Что будет, если переменную разделить и сразу умножить на одно и то же число
В одном из ИТ-пабликов мы увидели такой код на JavaScript:
> 7110 / 100 * 100 === 7110
< false
> 7120 / 100 * 100 === 7120
> true
Читается это так: сначала число 7110 делится на 100 и умножается на сто. Результат деления сравнивается с числом 7110, и JavaScript говорит, что результат не равен. Как будто если разделить на 100 и тут же умножить на 100, ты получишь не то же самое число, с которого начинал.
Во втором примере то же самое, но с числом 7120. Если его разделить на 100 и умножить на 100, получится ровно 7120. Получается, что одни и те же математические действия в двух случаях дали разные результаты. Как такое возможно?
Если разобрать этот код, мы увидим, что ошибки нет, — но нужно понимать, как работает JavaScript.
Деление и дробные числа
Когда мы делим одно число на другое и они не делятся нацело, то получаем дробное число — целую часть и то, что идёт после запятой.
Но компьютер не использует стандартное школьное деление в столбик — вместо этого он представляет число в виде последовательности нулей и единиц и использует побитовые операции для деления.
Это значит, что он не останавливается, например, после точного вычисления 7110 / 100 = 71,1, а работает со всеми битами сразу. После такого деления у компьютера получается последовательность, например 11101011011011101, где 11010 — это целая часть, а всё остальное — дробная. Если ему понадобится в целой части хранить число побольше, то он просто возьмёт дополнительное место за счёт дробной части.
Получается, что запятая в такой переменной как бы плавает в зависимости от знаков до запятой, отсюда и название — «число с плавающей запятой» (floating point по-английски). Но когда компьютер забирает разряды у дробной части, он иногда может этим внести небольшую погрешность, например потерять последнюю цифру в дробной части (например, одну миллиардную).
Как точность деления влияет на умножение
Когда мы после деления умножаем результат на 100, то с точки зрения компьютера это просто побитовый сдвиг точки вправо на несколько разрядов.
Если у нас всё было посчитано точно, то результат будет таким же, что и до деления.
Но всё дело в том, что иногда компьютер не может что-то поделить, хотя с точки зрения математики там всё просто. В этом случае он заполняет результатами вычисления все доступные нули и единицы в переменной, а остальное отбрасывает. Это значит, что результат уже получился неточный, а приблизительный, и дальше ошибка будет только расти.
Давайте посмотрим, что получается в каждом случае после деления:
В первом случае компьютер не смог поделить 7110 на 100 без остатка, поэтому при умножении он потащил за собой девятки после запятой. Отсюда и неточность при сравнении.
Как исправить
В JavaScript есть объект Math, который занимается всякой полезной математикой. И у этого объекта есть метод .round(), который может корректно округлить число до ближайшего целого. Зная о возможной ошибке в коде, нам стоит использовать это округление:
>Math.round(7110/100*100)===7110
<true
>Math.
round(7120/100*100)===7120
<true
Где это может пригодиться
Обратите внимание на этот эффект, если пишете программу, в которой используется деление непредсказуемых чисел — например, если пользователь вводит что-то с клавиатуры, а вы потом совершаете с этими числами свои операции. Например, вы получили рост человека, поделили его на какой-то внутренний коэффициент и сравниваете со своими референсными значениями. Сделайте поправку на то, что при делении могла сломаться точность, и либо округляйте число, либо предусматривайте запасы при сравнении.
Кстати, ровно для этого и существуют тестировщики. Их задача, в частности, в том, чтобы прогнать сквозь программу все возможные варианты значений, которые может ввести пользователь, и отловить вот такие ошибки вычислений. Чаще всего для такого используют автоматические тесты — но чтобы понимать, что тестировать, нужно знать, где может быть ошибка. Теперь вы знаете.
Бонус: строгое сравнение ===
В нашем коде используется строгое сравнение, которое в JavaScript обозначается тремя знаками равенства.
Строгое сравнение означает, что сравниваются не только значения, но и типы сравниваемых данных. Грубо говоря, число 1 и строка с символом ‘1’ с точки зрения строгого сравнения — разные вещи, хотя для людей внешне это одно и то же.
Есть ещё нестрогий оператор ==. Вот как он работает:
- Берёт оба аргумента сравнения.
- Смотрит, к какому единому общем типу данных их можно привести. Например, сделать оба аргумента строками, числами или превратить их в логические элементы.
- Сравнивает данные одного типа и понимает, равны они или нет.
В обычных ситуациях сравнение работает хорошо и мы даже не задумываемся о том, как оно устроено внутри. Но иногда нужно точно выяснить, одинаковые ли у нас аргументы по всем параметрам или нет — вот для этого и используется оператор строгого сравнения ===. Он работает так:
- Берёт первый аргумент и выясняет его тип — целое число, дробное, логический тип и так далее.
- Делает то же самое со вторым аргументом.
- Сравнивает их типы между собой. Если они равны — переходит к дальнейшему сравнению. Если не равны — возвращает false.
- Если типы равны, то сравнивает значения — и тоже возвращает false, если значения не совпадают между собой.
Текст:
Михаил Полянин
Редактор:
Максим Ильяхов
Художник:
Даня Берковский
Корректор:
Ирина Михеева
Вёрстка:
Кирилл Климентьев
Соцсети:
Алина Грызлова
Обыкновенные дроби — Определение, Примеры, Действия, Доли, Числитель и Знаменатель
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
291.7K
С 5 класса редкий урок математики проходит без дробей. Тема непростая и объемная, поэтому лучше начать разбираться сейчас, чтобы дальше было проще решать задачки. В этой статье расскажем про обыкновенные дроби.
Доля целого
Доля это каждая из равных частей, на которые поделено целое.
Для примера возьмем два мандарина. Когда мы их почистим, то получим в каждом мандарине разное количество долек или долей. В одном может быть 6, а в другом — целых 9. Размеры долей у каждого мандарина тоже разные.
У каждой доли есть свое название: оно зависит от количества долей в конкретном предмете. Если в мандарите шесть долей — каждая из них будет определяться, как одна шестая от целого.
- Половина — одна вторая доля предмета или 1/2.
- Треть — одна третья доля предмета или 1/3.
- Четверть — одна четвертая доля предмета или 1/4.
Понятие доли можно применить не только к предметам, но и величинам. Так, например, картина занимает четверть стены — при этом ее ширина треть метра.
Реши домашку по математике на 5.
Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.
Как устроена обыкновенная дробь
Обыкновенная дробь — это запись вида m/n, где m и n любые натуральные числа.
Такие дроби записываются с помощью двух натуральных чисел и горизонтальной черты, которая называется чертой дроби. Иногда ставится не горизонтальная черта, а косая.
Числитель обыкновенной дроби m/n — это натуральное число m, которое стоит над чертой. Числитель это делимое — то, что мы делим.
Знаменатель обыкновенной дроби m/n — натуральное число n, которое стоит под чертой. Знаменатель это делитель — то, на сколько делим.
Черта между числителем и знаменателем — символ деления.
Равные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых справедливо равенство: a * d = b * c. Пример равных дробей: 1/2 и 2/4, так как 1 * 4 = 2 * 2.Неравные обыкновенные дроби — обыкновенные дроби a/b и c/d, для которых равенство: a * d = b * c не является верным.
Как устроена десятичная дробь
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
- 0,3
- 4,23
- 9,939
Конечная десятичная дробь
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Свойства дробей
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится дробь, равная данной.
Формула выглядит так:
где a, b, k — натуральные числа.
Основные свойства
|
Обыкновенная и десятичная дробь — давние друзья. Вот, как они связаны:
- Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть равна нулю.
- Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в обыкновенном виде, если в знаменателе обыкновенной дроби числа 10, 100, 1000 и т. д.
- Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби, если в знаменателе обыкновенной дроби числа 10, 100, 1000 и т. д. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.
д. То есть 1 цифра — делитель 10, 4 цифры — делитель 10000.У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайтесь! |
Действия с дробями
С дробями можно выполнять те же действия, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. А еще дроби можно сокращать и сравнивать между собой. Давайте попробуем.
Сравнение дробей
Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Сравним 1/5 и 4/5. Как рассуждаем:
- В обеих дробях знаменатель равен 5.
- В первой дроби числитель равен 1, во второй дроби равен 4.
1 < 4
- Поэтому первая дробь 1/5 меньше второй 4/5.
Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.
Сравним 1/2 и 1/8. Как рассуждаем:
Представим, что у нас есть торт. Так как знаменатель первой дроби равен 2, то делим торт на две части и забираем себе одну, то есть половину торта.
Знаменатель второй дроби равен 8, делим торт на восемь частей и забираем крохотный кусочек. Половина торта больше больше маленького кусочка.
Таким образом 1/2 > 1/8.
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю. А после приведения дробей к общему знаменателю, можно применить правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.
Как рассуждаем:
- Приведем дроби к общему знаменателю:
- Сравним дроби с одинаковыми знаменателями:
Ответ: 2/7 > 1/14.
Важно запомнить: любая неправильная дробь больше любой правильной. Потому что неправильная дробь всегда больше или равна 1, а правильная дробь всегда меньше 1.
Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно:
- привести дроби к общему знаменателю;
- сравнить полученные дроби.
Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно:
- Найти общее кратное знаменателей дробей, которое станет их общим знаменателем.
- Разделить общий знаменатель на знаменатель данных дробей, то есть найти для каждой дроби дополнительный множитель.
- Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
Сокращение дробей
Сокращение дроби — это деление числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное число.
Сократить дробь значит сделать ее короче и проще для восприятия. Например, дробь 1/3 выглядит намного проще и красивее, чем 27/81.
Сокращение дроби выглядит так: зачеркивают числитель и знаменатель, а рядом записывают результаты деления числителя и знаменателя на одно и то же число.
В этом примере делим обе части дроби на двойку.
Можно никуда не спешить и сокращать дроби последовательно, в несколько действий.
Сложение и вычитание дробей
При сложении и вычитании дробей с одинаковыми знаменателями к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби (из числителя первой вычитают числитель второй) и оставляют тот же знаменатель.
Не забудьте проверить, можно ли сократить дробь и выделить целую часть.
При сложении и вычитании дробей с разными знаменателями нужно найти наименьший общий знаменатель, сложить или вычесть полученные дроби (используем предыдущее правило).
Вот, что делать:
- Найдем наименьшее общее кратное для определения единого делителя.
Для этого запишем в столбик числа, которые в сумме дают значения делителей. Далее перемножаем полученное и получаем НОК.
НОК (15, 18) = 3 * 2 * 3 * 5 = 90
- Найдем дополнительные множители для каждой дроби. Для этого НОК делим на каждый знаменатель:
90 : 15 = 6,
90 : 18 = 5.
Полученные числа запишем справа сверху над числителем.
- Воспользуемся одним из основных свойств дробей: перемножим числитель и знаменатель на дополнительный множитель. После умножения знаменатель должен быть равен наименьшему общему кратному, которое мы ранее высчитывали. Затем можно перейти к сложению.
- Проверим полученный результат:
- если числитель больше знаменателя, нужно преобразовать дробь в смешанное число;
- если есть что сократить, нужно выполнить сокращение.
Ход решения одной строкой:
Сложение или вычитание смешанных чисел можно привести к отдельному сложению их целых частей и дробных частей. Для этого нужно действовать поэтапно:
- Сложить целые части.
- Сложить дробные части.
Необходимо приводить к общему, если знаменатели разные. Для этого воспользуемся знаниями из предыдущего примера.
- Суммировать полученные результаты.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, нужно выделить ее целую часть и прибавить к полученной ранее целой части.
Умножение и деление дробей
Произведение двух дробей равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей:
Не забываем про сокращение.
Это может облегчить вычисления.
Чтобы умножить два смешанных числа, надо:
- преобразовать смешанные дроби в неправильные;
- перемножить числители и знаменатели дробей;
- сократить полученную дробь;
- если получилась неправильная дробь, преобразовать в смешанную.
Чтобы разделить дробь на дробь нужно выполнить следующую последовательность действий:
- числитель первой умножить на знаменатель второй, результат произведения записать в числитель новой дроби;
- знаменатель первой умножить на числитель второй, результат произведения записать в знаменатель новой дроби.
Другими словами это правило звучит так: чтобы разделить одну дробь на другую, надо первую умножить на обратную от второй.
Числа, произведение которых равно 1, называют взаимно обратными.
Как делить дроби с разными знаменателями? На самом деле одинаковые или разные знаменатели у дробей — неважно, потому что все дроби делятся по правилу, описанному выше.
Для деления смешанных чисел необходимо:
- представить числа в виде неправильных дробей;
- разделить то, что получилось друг на друга.
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Лидия Казанцева
Автор Skysmart
К предыдущей статье
401.
9K
Параллелограмм: свойства и признаки
К следующей статье
364.7K
Арифметическая прогрессия: свойства и формулы
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
javascript — Как убедиться, что целочисленное деление дает правильные результаты?
Задавать вопрос
спросил
Изменено 3 года, 2 месяца назад
Просмотрено 1к раз
Я знаю, что вычисления с плавающей запятой могут быть неточными.
Например:
вар х = 100*0,333;
Здесь x устанавливается равным 33.300000000000004 , а не 33 . Это может показаться незначительной проблемой, но становится серьезной, если используется округление. Например, Math.ceil(x) будет неправильным — вместо 33 будет получено 34 .
Проблема в том, что мне сказали, что JS не делает большой разницы между целыми числами и числами с плавающей запятой. Поэтому я начинаю беспокоиться, есть ли способ убедиться в правильности интегрального деления.
Обычная формула целочисленного деления в JS выглядит так: Math.floor(n/m) , где n , m — целые числа. Теперь допустим, что м делит на поровну. Поскольку JS обрабатывает каждое число как число с плавающей запятой, n/m вернет число с плавающей запятой. Если это число с плавающей запятой не является точным, но даже немного меньше фактического результата вычисления, то Math. будет округлено до одного целого числа меньше, чем должно.
floor(n/m)
Для иллюстрации: если, например, 9/3 дает 2.999999999999999 , а не 3 , то Math.floor(9/3) неправильно даст 1.3 3 90190 2 89018 Ну, на самом деле, Math.floor(9/3) действительно выдает правильные результаты, но это, конечно, только пример; замените 9 и 3 любым неудачным выбором целых чисел.
Может ли случиться такой сценарий? Если да, то есть ли способ обеспечить правильные результаты?
- javascript
- точность с плавающей запятой
- целочисленное деление
7
Может ли случиться такой сценарий?
Нет. Если это целые числа (т.е. числа с плавающей запятой без дробной части) и делятся нацело, то результат будет точным и снова целым числом.
Если делить не нацело, результат всегда будет больше, чем точный результат целочисленного деления.
Вы никогда не получите 2.9999999… номер, который должен был быть 3 . Результаты с плавающей запятой настолько точны, насколько это возможно, округление не разрушает общий предварительный порядок.
1
, если вы хотите получить точный результат целочисленного деления. Затем сделайте это
Math.round((m - m%n)/n)
Если значение деления двух чисел должно быть 3, то так и будет. Если значение должно быть 2,999999999999, оно будет таким. Java не делает какого-то странного скрытого округления вверх или вниз. Если вам ВСЕГДА нужно округлить значение в меньшую сторону, используйте Floor (x/y), даже если значение равно 2,9.99999999999999999999999999999999999 он все равно вернется как 2. Вот что делает Флор. То же самое и с потолком. если значение равно 3.0000000000000000000001, то оно будет установлено на 4. Я учу этому в колледже, так оно и должно работать, и оно работает.
2
Зарегистрируйтесь или войдите
Зарегистрироваться с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Числа VBA — Деление
VBA > Числа
VBA необычен тем, что предоставляет два оператора деления, один для десятичного деления и один для целочисленного деления.
Каждый раз, когда вы используете оператор деления с плавающей запятой (/), вы выполняете деление с плавающей запятой, и возвращаемое значение будет иметь тип Double.
Это верно независимо от того, являются ли ваши делимое и делитель целыми числами, значениями с плавающей или фиксированной точкой. Это верно независимо от того, имеет ли ваш результат десятичную часть.
Например, запуск следующего кода из окна Immediate напечатает «Double»:
? TypeName(2.34/5.9)
То же самое и с этим кодом, даже если результатом является целое число:
? TypeName(9/3)
Поскольку все деления с плавающей запятой возвращают значение с плавающей запятой, вы никогда не можете быть уверены, что ваш результат точен до каждого десятичного знака, даже если вы выполняете деление десятичных или денежных значений . Всегда будет неотъемлемая возможность ошибок округления, хотя они, вероятно, будут небольшими.
Если вы делите целые числа или вам не нужна десятичная часть результата, вы можете использовать оператор целочисленного деления (\).
Целочисленное деление выполняется быстрее, чем деление с плавающей запятой, и результатом всегда является целочисленное или длинное значение, для каждого из которых требуется меньше памяти, чем для двойного значения.
Например, запуск этого кода из окна Immediate напечатает «Integer»:
? TypeName(9\3)
Подробнее
Здесь оператор деления принимает целое значение и делит его на десятичную дробь.
Dim n как double
n = 19,333333
MsgBox CInt( n * 4 ) / 4
Косая черта (/) возвращает ответ с плавающей запятой
12 / 5 = 2,4
Ответ возвращается как Double.
Если вы присваиваете результат целому числу, десятичная часть будет потеряна.
Это должно быть явно приведено, если Option Strict включен, так как это сужающее приведение.
Этот оператор делит одно число на другое, и возвращаемый тип данных зависит от типов значений.
Это явное расширяющее преобразование.
10 / 3 будет одним
Дробные части
При преобразовании нецелочисленного значения в целочисленный тип функции преобразования целых чисел (CByte, CInt, CLng, CSByte, CShort, CUInt, CULng и CUShort) удалить дробную часть и округлить значение до ближайшего целого числа.