Градиент | это… Что такое Градиент?
Эта статья о математической характеристике; о способе заливки см.: Градиент (компьютерная графика).
Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и тем длиннее, чем круче наклон.
Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.
Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.
С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве.
Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным.
Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.
Стандартные обозначения:
или, с использованием оператора набла,
— вместо может быть любое скалярное поле, обозначенное любой буквой, например — обозначения градиента поля V.
Содержание
|
такжеОпределение
Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат , , называется векторная функция с компонентами
- , , .
Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :
Если — функция переменных , то её градиентом называется -мерный вектор
компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.
- Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.
- Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, или ) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».
Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения при смещении на .
Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:
Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:
или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,
(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.
Пример
Например, градиент функции будет представлять собой:
В физике
В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.
Например, напряженность электростатического поля есть минус градиент электрического потенциала, напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала. Сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии.
В естественных науках
Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далеких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).
Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т.
д.
Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.
Геометрический смысл
Рассмотрим семейство линий уровня функции :
Нетрудно показать, что градиент функции в точке перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.
Связь с производной по направлению
Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции по направлению равняется скалярному произведению градиента на единичный вектор :
Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.
Градиент в ортогональных криволинейных координатах
где — коэффициенты Ламе.
Полярные координаты (на плоскости)
Коэффициенты Ламе:
Отсюда:
Цилиндрические координаты
Коэффициенты Ламе:Отсюда:
Сферические координаты
Коэффициенты Ламе:
- .
Отсюда:
См. также
- Векторный анализ
- Теорема Остроградского — Гаусса
- Формулы векторного анализа
- Оператор набла
- Теория поля
- Градиент концентрации
- 4-градиент
- Оператор Canny
Литература
1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30
Градиент | это… Что такое Градиент?
Эта статья о математической характеристике; о способе заливки см.
: Градиент (компьютерная графика).
Операция градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и тем длиннее, чем круче наклон.
Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, своим направлением указывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля), а по величине (модулю) равный быстроте роста этой величины в этом направлении.
Например, если взять в качестве высоту поверхности Земли над уровнем моря, то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», и своей величиной характеризовать крутизну склона.
С математической точки зрения градиент — это производная скалярной функции, определенной на векторном пространстве.
Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности любой физической природы или чисто абстрактным.
Термин впервые появился в метеорологии, а в математику был введён Максвеллом в 1873 г. Обозначение grad тоже предложил Максвелл.
Стандартные обозначения:
или, с использованием оператора набла,
— вместо может быть любое скалярное поле, обозначенное любой буквой, например — обозначения градиента поля V.
Содержание
|
Определение
Для случая трёхмерного пространства градиентом скалярной функции координат , , называется векторная функция с компонентами
- , , .
Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат :
Если — функция переменных , то её градиентом называется -мерный вектор
компоненты которого равны частным производным по всем её аргументам.
- Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идет речь.
- Оператором градиента (обозначаемым обычно, как говорилось выше, или ) называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) дает ее градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».
Смысл градиента любой скалярной функции в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена , то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения при смещении на .
Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат , то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку — это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:
или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,
(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше). Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.
Пример
Например, градиент функции будет представлять собой:
В физике
В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.
Например, напряженность электростатического поля есть минус градиент электрического потенциала, напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения) в классической теории гравитации есть минус градиент гравитационного потенциала. Сила в классической механике есть минус градиент потенциальной энергии.
В естественных науках
Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далеких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).
Например, градиент концентрации — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, градиент температуры — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т.
д.
Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.
Геометрический смысл
Рассмотрим семейство линий уровня функции :
Нетрудно показать, что градиент функции в точке перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности , то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъема в данной точке.
Связь с производной по направлению
Используя правило дифференцирования сложной функции, нетрудно показать, что производная функции по направлению равняется скалярному произведению градиента на единичный вектор :
Таким образом, для вычисления производной по любому направлению достаточно знать градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.
Градиент в ортогональных криволинейных координатах
где — коэффициенты Ламе.
Полярные координаты (на плоскости)
Коэффициенты Ламе:
Отсюда:
Цилиндрические координаты
Коэффициенты Ламе:
Отсюда:
Сферические координаты
Коэффициенты Ламе:
- .
Отсюда:
См. также
- Векторный анализ
- Теорема Остроградского — Гаусса
- Формулы векторного анализа
- Оператор набла
- Теория поля
- Градиент концентрации
- 4-градиент
- Оператор Canny
Литература
1. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30
Понимание градиента – BetterExplained
Градиент – это причудливое слово для обозначения производной или скорости изменения функции.
Это вектор (направление движения), который
- указывает в направлении наибольшего увеличения функции (интуиция почему)
- равен нулю на локальном максимуме или локальном минимуме (поскольку нет единого направления увеличения)
Термин «градиент» обычно используется для функций с несколькими входами и одним выходом (скалярное поле). Да, вы можете сказать, что линия имеет градиент (ее наклон), но использование «градиента» для функций с одной переменной излишне сбивает с толку. Будь проще.
«Градиент» может относиться к постепенным изменениям цвета, но мы будем придерживаться математического определения, если оно вас устраивает. Вы увидите, что значения связаны.
Свойства градиента
Теперь, когда мы знаем, что градиент является производной функции с несколькими переменными, давайте выведем некоторые свойства.
Обычная старая производная дает нам скорость изменения одной переменной, обычно $x$. Например, $\frac{dF}{dx}$ говорит нам, насколько изменится функция $F$ при изменении $x$.
Но если функция принимает несколько переменных, таких как $x$ и $y$, у нее будет несколько производных: значение функции будет меняться, когда мы «качаем» $x$ ($\frac{dF}{dx}$ ) и когда мы покачиваем $y$ ($\frac{dF}{dy}$).
Мы можем представить эти множественные скорости изменения в виде вектора с одним компонентом для каждой производной. Таким образом, функция, которая принимает 3 переменные, будет иметь градиент с 3 компонентами:
- $F(x)$ имеет одну переменную и единственную производную: $\frac{dF}{dx}$
- $F(x,y,z)$ имеет три переменные и три производные: $\frac{dF}{dx}, \frac{dF}{dy}, \frac{dF}{dz}$
Градиент функции с несколькими переменными имеет компонент для каждого направления.
И точно так же, как обычная производная, градиент указывает в направлении наибольшего увеличения (и вот почему: мы меняем движение в каждом направлении достаточно, чтобы максимизировать выигрыш).
Однако теперь, когда у нас есть несколько направлений для рассмотрения ($x$, $y$ и $z$), направление наибольшего увеличения больше не просто «вперед» или «назад» вдоль оси $x$, как с функциями одной переменной.
Если у нас есть две переменные, то наш двухкомпонентный градиент может задавать любое направление на плоскости. Точно так же с 3 переменными градиент может указывать и направление в трехмерном пространстве, чтобы двигаться, чтобы увеличить нашу функцию.
Искривленный пример
Я большой поклонник примеров, помогающих закрепить объяснение. Предположим, у нас есть волшебная печь, на ней написаны координаты и есть специальный экран дисплея:
Мы можем ввести любые 3 координаты (например, «3,5,2»), и дисплей покажет нам градиент температуры в этой точке.
Микроволновая печь также оснащена удобными часами. К сожалению, у часов есть своя цена — температура внутри микроволновой печи сильно различается от места к месту. Но это того стоило: мы очень хотели эти часы.
Пока со мной? Мы вводим любую координату, и микроволновка выдает градиент в этом месте.
Будьте осторожны, не перепутайте координаты и градиент. Координаты — это текущее местоположение , измеренное по осям $x,y,z$.
Градиент — это направление движения от нашего текущего местоположения, например, движение вверх, вниз, влево или вправо.
Теперь предположим, что нам нужна психиатрическая помощь, и мы поместим Мальчика с тестом Pillsbury в духовку, потому что мы думаем, что он будет вкусным. Он сделан из теста для печенья, верно? Мы размещаем его в случайном месте внутри духовки, и наша цель — приготовить его как можно быстрее. Градиент может помочь!
Градиент в любом месте точек в направлении наибольшего увеличения функции. В данном случае наша функция измеряет температуру. Таким образом, градиент говорит нам, в каком направлении нужно двигать пончика, чтобы он оказался в месте с более высокой температурой, чтобы приготовить его еще быстрее. Помните, что градиент , а не дает нам координаты, куда идти; это дает нам направление , чтобы двигаться , чтобы увеличить нашу температуру.
Таким образом, мы начали бы со случайной точки, такой как (3,5,2), и проверили бы градиент.
В этом случае градиент равен (3,4,5). На самом деле мы бы не переместились на целых 3 единицы вправо, на 4 единицы назад и на 5 единиц вверх. Градиент — это просто направление, поэтому мы0003 следуйте по этой траектории чуть-чуть , а затем снова проверьте градиент.
Мы подходим к новой точке, довольно близкой к нашей исходной, которая имеет собственный градиент. Этот новый градиент является новым лучшим направлением для подражания. Мы будем продолжать повторять этот процесс: немного двигаться в направлении градиента, проверять градиент и немного двигаться в новом направлении градиента. Каждый раз, когда мы продвигались вперед и следовали градиенту, мы попадали во все более и более теплое место.
В конце концов, мы доберемся до самой горячей части духовки и останемся там, чтобы насладиться свежим печеньем.
Не ешь это печенье!
Но прежде чем вы съедите это печенье, давайте сделаем несколько замечаний по поводу градиента. Это веселее, правда?
Во-первых, когда мы достигаем самой горячей точки в духовке, какой там градиент?
Ноль.
Нада. пшик. Почему? Что ж, как только вы окажетесь в максимальном месте, нет направления наибольшего увеличения . Любое направление, которому вы следуете, приведет к понижению температуры. Это как быть на вершине горы: любое направление, в котором вы двигаетесь, ведет вниз. Нулевой градиент говорит вам оставаться на месте — вы находитесь на максимуме функции и не можете добиться большего.
Но что, если рядом два максимума, как две горы рядом друг с другом? Вы можете быть на вершине одной горы, но рядом с вами может быть вершина побольше. Чтобы добраться до самой высокой точки, нужно сначала спуститься вниз.
А, теперь мы отправляемся в не очень приятную изнанку градиента. Нахождение максимума в обычных функциях (с одной переменной) означает, что мы находим все места, где производная равна нулю: нет направления наибольшего возрастания. Если вы помните, обычная производная будет указывать на локальных минимума и максимума , и абсолютный максимум/минимум должны быть протестированы из этих возможных местоположений.
Тот же принцип применим к градиенту, обобщению производной. Вы должны найти несколько мест, где градиент равен нулю — вам нужно будет проверить эти точки, чтобы увидеть, какая из них является глобальным максимумом. Опять же, вершина каждого холма имеет нулевой уклон — вам нужно сравнить высоту на каждом, чтобы увидеть, какой из них выше. Теперь, когда мы это прояснили, наслаждайтесь своим печеньем.
Математика
Мы знаем определение градиента: производная для каждой переменной функции. Символ градиента обычно представляет собой перевернутую дельту и называется «дельта» (это имеет смысл — дельта указывает на изменение одной переменной, а градиент — это изменение для всех переменных). Возьмем нашу группу из 3 производных выше
Обратите внимание, что x-компонента градиента является частной производной по $x$ (аналогично для $y$ и $z$). Для функции с одной переменной вообще нет $y$-компоненты, поэтому градиент сводится к производной.
Также обратите внимание на то, что градиент является функцией: он принимает 3 координаты в качестве положения и возвращает 3 координаты в качестве направления.
Если мы хотим найти направление движения, чтобы увеличить нашу функцию быстрее всего, мы подставляем наши текущие координаты (например, 3,4,5) в градиент и получаем:
Итак, это новый вектор (1, 8, 75) будет направлением, в котором мы будем двигаться, чтобы увеличить значение нашей функции. В этом случае наша x-компонента не сильно увеличивает значение функции: частная производная всегда равна 1,9.0005
Очевидным применением градиента является нахождение максимума/минимума функций с несколькими переменными. Другое менее очевидное, но родственное приложение — поиск максимума функции с ограничениями: функции, значения x и y которой должны лежать в определенной области, т. е. найти максимум всех точек, лежащих вдоль окружности. Решение этой проблемы требует моего мальчика Лагранжа, но всему свое время, всему свое время: пока наслаждайтесь градиентом.
Ключевым моментом является понимание градиента как обобщения производной. Градиент указывает направление наибольшего увеличения; продолжайте следовать градиенту, и вы достигнете локального максимума.
Вопросы
Почему градиент перпендикулярен линиям с одинаковым потенциалом?
Линии равного потенциала («эквипотенциальные») — это точки с одинаковой энергией (или значением для $F(x,y,z)$). В простейшем случае круг представляет все элементы на одинаковом расстоянии от центра.
Градиент указывает направление наибольшего изменения. Если бы у него был какой-либо компонент вдоль линии эквипотенциала, то эта энергия была бы потрачена впустую (поскольку он приближается к точке с той же энергией). Когда градиент перпендикулярен эквипотенциальным точкам, он движется как можно дальше от них (в этой статье объясняется, почему градиент является направлением наибольшего увеличения — это направление, которое максимизирует различные компромиссы внутри круга).
Другие сообщения из этой серии
- Векторное исчисление: понимание скалярного произведения
- Векторное исчисление: понимание векторного произведения
- Векторное исчисление: понимание потока
- Векторное исчисление: понимание дивергенции
- Векторное исчисление: понимание циркуляции и завитка
- Векторное исчисление: понимание градиента
- Понимание пифагорейского расстояния и градиента
Градиент (наклон) прямой линии
Градиент (также называемый наклоном) линии показывает насколько она крутая.
Вычислить
Для расчета градиента:
Разделить изменение высоты на изменение горизонтального расстояния
| Градиент = Изменение по Y Изменение по X |
Поиграйте (перетащите точки):
геометрия/изображения/geom-line-equn.js?mode=slope
Примеры:
Градиент = 3 3 = 1 Итак, Градиент равен 1 |
Градиент = 4 2 = 2 | ||
Линия круче, поэтому градиент больше. | ||
Градиент = 3 5 = 0,6 | ||
| Линия менее крутая, поэтому Градиент меньше. | ||
Положительный или отрицательный?
Двигаясь слева направо, велосипедист должен P проехать по положительному склону P Наклон:
При измерении линии:
- Начиная слева и пересекая направо, положительно
(но пересекая налево отрицательно). - Up положительный , а вниз минус
Градиент = −4 2 = −2 |
Эта линия идет на вниз на по мере вашего движения, поэтому она имеет отрицательный градиент.
Прямо через
Градиент = 0 5 = 0 |
Линия, которая проходит прямо (по горизонтали), имеет нулевой градиент.
Прямо вверх и вниз
Градиент = 3 0 = не определено |
Последнее немного сложно… вы не можете делить на ноль,
, поэтому градиент линии «прямо вверх и вниз» (вертикально) «не определен».
Вставай и беги
Иногда изменение по горизонтали называют «бегом», а изменение по вертикали — «подъемом» или «падением»:
Это просто разные слова, расчеты не меняются.