойств этой геометрической фигуры. Потому как он первый широко использовал свойства и возможности треугольника Рёло в своих механизмах.

Франц Рёло первым дал доскональные определения понятиям «кинетическая пара», «кинетическая цепь». Он впервые показал возможность связи между основами механики и конструирования. То есть связал теорию и практические проблемы конструирования. Что позволило создавать механизмы в совокупности их функциональных возможностей с внешней привлекательностью/эстетичностью. Отсюда Рёло стали считать поэтом механики. Что позволило последователям в корне пересмотреть имеющиеся в ней теории.

Иные исследователи первооткрывателем этой фигуры признают Леонарда Эйлер (18 век), который уже тогда продемонстрировал возможность его создания ее из трех окружностей.

А третьи «увидели» треугольник Рёло в рукописях гениального Леонардо Да Винчи. Манускрипты этого естествоиспытателя, с изображением этой «простой» фигуры, хранятся в Мадридском кодексе и в Институте Франции.

Но кто бы ни был первооткрывателем этот «не простой» треугольник получил широкое распространение в современном мире.

А именно:

• Сверло Уаттса. В 1914 году Гарри Джеймс Уаттс изобрел уникальный инструмент для высверливания квадратных отверстий. Это сверло, выполнено в форме Треугольника Рёло;

• Двигатель Ванкеля. С 1957 года треугольник Рёло немецкий изобретатель Ванкель Ф. создал уникальный механизм. Где внутри камеры, цилиндрической формы, по сложной траектории передвигается ротор-поршень. Созданный в форме треугольника Рёло. При его постоянном движении, каждая его грань, контактируя со стенками камеры, образует сразу три камеры, названные позже «камерами сгорания».

Вот тут можно вспомнить подробный пост про двигатель Ванкеля

• Грейферный механизм кинопроекторов. Треугольник Рёло, вписанный в квадрат и двойной параллелограмм лежат в его основе. А нужен он для равномерного продергивания кинопленки во время киносеанса со скоростью в 18 кадров/с без отклонений и задержек;

• Основа кулачкового механизма для зигзагообразного шва в швейных машинках, а также в немецких часах таких известных марок как A. Lange & Söhne «Lange 31»;

• Плектр или медиатор, тоже не что иное, как треугольник Рёло. Они необходимы при игре на щипковых музыкальных инструментах.

• В архитектуре. Конструкция из двух дуг треугольника Рёло образует стрельчатую арку готического стиля. А окна в форме Рёло стоят в Брюгге в церкви Богоматери. Как орнамент он присутствует и на оконных решетках швейцарской коммуны Отрив и цистерцианского аббатства.

На самом деле Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась.

Леонардо да Винчи, манускрипт A, фрагмент листа 15v

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. Тем не менее, подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции^[10], а также в Мадридском кодексе.

Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами(угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов.

Ещё раньше, в XIII веке, создатели церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон

Следовательно, изобретенный в прошлом веке треугольник Рёло широко используется сегодня. Однако его изучение не стоит на месте. Его свойства, как характеристики простой фигуры, находится в постоянном теоретическом и практическом изучении.

Именно треугольник Рело может помочь нам в сверлении квадратных отверстий. Достаточно двигать центр этого «треугольника» по некой траектории, и его вершины начертят почти квадрат, а границы полученной фигуры, за исключением небольших кусочков по углам, будут строго прямыми! Такими, что, если продолжить отрезки, тем самым добавив уголочки, то получится в точности квадрат.Площадь незаметенных уголочков составляет всего около 2 процентов от площади всего квадрата!

А вот еще применение :

Китайский офицер Гуан Байхуа из Циндао заново изобрел колесо. Он создал необычный велосипед: вместо круглых колес у него треугольник сзади и пятиугольник спереди.

Сам изобретатель уверен, что новая модель будет пользоваться популярностью, поскольку, чтобы передвигаться на таком велосипеде, требуется больше усилий, а значит, это в какой-то степени может заменить спортивную нагрузку.

Добровольцы, опробовавшие новинку, были удивлены тем, насколько ровно передвигается велосипед с новыми колесами. Дело в том, что углы многоугольников сглажены. Это позволяет велосипеду не «прыгать» вверх-вниз, как можно было бы ожидать, поясняет со ссылкой на The Times InoPressa.ru.

Кроме того, колеса по форме являются кривыми постоянной длины, иначе называемыми «многоугольниками Рело» или «круглыми многоугольниками». Контур таких фигур представляет собой плоскую выпуклую кривую, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно «ширине» кривой.

Несмотря на то, что новый велосипед не пользуется коммерческим успехом, Байхуа не унывает. Теперь он занят созданием новой социальной сети в интернете.

Вот еще такое применение:

[источники]

источник

Давайте я вам еще что нибудь напомню математического : вот например Самое большое число в мире и Как выиграть в игру «Орел или решка» !. А знаете, что я вам еще напомню про числа ? Вот например существует число «ФИ» , а вот волшебные ЧЕТЫРЕ ЧЕТВЕРКИ. Я вам еще рассказывал вот про такое удивительное число Шенона, ну и еще к нашей теме можно отнести закон Бенфорда и такое известие, что оказывается великая теорема Ферма ДОКАЗАНА

ПРИМЕНЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА РЁЛО | sibac.info

Артюшкин  Алексей

класс  11  «Б»,  МОУ  гимназия  №  11,  г.  Волгоград

Резниченко  Дарья  Анатольевна

научный  руководитель,  учитель  первой  категории,  учитель  математики  и  информатики,  МОУ  гимназия  №  11,  г.  Волгоград

 

Актуальность:  в  современном  мире,  при  быстро  развивающихся  технологиях  нельзя  обойти  стороной  фигуру  постоянной  ширины  —  треугольник  Рёло,  позволяющий  сократить  затраты  при  производстве,  к  примеру,  при  конструировании  деталей. 

Объектом  исследования

  является  треугольник  Рёло.

Цель  исследования:  привести  достаточное  количество  примеров  применения  свойств  треугольника  Рёло.

Для  решения  поставленной  цели  были  выделены  следующие  задачи  исследования: 

·изучить  главные  свойства  треугольника  Рёло; 

·отсмотреть  видео  материал  про  треугольник  Рёло;

·на  основе  изученных  материалов  предложить  области  использования  треугольника  Рёло. 

Методами  исследования  являются  изучение  документации  и  информационных  материалов,  наблюдение,  анализ,  эксперимент.

Как  и  большинству  подростков  старшего  школьного  возраста  поколения  90-х,  меня  интересуют  спортивные  автомобили.  Особое  внимание  я  уделяю  эксклюзивным  моделям.  Поэтому  сильно  привлекает  моё  внимание  машина  Mazda  RX-7  и  чуть  позже  RX-8,  где  интерес  вызывает  двигатель  этих  машин.  Речь  идет  о  «двигателе  Ванкеля»,  или  о  «роторном  двигателе». 

В  свое  время  Ванкель  сделал  прорыв  в  машинной  индустрии,  создав  двигатель  кардинально  отличавшиеся  от  поршневого.  Главным  отличаем  является  количество  движущихся  частей,  такой  главной  деталью  в  двигателе  будет  ротор.  Только  благодаря  особой  форме  ротора  такой  двигатель  возможен.  Эта  форма  носит  название  —  «Треугольник  Рёло»,  или  в  простонародье  круглый  треугольник  (Рис.1).  Фигура  «треугольник  Рёло»  меня  заинтересовала,  и  я  решил  разобраться  в  её  свойствах  и  способах  применения. 

 

Рисунок  1.  Треугольник  Рёло

 

Я  начал  с  того,  что  решил  изучить  все  свойства  фигуры.  И  остановиться  на  тех,  которые  помогут  понять,  куда  её  можно  применить.  Первое  —  её  построение.  Такую  фигуру  очень  просто  построить,  используя  только  циркуль.  Для  этого  нужно  провести  две  окружности  с  одинаковым  радиусом,  но  так,  чтобы  центр  второй  совпадал  с  одной  из  точек  первой  (кроме  центра).  Проводим  третью  окружность,  так  что  бы  её  центр  совпадал  с  точкой  пересечения  первых  окружностей  (Рис.  1).  Область,  которая  принадлежит  всем  трем  кругам  и  есть  треугольник  Рёло.

Треугольник  Рёло,  является  фигурой  постоянной  ширины.  Это  означает,  что  если  провести  две  параллельные  прямые  на  некотором  расстоянии,  то  фигура  при  качении  будет  касаться  обеих  прямых  постоянно.  Расстояние  между  ними  и  будет  фигура  постоянной  ширины.  Простейшей  такой  фигурой  будет  всем  известный  круг.  На  самом  деле  таких  фигур  не  мало.  Среди  ряда  таких  фигур  наименьшая  площадь  у  треугольника  Рёло.  Это  утверждение  носит  название  теоремы  Бляшке  —  Лебега.  К  примеру,  если  его  вписать  в  круг,  то  разница  очевидна  (Рис.  2). 

 

Рисунок  2.  Отношение  площадей

 

Пусть  а  —  это  ширина  фигуры,  тогда  площадь  ,  а  периметр    (Рис.  3).

 

Рисунок  3.  Треугольник  Рёло

 

Треугольник  Рёло  обладает  тремя  осевыми  линиями,  которые  проходят  из  вершины  в  середину  противоположной  стороны  b.

Являясь  фигурой  постоянной  ширины,  треугольник  Рёло  обладает  всеми  общими  свойствами  фигур  этого  класса.  А  именно:

·с  каждой  из  своих  опорных  прямых,  треугольник  Рёло  имеет  лишь  по  одной  общей  точке;

·расстояние  между  двумя  любыми  точками  треугольника  Рёло  ширины  не  может  превышать  а;

·отрезок,  соединяющий  точки  касания  двух  параллельных  опорных  прямых  к  треугольнику  Рёло,  перпендикулярен  к  этим  опорным  прямым;

·через  любую  точку  границы  треугольника  Рёло  проходит,  по  крайней  мере,  одна  опорная  прямая;

·через  каждую  точку  границы  треугольника  Рёло  проходит  объемлющая  его  окружность  радиуса,  причём  опорная  прямая,  проведённая  к  треугольнику  Рёло  через  точку,  является  касательной  к  этой  окружности;

·радиус  окружности,  имеющей  не  меньше  трёх  общих  точек  с  границей  треугольника  Рёло  ширины,  не  превышает;

·по  теореме  Ханфрида-Ленца  о  множествах  постоянной  ширины  треугольник  Рёло  нельзя  разделить  на  две  фигуры,  диаметр  которых  был  бы  меньше  ширины  самого  треугольника;

·треугольник  Рёло,  как  и  любую  другую  фигуру  постоянной  ширины,  можно  вписать  в  квадрат,  а  также  в  правильный  шестиугольник;

·по  теореме  Барбье  формула  периметра  треугольника  Рёло  справедлива  для  всех  фигур  постоянной  ширины.

Не  опровержим  тот  факт,  что  свойство  треугольника  Рёло  —  качение  по  квадрату,  позволяет  применять  его  в  интересных  областях  (Рис.  4). 

 

Рисунок  4.  Качение  по  квадрату

 

Треугольник  Рёло  вписан  в  квадрат  и  может  вращаться  в  нём,  постоянно  касаясь  всех  четырёх  сторон.  Каждая  вершина  треугольника  при  его  вращении  «проходит»  почти  весь  периметр  квадрата,  отклоняясь  от  этой  траектории  лишь  в  углах  —  там  вершина  описывает  дугу  эллипса.  Центр  этого  эллипса  расположен  в  противоположном  углу  квадрата,  а  его  большая  и  малая  оси  повёрнуты  на  угол  в  45°  относительно  сторон  квадрата  и  равны  (Рис.4).  Все  4  эллипса  касаются  смежных  сторон  квадрата  на  расстоянии    от  угла  (Рис.5).

 

Рисунок  5.

 

Изучив  научную  и  справочную  литературу  по  треугольнику  Рёло,  я  выделил  4  области  применения  фигуры  постоянной  ширины. 

 

Рисунок  6.  Двигатель  Ванкеля

 

Во-первых,  это  двигатель  Ванкеля  (Рис.  6),  который  возможен  благодаря  форме  ротора.  Он  вращается  внутри  камеры,  поверхность  которой  выполнена  по  эпитрохоиде[1].  Вал  ротора  жёстко  соединён  с  зубчатым  колесом,  которое  сцеплено  с  неподвижной  шестерёнкой.  Такой  трёхгранный  ротор  обкатывается  вокруг  шестерни,  касаясь  вершинами  внутренних  стенок  двигателя  и  образуя  три  области  переменного  объёма,  каждая  из  которых  по  очереди  является  камерой  сгорания.  Благодаря  этому  двигатель  выполняет  три  полных  рабочих  цикла  за  один  оборот.

Во-вторых,  кинематография,  а  более  точно  —  «Грейферный»  механизм  (Рис.  7),  который  осуществляет  покадровое  перемещение  плёнки  в  кинопроекторах.  В  данном  случае  треугольник  Рёло  находится  внутри  квадрата  и  двигает  рамку,  посредством  вращения  вокруг  одного  из  своих  углов.  Зуб,  который  находиться  на  рамке,  входит  в  перфорацию  киноплёнки,  протаскивает  её  на  один  кадр  вниз  и  выходит  обратно.

 

Рисунок  7.  Грейферный  механизм

 

В-третьих,  с  помощью  сверла  формы  треугольника  Рёло  можно  сверлить  квадратные  отверстия!  Замечено  что  вершины  треугольника  Рёло  описывают  квадрат  только  при  вращение  центра  строго  по  фигуре  состоящей  из  4  дуг  эллипсов  (Рис.4).  Отсюда  и  сложность  создания  такого  сверла,  так  как  обычная  дрель  вращает  сверло  вокруг  своей  оси.  Но  все-таки,  конструкция  позволяющая  воплотить  такое  сверло,  было  придумано  Гарри  Уаттсу  в  1917  году  (Рис.  8). 

 

Рисунок  8.  Сверло  Уаттсу

 

В-четвертых,  это  медиатор  музыкантов-струнников,  а  так  же  диаграммы  Эйлера  RGB.

Основываясь  на  теоретических  данных,  предполагаю,  что  свойства  треугольника  Рёло  возможно  использовать  в  следующих  направлениях:

1.  Создание  и  использование  машины  для  дробления  камней  в  шахтах.  Для  этого  необходимо  изготовить  два  вала,  которые  при  фронтальном  срезе  будут  в  форме  треугольника  Рёло,  причем  вершины  треугольника  имеют  зубья,  глубина  которых  равна  разнице  расстояния  от  центра  до  вершины,  и  расстоянию  от  центра  до  самой  удаленной  точки  на  стороне  (Рис.  9). 

 

Рисунок  9.  Вал  дробильной  машины  (вид  сбоку)

 

Которые  надо  расположить  таким  образом,  что  их  оси  будут  находиться  на  расстоянии,  равном  двум  расстояниям  от  самой  удаленной  точки  стороны  треугольника  (назовем  её  х)  до  его  центра,  плюс  15  %  от  этого  расстояния,  и  начать  их  вращать.  При  вращение  мы  будем  наблюдать  две  фазы.  Первая,  когда  точки  х  обоих  валов  будут  на  не  большом  (15  %)  расстоянии  друг  от  друга  (Рис.10),  и  вторая,  когда  зубчатые  вершины  треугольника  Рёло  будут  входить  друг  в  друга  с  небольшим  зазором  (Рис.  11). 

 

Рисунок  10.  Первая  фаза

 

Рисунок  11.  Вторая  фаза

 

В  первой  фазе  камни  будут  попадать  в  зазор,  а  во  второй  дробиться.  Причем,  если  по  той  же  технологии  расположить  круглые  валы,  то  вероятность  того,  что  конструкция  заклинит  выше,  потому  что  при  вращение  круглых  валов,  всего  одна  фаза,  при  которой  камни  и  попадают  в  дробильный  механизм,  и  дробятся  одновременно.  В  случае  с  машиной,  в  которой  применен  треугольник  Рёло,  фазы  две,  и  даже,  если  при  дроблении  камень  застрял,  то  в  следующей  фазе  механизм  образует  зазор,  и  машина  не  застопорится.  К  тому  же,  современная  дробилка  устроена  таким  образом,  что  в  ней  присутствует  возвратнопоступательный  механизм.  На  примере  сравнения  двигателя  Ванкеля  и  поршневого  двигателя  (и  здесь  можно  выделять  те  же  плюсы).

2.  Тренажеры  для  развития  различных  групп  мышц.  Главная  цель  современных  тренажеров,  это  изолированная  тренировка  мышцы.  Но  время  не  стоит  на  месте  и  биомеханика,  позволила  понять,  что  важно  не  только  изолировать  мышцу,  но  и  правильно  давать  на  нее  нагрузку.  Так  как  мышца  не  способна  одинаково  сильно  работать  на  протяжении  всего  своего  «рабочего  хода»,  то  надо  давать  слабую  нагрузку  в  момент,  когда  она  находиться  в  одном  из  крайних  положений  и  когда  она  проходит  «центральное»  положение,  нагрузка  может  возрастать.  Но  такого  эффекта  сложно  добиться,  для  этого  используют  различные  кулачковоблочные  механизмы,  и  такие  тренажеры  отличаются  дороговизной.  В  свою  очередь  использования  треугольника  Рёло  для  этой  цели  очень  эффективно  заменяет  все  сложные  механизмы.  Работая  пятое  лето  подряд  у  отца  на  заводе  по  изготовлению  тренажеров,  и  занимаясь  последние  два  лета  непосредственно  разработкой  такого  вида  тренажеров,  как  никто  другой,  я  знаю,  как  сложно  создать  такой  механизм.  И  вот  теперь  я  произвел  расчеты,  что,  если  тянуть  трос  не  через  кулачковоблочный  механизм,  а  через  блок  в  виде  треугольника  Рёло,  то  экономиться  приблизительно  2  метра  троса  который  проходит  через  такую  систему,  и  сокращается  расход  метала.  А  результат  изменения  нагрузки  будет  таким  же,  нагрузка  будет  с  начало  возрастать,  а  затем  она  станет  пиковой  в  момент  прохождения  вершины  треугольника  Рёло,  а  затем  снова  сходить  на  нет,  при  условии,  что  мы  тянули  один  и  тот  же  вес.  Нагрузка  на  мышцу  получилась  плавная  и  равномерная.

3.  Люки  канализации.  Фигура  постоянной  ширины  не  может  проходить  через  отверстие  такой  же  фигуры  с  меньшей  шириной.  Благодаря  чему  можно  треугольник  Рёло  использовать  и  в  этом  направление  тоже.  Тут,  конечно,  можно  рассуждать,  что  и  круглый  люк  не  проваливается,  так  как  круг  тоже  фигура  постоянной  величины,  но  нам  уже  известен  тот  факт,  что  у  треугольника  Рёло  меньше  площадь,  чем  у  круга,  а  значит  и  материала  меньше  расходуется  на  крышку  люка.  Это  придумал  не  я.  Но  я  думаю  это  актуально  и  сейчас. 

4.  Музыкальные  инструменты.  Я  окончил  музыкальную  школу  по  классу  баян.  Поэтому  знаю,  какие  минусы  есть  у  моего  инструмента.  Один  из  них  это,  что  при  нажатии  на  клавиши  близко  стоящие  во  2  и  3  ряду  они  цепляют  друг  за  друга  в  виду  небольшого  смешения,  что  не  приемлемо.  Если  же  клавиши  сделать  в  форме  треугольника  Рёло,  и  расположить  их,  как  показано  на  рисунке  12,  то  такой  проблемы  можно  избежать.  Причем  инструмент  будет  более  экстравагантный. 

 

Рисунок  12.Клавиши  баяна

 

5.  Также  нашел  применение  треугольника  Рёло  в  мотоиндустрии.  Сам  я,  с  недавних  пор,  увлекся  мотоциклами,  и,  соответственно,  туда  тоже  применил  эту  фигуру.  Всем  известно,  для  того,  чтобы  приводить  мотоцикл  в  движение  необходимо  «крутить  ручку  газа».  В  мотоиндустрии  проблема  с  хорошим  хватом  этой  ручки  стоит  остро.  Её  решали  по-разному,  к  примеру:  используя  материалы,  повышающие  трение  между  перчаткой  и  грипсой  (ручкой  газа).  К  тому  же,  при  длительной  езде  рука  попросту  устает.  Ради  решения  моей  проблемы,  я  изготовил  из  дерева  ручку,  которая  при  фронтальном  разрезе  имела  форму  треугольника  Рёло  и,  как  оказалось,  она  идеально  повторяет  внутренние  контуры  закрытой  ладони,  и  удерживать  такую  рукоять  гораздо  легче.  Как  оказалось,  при  простейшем  изучении  вашей  ладони  вы  увидите,  что  если  собрать  руку  «трубочкой»,  как  будто  вы  держите  что-нибудь  круглое,  то  вторая  и  третья  фаланга  второго,  третьего  и  четвертого,  а  также  вторая  фаланга  первого  пальца  (замыкающего  «кольцо»  из  вашей  ладони)  образуют  вершины  круглого  треугольника,  что  полностью  доказывает  мою  гипотезу.  Данное  открытие  можно  использовать  не  только  для  ручек  мотоцикла,  но  и  везде  где  необходимо  удерживать  с  сопротивлением  поворотную  рукоять  такого  типа.

На  самом  деле,  треугольник  Рёло  называется  так  не  по  праву.  Потому  что  сам  Рёло,  только  описал  и  изучил  круглый  треугольник,  но  никак  не  придумал  его.  Это  легко  проверить,  заглянув  в  работы  Леонардо-де  Винчи.  Еще  можно  встретить  эту  фигуру  в  архитектуре  ранее. 

Что  же  я  получили  в  ходе  работы?  Изучив  литературу,  просмотрев  видео  материалы,  рассмотрев  большое  количество  областей,  которые  укладываются  в  мой  кругозор,  где  только  возможно  применение  треугольника  Рёло,  мы  получили  интересный  результат.  А  заключается  он  в  том,  что  применение  данного  треугольника  в  окружающем  нас  мире,  может  быть  гораздо  большем,  чем  мы  могли  бы  подумать.  Я  считаю,  что  нельзя  так  беззаботно  обходить  треугольник  Рёло,  его  можно  использовать  в  различных  механизмах.  Это  подобно  великому  русскому  языку.  Ведь  столько  слов,  которые  мы  можем  использовать,  не  заимствуя  их  с  других  языков.  Не  применяя  русские  слова,  мы  используем  иностранные.  Так,  не  учитывая  во  внимание  существование  данной  фигуры,  мы  стараемся  изобрести  что-то  новое.  А  так  ли  это  необходимо?  Не  всегда.  Иногда  необходимо  лишь  углубить  свои  знания  в  той  или  иной  области.  И  ответ  окажется  очень  простым.  Знание  о  треугольнике  Рёло,  действительно  облегчает  нашу  жизнь.

 

Список  литературы:

1.Радемахер  Г.,  Тёплиц  О.  Кривые  постоянной  ширины  //  Числа  и  фигуры.  Опыты  математического  мышления  /  Пер.  с  нем.  В.И.  Контовта.  —  М.:  Физматгиз,  1962.  —  С.  195—211.  —  263  с.  —  («Библиотека  математического  кружка»,  выпуск  10).  [Электронный  ресурс]  —  Режим  доступа.  —  URL:  http://ru.wikipedia.org/wiki/Треугольник_Рёло  (дата  обращения  22.04.13).

Круглый треугольник Рело — Математические этюды

Про­ек­тор вось­ми­мил­ли­мет­ро­вой ки­но­плён­ки «Луч-2». Имен­но он был в каж­дом до­ме, где са­ми сни­ма­ли и смот­ре­ли ки­но­этю­ды.

В этом мульт­филь­ме рас­ска­зы­ва­ет­ся, как гео­мет­ри­че­ское по­ня­тие, ча­сто изу­ча­е­мое на ма­те­ма­ти­че­ских круж­ках, на­хо­дит при­ме­не­ние в на­шей по­все­днев­ной жиз­ни.

Ко­ле­со… Окруж­ность. Од­ним из свойств окруж­но­сти яв­ля­ет­ся ее по­сто­ян­ная ши­ри­на. Про­ве­дём две па­рал­лель­ные ка­са­тель­ные и за­фик­си­ру­ем рас­сто­я­ние меж­ду ни­ми. Нач­нём вра­щать. Кри­вая (в на­шем слу­чае окруж­ность) по­сто­ян­но ка­са­ет­ся обе­их пря­мых. Это и есть опре­де­ле­ние то­го, что за­мкну­тая кри­вая име­ет по­сто­ян­ную ши­ри­ну.

Бы­ва­ют ли кри­вые, от­лич­ные от окруж­но­сти и име­ю­щие по­сто­ян­ную ши­ри­ну?

РЕЛО Франц (Reuleaux Franz, 1829—1905) — не­мец­кий учё­ный. Впер­вые (1875) чёт­ко сфор­му­ли­ро­вал и из­ло­жил ос­нов­ные воп­ро­сы струк­ту­ры и ки­не­ма­ти­ки ме­ха­низ­мов; раз­ра­ба­ты­вал проб­ле­му эс­те­тич­нос­ти тех­ни­чес­ких объ­ек­тов.

Рас­смот­рим пра­виль­ный тре­уголь­ник (с рав­ны­ми сто­ро­на­ми). На каж­дой сто­роне по­стро­им ду­гу окруж­но­сти, ра­ди­у­сом, рав­ным длине сто­ро­ны. Эта кри­вая и но­сит имя «тре­уголь­ник Ре­ло». Ока­зы­ва­ет­ся, она то­же яв­ля­ет­ся кри­вой по­сто­ян­ной ши­ри­ны. Как и в слу­чае окруж­но­сти про­ве­дём две ка­са­тель­ные, за­фик­си­ру­ем рас­сто­я­ние меж­ду ни­ми и нач­нём их вра­щать. Тре­уголь­ник Ре­ло по­сто­ян­но ка­са­ет­ся обе­их пря­мых. Дей­стви­тель­но, од­на точ­ка ка­са­ния все­гда рас­по­ло­же­на в од­ном из «уг­лов» тре­уголь­ни­ка Ре­ло, а дру­гая — на про­ти­во­по­лож­ной ду­ге окруж­но­сти. Зна­чит, ши­ри­на все­гда рав­на ра­ди­у­су окруж­но­стей, т. е. длине сто­ро­ны из­на­чаль­но­го пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка.

В жи­тей­ском смыс­ле по­сто­ян­ная ши­ри­на кри­вой озна­ча­ет, что ес­ли сде­лать кат­ки с та­ким про­фи­лем, то книж­ка бу­дет ка­тить­ся по ним, не ше­лох­нув­шись.

Од­на­ко ко­ле­со с та­ким про­фи­лем сде­лать нель­зя, так как её центр опи­сы­ва­ет слож­ную ли­нию при ка­че­нии фигу­ры по пря­мой.

Бы­ва­ют ли ка­кие-то ещё кри­вые по­сто­ян­ной ши­ри­ны? Ока­зы­ва­ет­ся, их бес­ко­неч­но мно­го.

На лю­бом пра­виль­ном n-уголь­ни­ке с нечёт­ным чис­лом вер­шин мож­но по­стро­ить кри­вую по­сто­ян­ной ши­ри­ны по той же схе­ме, что был по­стро­ен тре­уголь­ник Ре­ло. Из каж­дой вер­ши­ны, как из цен­тра, про­во­дим ду­гу окруж­но­сти на про­ти­во­по­лож­ной вер­шине сто­роне. В Ан­глии мо­не­та в 20 пен­сов име­ет фор­му кри­вой по­сто­ян­ной ши­ри­ны, по­стро­ен­ной на се­ми­уголь­ни­ке.

Рас­смот­рен­ные кри­вые не ис­чер­пы­ва­ют весь класс кри­вых по­сто­ян­ной ши­ри­ны. Ока­зы­ва­ет­ся, сре­ди них бы­ва­ют и несим­мет­рич­ные кри­вые. Рас­смот­рим про­из­воль­ный на­бор пе­ре­се­ка­ю­щих­ся пря­мых. Рас­смот­рим один из сек­то­ров. Про­ве­дём ду­гу окруж­но­сти про­из­воль­но­го ра­ди­у­са с цен­тром в точ­ке пе­ре­се­че­ния пря­мых, опре­де­ля­ю­щих этот сек­тор. Возь­мём со­сед­ний сек­тор, и с цен­тром в точ­ке пе­ре­се­че­ния пря­мых, опре­де­ля­ю­щих его, про­ве­дём окруж­ность. Ра­ди­ус под­би­ра­ет­ся та­кой, чтобы уже на­ри­со­ван­ный ку­сок кри­вой непре­рыв­но про­дол­жал­ся. Бу­дем так де­лать даль­ше. Ока­зы­ва­ет­ся, при та­ком по­стро­е­нии кри­вая за­мкнёт­ся и бу­дет иметь по­сто­ян­ную ши­ри­ну. До­ка­жи­те это!

Все кри­вые дан­ной по­сто­ян­ной ши­ри­ны име­ют оди­на­ко­вый пе­ри­метр. Окруж­ность и тре­уголь­ник Ре­ло вы­де­ля­ют­ся из все­го на­бо­ра кри­вых дан­ной ши­ри­ны сво­и­ми экс­тре­маль­ны­ми свой­ства­ми. Окруж­ность огра­ни­чи­ва­ет мак­си­маль­ную пло­щадь, а тре­уголь­ник Ре­ло — ми­ни­маль­ную в клас­се кри­вых дан­ной ши­ри­ны.

Тре­уголь­ник Ре­ло ча­сто изу­ча­ют на ма­те­ма­ти­че­ских круж­ках. Ока­зы­ва­ет­ся, что эта гео­мет­ри­че­ская фигу­ра име­ет ин­те­рес­ные при­ло­же­ния в ме­ха­ни­ке.

Смот­ри­те, это «Маз­да RX-7». В от­ли­чие от боль­шин­ства се­рий­ных ма­шин в ней (а так­же в мо­де­ли RX-8) сто­ит ро­тор­ный дви­га­тель Ван­ке­ля. Как же он устро­ен внут­ри? В ка­че­стве ро­то­ра ис­поль­зу­ет­ся имен­но тре­уголь­ник Ре­ло! Меж­ду ним и стен­ка­ми об­ра­зу­ют­ся три ка­ме­ры, каж­дая из ко­то­рых по оче­ре­ди яв­ля­ет­ся ка­ме­рой сго­ра­ния. Вот вспрыс­ну­лась си­няя бен­зи­но­вая смесь, да­лее из-за дви­же­ния ро­то­ра она сжи­ма­ет­ся, под­жи­га­ет­ся и кру­тит ро­тор. Ро­тор­ный дви­га­тель ли­шён неко­то­рых недо­стат­ков порш­не­во­го ана­ло­га — здесь вра­ще­ние пе­ре­да­ет­ся сра­зу на ось и не нуж­но ис­поль­зо­вать ко­лен­вал.

А это — грей­фер­ный ме­ха­низм. Он ис­поль­зо­вал­ся в ки­но­про­ек­то­рах. Дви­га­те­ли да­ют рав­но­мер­ное вра­ще­ние оси, а чтобы на экране бы­ло чёт­кое изоб­ра­же­ние, плён­ку ми­мо объ­ек­ти­ва на­до про­тя­нуть на один кадр, дать ей по­сто­ять, по­том опять рез­ко про­тя­нуть, и так 18 раз в се­кун­ду. Имен­но эту за­да­чу ре­ша­ет грей­фер­ный ме­ха­низм. Он ос­но­ван на тре­уголь­ни­ке Ре­ло, впи­сан­ном в квад­рат, и двой­ном па­рал­ле­ло­грам­ме, ко­то­рый не да­ёт квад­ра­ту на­кло­нять­ся в сто­ро­ны. Дей­стви­тель­но, так как дли­ны про­ти­во­по­лож­ных сто­рон рав­ны, то сред­нее зве­но при всех дви­же­ни­ях оста­ёт­ся па­рал­лель­ным ос­но­ва­нию, а сто­ро­на квад­ра­та — все­гда па­рал­лель­ной сред­не­му зве­ну. Чем бли­же ось креп­ле­ния к вер­шине тре­уголь­ни­ка Ре­ло, тем бо­лее близ­кую к квад­ра­ту фигу­ру опи­сы­ва­ет зуб­чик грей­фе­ра.

Вот та­кие ин­те­рес­ные при­ме­не­ния, ка­за­лось бы, чи­сто ма­те­ма­ти­че­ской за­да­чи ис­поль­зу­ют лю­ди.

🛆 — Треугольник с закруглёнными углами (U+1F6C6)

Описание символа

Треугольник с закруглёнными углами. Транспортные и картографические символы.

Кодировка

Кодировка	hex	dec (bytes)	dec	binary
UTF-8	F0 9F 9B 86	240 159 155 134	4036991878	11110000 10011111 10011011 10000110
UTF-16BE	D8 3D DE C6	216 61 222 198	3627933382	11011000 00111101 11011110 11000110
UTF-16LE	3D D8 C6 DE	61 216 198 222	1037616862	00111101 11011000 11000110 11011110
UTF-32BE	00 01 F6 C6	0 1 246 198	128710	00000000 00000001 11110110 11000110
UTF-32LE	C6 F6 01 00	198 246 1 0	3338010880	11000110 11110110 00000001 00000000

Кривая постоянной ширины — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Треугольник Рёло — кривая постоянной ширины. Стороны квадрата — опорные прямые: каждая сторона касается треугольника, но не пересекает его. Треугольник Рёло можно вращать, и при этом он всегда будет касаться каждой стороны квадрата; таким образом ширина треугольника (расстояние между двумя опорными прямыми) постоянна.

Кривая постоянной ширины w{\displaystyle w} — плоская выпуклая кривая, длина ортогональной проекции которой на любую прямую равна w{\displaystyle w}.

Иными словами, кривой постоянной ширины называется плоская выпуклая кривая, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно w{\displaystyle w} — ширине кривой.

• Фигурой постоянной ширины называется фигура, граница которой является кривая постоянной ширины.

Многоугольники Рёло Гладкая кривая постоянной ширины, построенная на базе треугольника и составленная из фрагментов шести сопряжённых окружностей. Ширина w = a + b — c +2y, где a, b , c – стороны треугольника (a, b > c, y>0).

Фигурами постоянной ширины, в частности, являются круг и многоугольники Рёло (частный случай последних — треугольник Рёло). Многоугольники Рёло составлены из фрагментов окружностей и не являются гладкими кривыми. Из сопряжённых фрагментов окружностей можно построить и гладкую кривую постоянной ширины (рисунок справа), но дальнейшее увеличение гладкости кривой на этом пути невозможно

В отличие от приведенных выше простейших примеров, кривые постоянной ширины могут не совпадать с окружностью ни на каком конечном отрезке и быть везде сколь угодно гладкими. В общем виде фигура постоянной ширины w{\displaystyle w} c опорной функцией p(t){\displaystyle p(t)} задаётся параметрическими уравнениями^[1]

x=p(t)cos(t)−p′(t)sin(t){\displaystyle x=p(t)cos(t)-p'(t)sin(t)}

y=p(t)sin(t)+p′(t)cos(t){\displaystyle y=p(t)sin(t)+p'(t)cos(t)},

при условиях

1. w=p(t)+p(t+π){\displaystyle w=p(t)+p(t+\pi )} ,
2. полученная кривая является выпуклой.

Согласно элементарной тригонометрии первому условию удовлетворяет ряд Фурье следующего вида:

p(t)=w2+∑k=2+∞akcos⁡((2k−1)t+θk){\displaystyle p(t)={\frac {w}{2}}+\sum \limits _{k=2}^{+\infty }a_{k}\cos \left((2k-1)t+\theta _{k}\right)}^[2]

Если коэффициенты ряда убывают достаточно быстро, то результирующая кривая будет выпуклой (без самопересечений).

В частности, опорная функция p(t)=9+cos(3t){\displaystyle p(t)=9+cos(3t)} порождает кривую постоянной ширины, для которой найдено неявное представление в виде уравнения для полинома 8-й степени ^[3]

(x2+y2)4−45(x2+y2)3−41283(x2+y2)2+7950960(x2+y2)+16(x2−3y2)3{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{4}-45(x^{2}+y^{2})^{3}-41283(x^{2}+y^{2})^{2}+7950960(x^{2}+y^{2})+16(x^{2}-3y^{2})^{3}}

+48(x2+y2)(x2−3y2)2+(x2−3y2)x[16(x2+y2)2−5544(x2+y2)+266382]−7203=0{\displaystyle +48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}+(x^{2}-3y^{2})x[16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382]-720^{3}=0}

Эта кривая является аналитической функцией в окрестности любой точки либо от x, либо от y и ни в какой окрестности не совпадает с окружностью.

• Сверло, сделанное на основе треугольника Рёло, позволяет^[4] сверлить почти квадратные отверстия (с неточностью примерно в 2 % от площади квадрата).
• Британские монеты достоинством 20^[5] и 50 пенни имеют форму фигуры постоянной ширины, построенной на семиугольнике.
• Двигатель Ванкеля использует^[5] в качестве поршня вращающийся внутри камеры треугольник Рёло, что позволяет сразу получать вращательное движение.
• Грейферный механизм, отвечающий за «дискретную» протяжку ленты в кинопроекторе «Луч-2», использует вращающийся внутри подвижного квадрата треугольник Рёло^[5].

Линзообразный Δ-двухугольник вращающихся внутри равностороннего треугольника

• Фигуры постоянной ширины можно определить как выпуклые фигуры, способные вращаться внутри квадрата, одновременно касаясь всех его сторон. Можно также рассматривать фигуры, способные вращаться, касаясь всех сторон некоторого n{\displaystyle n}-угольника, например, правильного n{\displaystyle n}-угольника. Такие фигуры называются роторами^[6].
  • Например, двуугольник, образованный пересечением двух одинаковых кругов с углом при вершине, равным π/3{\displaystyle \pi /3}, является ротором равностороннего треугольника. Сверлом такой формы в принципе можно было бы сверлить треугольные отверстия без сглаженных углов.
• У фигур постоянной ширины существуют многомерные аналоги, смотри Тело постоянной ширины.

Что такое треугольник Рёло

По мнению историков, название это «непростой» простой фигуре дал немецкий механик Франц Рёло, живший с 1829 по 1905 годы. Многие историки сходятся в том, что именно он стал первооткрывателем свойств этой геометрической фигуры. Потому как он первый широко использовал свойства и возможности треугольника Рёло в своих механизмах.

Франц Рёло первым дал доскональные определения понятиям «кинетическая пара», «кинетическая цепь». Он впервые показал возможность связи между основами механики и конструирования. То есть связал теорию и практические проблемы конструирования. Что позволило создавать механизмы в совокупности их функциональных возможностей с внешней привлекательностью/эстетичностью. Отсюда Рёло стали считать поэтом механики. Что позволило последователям в корне пересмотреть имеющиеся в ней теории.

Иные исследователи первооткрывателем этой фигуры признают Леонарда Эйлер (18 век), который уже тогда продемонстрировал возможность его создания ее из трех окружностей.

А третьи «увидели» треугольник Рёло в рукописях гениального Леонардо Да Винчи. Манускрипты этого естествоиспытателя, с изображением этой «простой» фигуры, хранятся в Мадридском кодексе и в Институте Франции.

Но кто бы ни был первооткрывателем этот «не простой» треугольник получил широкое распространение в современном мире.

А именно:

• Сверло Уаттса. В 1914 году Гарри Джеймс Уаттс изобрел уникальный инструмент для высверливания квадратных отверстий. Это сверло, выполнено в форме Треугольника Рёло;

• Двигатель Ванкеля. С 1957 года треугольник Рёло немецкий изобретатель Ванкель Ф. создал уникальный механизм. Где внутри камеры, цилиндрической формы, по сложной траектории передвигается ротор-поршень. Созданный в форме треугольника Рёло. При его постоянном движении, каждая его грань, контактируя со стенками камеры, образует сразу три камеры, названные позже «камерами сгорания».

• Грейферный механизм кинопроекторов. Треугольник Рёло, вписанный в квадрат и двойной параллелограмм лежат в его основе. А нужен он для равномерного продергивания кинопленки во время киносеанса со скоростью в 18 кадров/с без отклонений и задержек;

• Основа кулачкового механизма для зигзагообразного шва в швейных машинках, а также в немецких часах таких известных марок как A. Lange & Söhne «Lange 31»;

• Плектр или медиатор, тоже не что иное, как треугольник Рёло. Они необходимы при игре на щипковых музыкальных инструментах.

• В архитектуре. Конструкция из двух дуг треугольника Рёло образует стрельчатую арку готического стиля. А окна в форме Рёло стоят в Брюгге в церкви Богоматери. Как орнамент он присутствует и на оконных решетках швейцарской коммуны Отрив и цистерцианского аббатства.

На самом деле Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась.

Леонардо да Винчи, манускрипт A, фрагмент листа 15v

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. Тем не менее, подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции[10], а также в Мадридском кодексе.

Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами(угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов.

Ещё раньше, в XIII веке, создатели церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон

Следовательно, изобретенный в прошлом веке треугольник Рёло широко используется сегодня. Однако его изучение не стоит на месте. Его свойства, как характеристики простой фигуры, находится в постоянном теоретическом и практическом изучении.

Именно треугольник Рело может помочь нам в сверлении квадратных отверстий. Достаточно двигать центр этого «треугольника» по некой траектории, и его вершины начертят почти квадрат, а границы полученной фигуры, за исключением небольших кусочков по углам, будут строго прямыми! Такими, что, если продолжить отрезки, тем самым добавив уголочки, то получится в точности квадрат.Площадь незаметенных уголочков составляет всего около 2 процентов от площади всего квадрата!

ПОДПИСЫВАЙТЕСЬ на НАШ youtube канал Эконет.ру, что позволяет смотреть онлайн, скачать с ютуб бесплатно видео об оздоровлении, омоложении человека. Любовь к окружающим и к себе, как чувство высоких вибраций — важный фактор оздоровления — econet.ru

А вот еще применение :

Китайский офицер Гуан Байхуа из Циндао заново изобрел колесо. Он создал необычный велосипед: вместо круглых колес у него треугольник сзади и пятиугольник спереди.

Сам изобретатель уверен, что новая модель будет пользоваться популярностью, поскольку, чтобы передвигаться на таком велосипеде, требуется больше усилий, а значит, это в какой-то степени может заменить спортивную нагрузку.

Добровольцы, опробовавшие новинку, были удивлены тем, насколько ровно передвигается велосипед с новыми колесами. Дело в том, что углы многоугольников сглажены. Это позволяет велосипеду не «прыгать» вверх-вниз, как можно было бы ожидать, поясняет со ссылкой на The Times InoPressa.ru.

Кроме того, колеса по форме являются кривыми постоянной длины, иначе называемыми «многоугольниками Рело» или «круглыми многоугольниками». Контур таких фигур представляет собой плоскую выпуклую кривую, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно «ширине» кривой.

Несмотря на то, что новый велосипед не пользуется коммерческим успехом, Байхуа не унывает. Теперь он занят созданием новой социальной сети в интернете.опубликовано econet.ru  

 

P.S. И помните, всего лишь изменяя свое потребление — мы вместе изменяем мир! © econet