Сложение чисел js: Сложение (+) — JavaScript | MDN

Обычные числа в JavaScript хранятся в 64-битном формате IEEE-754, который также называют «числа с плавающей точкой двойной точности» (double precision floating point numbers). Это числа, которые мы будем использовать чаще всего. Целые числа не рассматриваются как отдельный тип чисел. В дополнение к числам с плавающей запятой, к числовому типу данных относятся также три символьные величины: Infinity, -Infinity, и NaN (не-число).

Видео​

Числа дают возможность работать с целыми числами произвольной длины. Они нужны достаточно редко и используются в случаях, когда необходимо работать со значениями за пределами максимального безопасного целочисленного значения Number.

Любое число, пусть даже десятичная дробь с уймой знаков после запятой, никогда не берётся в кавычки.

Вы можете использовать четыре типа числовых литералов: десятичный, двоичный, восьмеричный и шестнадцатеричный. Так как три последних используются довольно редко, то мы опустим их детальное описание 🖊️ , ну а любопытные могут познакомиться с ними здесь.

caution

Будьте внимательны при использование нулей в начале чисел! Значит не надо ставить ноль перед десятичным числом.

1234567890
42
0888 // 888 обрабатывается как десятичное
0777 // обрабатывается как восьмеричное в нестрогой форме (511 в десятичной)

Арифметические действия​

По двум или нескольким целым числам можно составить новое целое число. Способов составлять новое целое число очень много. Способ составлять новое число по двум или нескольким числам называется арифметическим действием. Вообще арифметических действий много, но основных только четыре: сложение, вычитание, умножение и деление. Они названы основными, ибо все остальные действия приводятся к ним.

Знак плюс + используется для выражения сложения: 4 + 4 Ответ: 8

Минус – для вычитания: 7 - 6 Ответ: 1

Звёздочкой * изображается умножение: 3 * 4 Ответ: 12

Прямым слэшем / деление: 15 / 5 Ответ: 3

Если в строке совершается более одного действия, то, чтобы отделить их друг от друга, а также сделать код📟 более читабельным, мы пользуемся — (скобками). Давайте наберём следующие предложения в консоли. Ответ по каждому из них должен состоять только из одной цифры9️⃣:

 3 * (2 + 1)
(3 + 24) / (10 - 7)
(2 + 5 * 5) / (6 -  3)
3 * (5 - 8 / 2) * (2 + 1)

Введите в LIVE EDITOR перечисленые значения 👇 :

function learnJavaScript() { let result = 2 + 3 // здесь return result }

function learnJavaScript() {
let result = 2 + 3 // здесь
return result
}

Loading. ..

Комбинированное присваивание​

Оператор представляет собой символическое обозначение некоторого действия, выполняемого с операндами в выражении(Например: +, -, *, /).

Операнд представляет собой некоторую величину, обрабатываемую в программе. Операнды могут относиться к любому типу данных. Операнд слева от оператора — левый операнд, операнд справа от оператора — правый операнд.

Основной оператор комбинированного присваивания — это знак равно =, он и присваивает значение правого операнда, левому. То есть — x = y присваивает значение переменной 🔔 y, переменной 🔔 x.

Вы уже не раз видели, как при помощи математических операторов происходит присваивание значений переменным 🔔 . Например, так:

let sum = 2 + 3 // значение суммы 7

А ещё вы, наверное, не успели позабыть, что в любой момент можно изменить значение уже известной переменной 🔔 :

function learnJavaScript() { let sum = 2 + 3 sum = sum + 3 // теперь значение суммы стало 8 return sum }

function learnJavaScript() {
let sum = 2 + 3
sum = sum + 3 // теперь значение суммы стало 8
return sum
}

Loading. ..

Присваивание со сложением += для того, чтобы быстро увеличить значение переменной! Вот вам несколько примеров:

let значение = 5
значение += 2 // значение теперь 7 (то же самое, что значение = // значение + 2)
значение += 3 // значение теперь 10 (то же самое, что значение = // значение + 3)
значение = значение + значение // 20 (а можно просто значение += // значение)
значение += значение // 40 (то же самое, что значение = значение + // значение)

Вы ведь уже догадались, что подобные штуки работают и с прочими математическими действиями, да?!

значение –= 25 // значение теперь 15 (то же, что и значение = значение − // 25)
значение -= 2 // значение теперь 30 (то же самое, что значение = // значение - 2)
значение /= 3 // значение теперь 10 (то же самое, что значение = // value / 3)
значение // Ответ: 10

Далее проверьте все перечисленые примеры в LIVE EDITOR:

function learnJavaScript() { let значение = 0 + 0 return значение }

function learnJavaScript() {
let значение = 0 + 0
 
return значение
}

Loading. ..

Подробней о комбинированном присваивании можно почитать здесь

Инкремент и декремент​

Оператор ++ (инкремент) увеличивает значение своего операнда на единицу. Если значение операнда не является числом, оператор автоматически преобразует его в число, увеличивает на единицу и возвращает результат, который присваивается обратно операнду:

function learnJavaScript() { let increment = 0 increment++ return increment }

function learnJavaScript() {
let increment = 0
increment++
return increment
}

Loading…

Оператор -- (декремент) работает аналогично оператору инкремент, но не увеличивает значение своего операнда, а наоборот, уменьшает его на единицу:

function learnJavaScript() {
let decrement = 6
decrement--
return decrement
}

Loading. ..

Оператор modulo​

Знаком % (процентов) мы обозначаем остаток от деления. Оператор возвращает🔄 целый остаток от деления левого операнда на правый. Возвращаемое🔄 значение всегда получает знак делимого, а не делителя. Он использует встроенную функцию⚙️ modulo, для получения результата, которая является целочисленным остатком деления let1 на let2.

12 % 5 результат 2

NaN % 2 результат NaN

1 % 2 результат 1

2 % 3 результат 2

4 % 2 результат 0

5.5 % 2 результат 1.5

Проверьте все перечисленые примеры в LIVE EDITOR и сразу все поймете:

function learnJavaScript() { let modulo = 12 % 5 return modulo }

function learnJavaScript() {
let modulo = 12 % 5
return modulo
}

Loading. ..

Округление​

Метод Math.round() возвращает🔄 число, округлённое к ближайшему целому. Если дробная часть числа больше, либо равна 0,5, аргумент будет округлён до ближайшего большего целого. Если дробная часть числа меньше 0,5, аргумент будет округлён до ближайшего меньшего целого.

result = Math.round(20.49) Вернёт значение 20

result = Math.round(20.5) Вернёт значение 21

проверьте сами:

function learnJavaScript() {
let result = Math.round(20.49)
return result
}

Loading…

React Native​

Числа вставляются в React Native приложения также просто как и строки.

Проблемы?​

Пишите в Discord или телеграмм чат, а также подписывайтесь на наши новости

Вопросы:​

Какие арифметические действия названы основными?

1. Сложение, вычитание
2. Умножение, деление
3. Сложение, вычитание, умножение, деление

Как правильно читается +=?

1. Инкремент
2. Присваивание со сложением
3. Плюс и равно

Как инкремент записывается знаком(знаками)?

1. ++
2. --
3. +

Каким знаком обозначается остаток от деления?

1. %
2. /
3. \

Какое значение Math. round вернёт при действии Math.round (20.62)?

1. 22
2. 20
3. 21

Какой специальный символ вы могли бы использовать, чтобы упростить это задание? \n myVariable = myVariable * 2

1. =*
2. *=
3. *

Какой символ используется для обозначения модуля(остаток от деления) в JavaScript?

1. %
2. $
3. &

Каков самый простой (то есть самый короткий) способ записать это (используя специальный символ)? Как называется специальный символ?\n myVariable = myVariable + 1

1. myVariable++
2. myVariable+
3. myVariable+=

Каков самый простой (то есть самый короткий) способ записать это (используя специальный символ)? Как называется специальный символ? \n myVariable = myVariable - 1

1. myVariable--
2. myVariable-
3. myVariable-=

Если бы вы писали программу для определения четности или нечетности значения, какое число вы бы использовали после оператора по модулю?

1. 2
2. 4
3. 0

Какой специальный символ вы могли бы использовать, чтобы упростить это задание?\n myValue = myValue - 8

1. - (myValue - 8)
2. -= (myValue -= 8)
3. =- (myValue =- 8)

Каково собирательное имя символов, которые сначала выполняют операцию с переменной, а затем присваивают новое значение той же переменной (например, +=, -=, *= и /=)?

1. Комбинированое присвоение
2. Математическое присвоение
3. Условное присвоение

Для того чтобы понять, на сколько вы усвоили этот урок, пройдите тест в мобильном приложении нашей школы по этой теме или в нашем телеграм боте.

Ссылки:​

1. MDN web docs
2. Код для подростков: прекрасное руководство по программированию для начинающих, том 1: Javascript — Jeremy Moritz
3. JavaScript.ru
4. Арифметические действия с целыми числами

Contributors ✨​

Thanks goes to these wonderful people (emoji key):

Dev #1 — функция добавления (JavaScript) | Майкл В. | Стартап

Давайте начнем создавать небольшие кусочки программного обеспечения.

В этом эпизоде ​​мы создадим функцию для сложения двух чисел. Для выполнения этой задачи мы должны принять во внимание несколько понятий:

• Что такое параметр? Это просто информация из внешнего мира, которую мы собираемся передать нашей функции.
• Что такое тип данных? Это как раз та информация, которую мы собираемся использовать. Просто подумайте немного об этом, мы собираемся добавить два числа, тогда тип информации, который нам нужен, будет просто числа .
• Что такое функция? Набор инструкций, предназначенных для выполнения конкретной задачи. В этом случае наша функция будет добавлять только два числа.
• Что такое движок JavaScript? Является ли программное обеспечение, подобное вашему браузеру (Firefox, Chrome) или любому другому инструменту, способным выполнять инструкции JavaScript.

Для начала хочу вам сказать, что в каждом движке JavaScript, который существует в мире, уже реализована функция сложения двух чисел. Единственное, что вам нужно сделать, это ввести следующий код в консоли, а затем нажать Enter.

[Число] + [Другое число]

Позвольте мне показать вам, как это выглядит в консоли:

Знак плюса, хотите верьте, хотите нет, это функция сама по себе, но она имеет особый синтаксис, она принимает два параметра: левое и правое число. Этот синтаксис довольно короткий по сравнению с синтаксисом, который JS использует для создания функций, давайте преобразуем эту функцию в язык JS.

Вкратце, следующие шаги необходимы для создания этой функции.

1. Объявить функцию.
2. Присвойте имя функции.
3. Объявим два параметра, которые нам нужны, поскольку нам нужны два числа, у нас будут num1 и num2 в качестве параметров.
4. Напишите набор инструкций для выполнения нашей желаемой задачи.

Еще раз.

• Объявите функцию и присвойте ей имя.

Вы заметили, что для объявления функции в JS нам нужно использовать ключевое слово функция и после нее пробел а потом имя функции?

Здесь имя функции доп.

• Теперь мы собираемся объявить нужные нам параметры. Кстати, мы должны установить эти параметры между скобками, и они должны быть разделены запятыми.

• На данный момент мы готовы реализовать логику функции. давайте объявим переменную с именем res , которая будет хранить значение результата добавления num1 с num2 .

Вы заметили, что для объявления переменной нам нужно использовать ключевое слово let , onespace, а затем имя переменной? Это очень похоже на то, как мы объявляли функции.

Набор инструкций, которые будет выполнять наша функция, должен находиться между фигурными скобками {…}. Это также известно как блок кода .

Возврат 9Ключевое слово 0009 — это способ, с помощью которого функции JS должны общаться с внешним миром. В этом случае каждый раз, когда мы выполняем нашу функцию add , она будет отправлять результат наружу. Другими словами, мы сможем увидеть внутренний результат, который был рассчитан внутри функции.

Если мы не используем ключевое слово return , программа выполнит код, который находится внутри нее, но мы не сможем увидеть результат.

Как вызвать функцию, которая уже существует в мире JS? Просто запомните его имя и введите его в консоли с нужными параметрами. В данном случае два числа.

Во-первых, давайте выполним функцию без возвращаемого значения

Обратите внимание, что мы получаем возвращаемое значение каждый раз, когда мы выполняем функцию, но если внутри функции у нас нет ключевого слова return , возвращаемое значение по умолчанию, который не определен, будет отправлен наружу. Ключевое слово return важно, когда мы хотим сохранить отчет или другую информацию, связанную с процессом или набором инструкций, которые были выполнены внутри функции.

А теперь давайте выполним ту же функцию с возвращаемым значением.

Что делать, если вы хотите добавить неограниченное количество номеров. Ну, вам просто нужно сказать это JS. Эй JS, я хочу поговорить с тобой! вместо того, чтобы принимать два параметра в функцию, я хочу, чтобы вы брали неограниченное количество чисел. Эти слова выглядят как … nums в мире JS. Кроме того, нам нужно сказать следующее: «Возьмите все эти числа и сложите их вместе», что выглядит так; nums.reduce((num1, num2) => (возврат num1 + num2))

Тогда наша функция будет:

Вы можете вызывать предыдущую функцию с любым количеством номеров. Есть ли у него ограничение на количество параметров?

Вы заметили, что функция также является переменной, которая может хранить специальный тип данных, который мы могли бы назвать блоком кода , , хотя это не его официальное название.

Синтаксис, который мы использовали для создания функции add , аналогичен другим языкам программирования, таким как C++. Взгляните на это:

Единственная разница здесь в том, что нам нужно явно указать движку C++, что тип параметров, который мы хотим использовать, является числовым, но C++ использует ключевое слово int , чтобы указать это, поэтому int означает целые числа . Кроме того, мы должны явно указать C++, что возвращаемое значение представляет собой число, помещающее ключевое слово int в начало функции вместо ключевого слова function , которое JS использует для объявления функции. Есть еще одно отличие, вы его заметили?

Как насчет PHP:

Здесь единственное отличие состоит в том, что параметры и переменные должны начинаться с символа $ , а каждое предложение внутри функции заканчивается точкой с запятой.

Давайте проверим на Python:

Попробуем понять разницу…

Итак, здесь мы получили def вместо function ключевое слово , и двоеточие заменяет фигурные скобки.

Возвращаемое значение функции может быть сохранено в другой переменной во внешнем мире, чтобы использоваться позже во время выполнения программы JS.

Еще одна важная вещь, которую следует учитывать, это тот факт, что JS очень гибок с типом параметров, которые мы используем для нашей функции, в любой момент мы сказали JS, что хотим работать только с типом данных число , поэтому, чтобы уменьшить количество ошибок, мы должны проверять информацию, которая будет передана в нашу функцию.

Есть несколько способов проверить тип переменной в JS. Я собираюсь показать вам один из них.

В этом примере я добавил одну новую строку кода, которая проверяет, что оба num1 и num2 — это числа, если это не так, функция завершит выполнение нашей функции из-за ключевого слова throw , которое используется в случае, если мы хотим остановить функцию, если выполняется условие.

Почти все в JS является объектом, почти каждый объект в JS имеет конструктор с именем, числа создаются с помощью функции конструктора с именем Number. Другими словами , каждый раз, когда мы набираем число в консоли, мы создаем объект, более того, этот объект может быть преобразован в примитивное значение в любое время и наоборот. Знаете ли вы, в чем разница между объектом и примитивным значением?

Спасибо за внимание! дайте мне знать, если вам нравится эта статья.

Сложение и вычитание в Javascript со строковым значением

Недавно я прошел этот вопрос JS с приведением типов:

Учитывая '11'+10 , ответ 1110 . Понятно, что это не 21 , потому что это строка, а JavaScript будет обрабатывать обе строки как строку и выполнять конкатенацию вместо математического сложения.

Почему '11'-10 равно 1 вместо чего-то другого?

3 7 лет, 9 месяцев назад

1) Решение

Поскольку оператор вычитания не является неоднозначным и определен только для чисел. Следовательно, оба операнда сначала преобразуются в числа.

См. спецификацию:

• Дополнение
• Вычитание

28 лет, 6 месяцев назад

2) Решение

Вот ответ на ваш вопрос:

Там написано

Если у вас есть знак плюс между числом и строкой, конкатенация имеет приоритет над сложением. Все другие числовые операторы, когда один операнд является строкой, а другой числом, будут пытаться преобразовать строку в число

. Проверьте раздел String Operators в ссылке.

28 лет, 6 месяцев назад

3) Решение

Я не эксперт по JavaScript, но ваш вопрос дает прекрасную возможность изучить и прочитать спецификацию ECMAScript. Это версия 5.1, поэтому она подойдет для этого вопроса. Раздел 11.6.2 посвящен оператору вычитания:

Производство AdditiveExpression : AdditiveExpression — MultiplicativeExpression оценивается следующим образом:

1. Пусть lref будет результатом вычисления AdditiveExpression.
2. Пусть lval будет GetValue(lref).
3. Пусть rref будет результатом вычисления MultiplicativeExpression.
4. Пусть rval будет GetValue(rref).
5. Пусть lnum будет ToNumber(lval).
6. Пусть rnum будет ToNumber(rval).
7. Вернуть результат применения операции вычитания к lnum и rnum.

Итак, для шага 1:

• Пусть lref будет результатом вычисления AdditiveExpression.

В вашем случае это оценка «11». У нас есть lref = ’11’.

• Пусть lval будет GetValue(lref).

Для каждой строки 1 GetValue (V), если Type(V) не является ссылкой, вернуть V. Поэтому мы возвращаем ’11’.

У нас есть lval = ’11’.

• Пусть rref будет результатом вычисления MultiplicativeExpression.

В вашем случае это 10. У нас rref = 10.

• Пусть rval будет GetValue(rref).

Опять же, применяя строку 1 GetValue (V), если Type(V) не является ссылкой, вернуть V. Следовательно, мы возвращаем 10.

У нас есть rval = 10.

• Пусть lnum будет ToNumber(lval).

lval = ’11’. Вызов ToNumber(’11’) будет соответствовать спецификации ToNumber для строк, случай 1. Сам числовой литерал окружают необязательные пробелы. Поскольку в вашем примере нет пробелов, результатом будет просто числовой литерал, равный 11.

Имеем lnum = 11.

• Пусть rnum будет ToNumber(rval).

rval = 10. Вызов ToNumber(10) будет соответствовать спецификации ToNumber для Number. В этом случае возвращается сам входной аргумент, и преобразование не происходит. Это означает, что мы возвращаем 10.

У нас есть rnum = 10.

• Вернуть результат применения операции вычитания к lnum и rnum.

Еще раз, согласно спецификации:

Оператор — выполняет вычитание при применении к двум операндам числового типа, производя разность своих операндов; левый операнд — это уменьшаемое, а правый операнд — это вычитаемое. При наличии числовых операндов a и b всегда получается, что a–b дает тот же результат, что и +(–b).

У нас есть rnum — lnum = 11 — 10 = 11 + (-10) = 1.

22 года, 3 месяца назад

4) Решение

Из-за того, что + является перегрузкой оператора для связи со строкой и 9Оператор 0189 — в основном не используется со строкой.

При использовании - строка будет преобразована в целое число, а в случае + строка будет объединена.

18 лет, 6 месяцев назад

5) Решение

В JS + также оператор конкатенации, поэтому, если первая переменная строка, то оператор конкатенации высокий приоритет

- обеспечивает только математический оператор вычитаешь результат.

18 лет, 6 месяцев назад

6) Решение

+ Знак используется для конкатенации чисел и строк. Таким образом, он считается конкатенацией двух строк, когда сначала находит строку. Вы можете использовать префикс + или Число для преобразования строки в число

Но знак - используется для вычитания, применимого только к числу. Таким образом, он автоматически преобразует строку в число.

Следование решит вашу проблему

 (+'11') + 10
(+'11') - 10
(или же)
 Число('11') + 10
 Число('11') - 10
 

18 лет, 6 месяцев назад

7) Решение

Оператор ‘+’ является единственным оператором airthmatic, который также используется в случае конкатенации строк. Поэтому, когда найдена строка и целое число, он действует как оператор конкатенации. Все другие операторы airthmatic, такие как -, *, /, предназначены только для расчета, поэтому они рассматривают все как число, например:

.

 '20' * 3= 60
'20'/ 2 = 10
'20'-5= 15
«20» + 3 = «203»
 

18 лет, 6 месяцев назад

8) Решение

Сложение + используется сначала для конкатенации строк (если хотя бы один операнд является строкой), а в других случаях как арифметическое сложение чисел. Вычитание всегда преобразует операнды в числа. Прочтите эту статью для получения более подробной информации об операторе сложения.

16 лет, 12 месяцев назад

Связанные темы javascript Комментарии8 лет, 6 месяцев назадпотому что с числами – нельзя выполнять никаких других операций, кроме вычитания, а каждый операнд в javascript сначала рассматривается как число, прежде чем делать что-либо еще 8 лет, 6 месяцев назад Вопрос не об этом. Упоминания Quentin arun Felix Kling dikesh Community dgp i'm PosSible Girish Fizer Khan Sudarshan Dmitri Pavlutin

AboutPrivacyTermsSocialize©2022 Bitcoden.com

Методы сложения чисел от 1 до 100 – BetterExplained

Существует популярная история о том, что у Гаусса, выдающегося математика, был ленивый учитель. Так называемый воспитатель хотел занять детей, чтобы он мог вздремнуть; он попросил класс сложить числа от 1 до 100.

Гаусс подошел со своим ответом: 5050. Так скоро? Учитель заподозрил обман, но нет. Ручное сложение было для лохов, и Гаусс нашел формулу, позволяющую обойти проблему:

Давайте поделимся несколькими объяснениями этого результата и действительно поймем его интуитивно. Для этих примеров мы добавим 1 к 10, а затем посмотрим, как это применимо к 1 к 100 (или 1 к любому числу).

Техника 1: Парные номера

Парные номера — распространенный подход к этой проблеме. Вместо того, чтобы записывать все числа в один столбец, давайте обернем числа так:

 1 2 3 4 5
10 9 8 7 6
 

Получается интересная закономерность: сумма каждого столбца равна 11 . По мере увеличения верхней строки нижняя строка уменьшается, поэтому сумма остается прежней.

Поскольку 1 находится в паре с 10 (наше n), мы можем сказать, что в каждом столбце есть (n+1). А сколько у нас пар? Итак, у нас есть 2 равных строки, у нас должно быть n/2 пар.

, что является формулой выше.

Подождите, а как насчет нечетного количества предметов?

Ах, я рад, что вы подняли эту тему. Что если мы складываем числа от 1 до 9? У нас нет четного количества предметов, которые можно соединить. Многие объяснения просто дадут объяснение выше и остановятся на этом. я не буду.

Сложим числа от 1 до 9, но вместо того, чтобы начинать с 1, будем считать с 0:

 0 1 2 3 4
9 8 7 6 5
 

Считая от 0, мы получаем «дополнительный элемент» (всего 10), поэтому у нас может быть четное количество строк. Однако наша формула будет выглядеть немного иначе.

Обратите внимание, что в каждом столбце есть сумма n (а не n+1, как раньше), поскольку 0 и 9сгруппированы. И вместо того, чтобы иметь ровно n элементов в 2 строках (всего n/2 пар), у нас есть n + 1 элемент в 2 строках (всего (n + 1)/2 пар). Если вы подставите эти числа, вы получите:

, что является той же формулой, что и раньше. Меня всегда раздражало, что одна и та же формула работает и для нечетных, и для четных чисел — дробь не получится? Да, вы получаете ту же формулу, но по другим причинам.

Способ 2. Использование двух рядов

Описанный выше метод работает, но вы по-разному обрабатываете нечетные и четные числа. Разве нет лучшего способа? Да.

Вместо того, чтобы зацикливать числа, давайте запишем их в два ряда:

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
 

Обратите внимание, что у нас есть 10 пар, и каждая пара в сумме дает 10+1.

Сумма всех приведенных выше чисел равна

Но нам нужна сумма только одной строки, а не обеих. Итак, мы делим приведенную выше формулу на 2 и получаем:

Вот это круто (настолько круто, насколько могут быть ряды чисел). Это работает для нечетного или четного количества предметов одинаково!

Техника 3: Создание прямоугольника

Недавно я наткнулся на другое объяснение, новый подход к старому объяснению спаривания. Разные объяснения работают лучше для разных людей, и мне это нравится больше.

Вместо того, чтобы писать числа, представьте, что у нас есть бобы. Мы хотим добавить 1 боб к 2 бобам, к 3 бобам… вплоть до 5 бобов.

 х
х х
х х х
х х х х
х х х х х
 

Конечно, мы могли бы использовать 10 или 100 бобов, но с 5 вы поняли идею. Как нам посчитать количество бобов в нашей пирамиде?

Ну, сумма явно 1 + 2 + 3 + 4 + 5. Но давайте посмотрим на это по-другому. Допустим, мы зеркально отразим нашу пирамиду (я буду использовать «o» для отраженных бобов), а затем опрокинем ее:

 x o x o o o o o o
х х о о х х о о о о
х х х о о о => х х х о о о
х х х х о о о о х х х х о о
х х х х х о о о о о х х х х х х о
 

Круто, да? Если вам интересно, действительно ли это совпадает, то это так. Взгляните на нижний ряд правильной пирамиды с 5′x (и 1°). В следующем ряду пирамиды на 1 x меньше (всего 4) и на 1 больше (всего 2), чтобы заполнить пробел. Так же, как и в паре, одна сторона увеличивается, а другая уменьшается.

Теперь пояснение: сколько у нас всего бобов? Ну, это просто площадь прямоугольника.

У нас есть n строк (количество строк в пирамиде мы не меняли), а ширина нашей коллекции (n + 1) единиц, так как 1 «о» стоит в паре со всеми «иксами».

Обратите внимание, что на этот раз нам все равно, будет ли n нечетным или четным — формула общей площади работает просто отлично. Если n нечетно, у нас будет четное количество элементов (n+1) в каждой строке.

Но, конечно, нам не нужна общая площадь (количество иксов и ноликов), нам нужно только количество иксов. Поскольку мы удвоили x, чтобы получить o, x сами по себе составляют лишь половину общей площади:

И мы вернулись к нашей первоначальной формуле. Опять же, количество x в пирамиде = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 или сумма от 1 до n.

Метод 4. Усреднение

Все мы знаем, что

среднее = сумма / количество элементов

, что мы можем переписать в виде

сумма = среднее * количество элементов

9000. сумма. Если у нас есть 100 чисел (1…100), то у нас явно есть 100 элементов. Это было просто.

Чтобы получить среднее значение, обратите внимание, что все числа распределены поровну. Для каждого большого числа на другом конце есть маленькое число. Давайте посмотрим на небольшой набор:

 1 2 3
 

Среднее значение равно 2. 2 уже находится в середине, а 1 и 3 «сокращаются», поэтому их среднее значение равно 2.

Для четного числа предметов

 1 2 3 4
 

среднее между 2 и 3 – это 2,5. Несмотря на то, что у нас есть дробное среднее, это нормально — поскольку у нас есть даже количество элементов, когда мы умножим среднее значение на количество, эта уродливая дробь исчезнет.

Обратите внимание, что в обоих случаях 1 находится по одну сторону от среднего, а N одинаково далеко по другую. Таким образом, мы можем сказать, что среднее значение всего набора на самом деле является средним значением 1 и n: (1 + n)/2.

Подставляем это в нашу формулу

И вуаля! У нас есть четвертый способ думать о нашей формуле.

Так почему же это полезно?

Три причины:

1) Быстрое сложение чисел может быть полезно для оценки. Обратите внимание, что формула расширяется до следующего вида:

Допустим, вы хотите сложить числа от 1 до 1000: предположим, вы получаете 1 дополнительного посетителя на свой сайт каждый день — сколько всего посетителей будет через 1000 дней? Так как тысяча в квадрате = 1 миллион, мы получаем миллионов / 2 + 1000/2 = 500 500 .

2) Эта концепция сложения чисел от 1 до N проявляется и в других местах, например, при вычислении вероятности парадокса дня рождения. Твердое понимание этой формулы поможет вашему пониманию во многих областях.

3) Самое главное, этот пример показывает, что есть много способов понять формулу. Может быть, вам нравится метод сопряжения, может быть, вы предпочитаете технику прямоугольника, или, может быть, есть другое объяснение, которое вам подходит. Не отказывайтесь от , если вы не понимаете — попробуйте найти другое объяснение, которое работает. Счастливая математика.

Кстати, есть более подробная информация об истории этой истории и возможной технике, которую использовал Гаусс.

Варианты

Вместо 1 к n, как насчет 5 к n?

Начните с обычной формулы (1 + 2 + 3 + … + n = n * (n + 1) / 2) и вычтите ненужную часть (1 + 2 + 3 + 4 = 4 * (4 + 1) / 2 = 10).

 Сумма для 5 + 6 + 7 + 8 + … n = [n * (n + 1) / 2] – 10
 

И для любого начального числа a:

 Сумма от a до n = [n * (n + 1) / 2] – [(a - 1) * a / 2]
 

Мы хотим избавиться от всех чисел от 1 до — 1.

Как насчет четных чисел, таких как 2 + 4 + 6 + 8 + … + n?

Просто удвойте обычную формулу. Чтобы сложить четные числа от 2 до 50, найдите 1 + 2 + 3 + 4 … + 25 и удвойте его:

 Сумма 2 + 4 + 6 + … + n = 2 * (1 + 2 + 3 + … + n/ 2) = 2 * п/2 * (п/2 + 1) / 2 = п/2 * (п/2 + 1)
 

Итак, чтобы получить четные числа от 2 до 50, нужно сделать 25 * (25 + 1) = 650

Как насчет нечетных чисел, например 1 + 3 + 5 + 7 + … + n?

Это то же самое, что и четная формула, за исключением того, что каждое число на 1 меньше, чем его аналог (у нас есть 1 вместо 2, 3 вместо 4 и так далее). Получаем следующее по величине четное число (n + 1) и убираем лишнее (n + 1)/2 «-1″ предметов:

 Сумма 1 + 3 + 5 + 7 + … + n = [(n + 1)/2 * ((n + 1)/2 + 1)] – [(n + 1) / 2]
 

Чтобы добавить 1 + 3 + 5 + … 13, возьмите следующее наибольшее четное (n + 1 = 14) и выполните

 [14/2 * (14/2 + 1)] – 7 = 7 * 8 – 7 = 56 – 7 = 49
 

Комбинации: четы и смещения

Допустим, вам нужны четы из 50 + 52 + 54 + 56 + … 100.