Как по заданным функции, точке и вектору вычислить градиент в точке и производную функции в точке по направлению вектора
- Альфашкола
- Статьи
- Как по заданным функции, точке и вектору вычислить градиент в точке и производную функции в точке по направлению вектора
Даны функция
Вычислить:
б) производную функции z в точке А по направлению вектора а.
Решение
а) Находим частные производные функции z в общем виде:
Значения этих величин в точке А:
Градиент определяем по формуле:
б) Определяем модуль этого вектора:
Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора а:
Значение производной заданной функции по направлению вектора а определяем по формуле:
Окончательно получаем:
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа».
Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Наши преподаватели
Мария Сергеевна Чуракова
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Московский государственный областной университет
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Ольга Олеговна Деева
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Туркменский государственный университет им.
Махтумкули
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Анна Фёдоровна Ринкман
Репетитор по математике
Стаж (лет)
Образование:
Коми государственный педагогический институт
Проведенных занятий:
Форма обучения:
Дистанционно (Скайп)
Предметы
- Математика
- Физика
- Химия
- Русский язык
- Английский язык
- Обществознание
- История России
- Биология
- География
- Информатика
Специализации
- Подготовка к ЕГЭ по химии
- Подготовка к олимпиадам по физике
- Подготовка к ОГЭ по русскому языку
- Репетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
- Репетитор для подготовки к ЕГЭ по истории
- Репетитор по истории для подготовки к ОГЭ
- Репетитор для подготовки к ВПР по русскому языку
- ВПР по физике
- ВПР по обществознанию
- Подготовка к ЕГЭ по информатике
Похожие статьи
- Правила вычитания векторов
- Факультет Психологии МГУ: экзамены, ЕГЭ, проходной балл
- Как перевести граммы в тонны?
- Простейшие уравнения с модулем
- МФТИ (Системный Анализ и Управление): отзывы, проходной балл, вступительные испытания
- Задачи на оптимальный выбор
- 5 советов, как развить математические способности у ребенка
- Нескучный русский: интересные факты о родном языке
Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Градиент
Градиент
Производная
по направлению.
Пусть в некоторой области задана функция и точка . Проведем из точки вектор , направляющие косинусы которого . На векторе , на расстоянии от его начала рассмотрим точку , т.е. .
Будем предполагать, что функция
и ее частные производные первого порядка непрерывны в области .
Предел отношения
при называется производной от функции
в точке по
направлению вектора и обозначается ,
т.е.
.
Для нахождения производной от функции
в заданной точке по
направлению вектора
используют формулу: ,
где
– направляющие косинусы вектора ,
которые вычисляются по формулам:
.
Пусть в каждой точке некоторой
области
задана функция .
Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных
этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции и обозначается
или
(читается «набла у»): .
При этом говорят, что в области
определено векторное поле градиентов.
Для нахождения градиента функции
в заданной точке
используют формулу:
.
Свойства градиента
1. Производная в данной точке по направлению вектора имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно .
2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору , равна нулю.
Примеры решения задач
Пример 1. Найти производную от функции в точке по направлению вектора .
Решение.
Для решения задачи воспользуемся
формулой для нахождения производной от функции
в заданной точке
по направлению вектора :
,
где
– направляющие косинусы вектора ,
которые вычисляются по формулам:
.
По условию задачи вектор
имеет координаты .
Тогда его длина равна:
.
Следовательно, для направляющих косинусов вектора получим следующие значения:
.
Далее для решения задачи необходимо найти все частные производные первого порядка
от функции :
Вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке :
В заключении подставим полученные значения для направляющих косинусов вектора
и значения частных производных первого порядка от функции в
точке
в формулу для нахождения производной по направлению в заданной точке:
Ответ: производная от функции
в точке
по направлению вектора
равна .
Пример 2. Найти градиент функции в точке .
Решение.
Поскольку градиентом функции называется вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, то для решения задачи сначала найдем все частные производные первого порядка от заданной функции:
Далее вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке :
Подставим полученные значения в формулу градиента функции
в заданной точке :
.
Ответ: градиент функции
в точке
равен .
Пример 3. Найти производную функции в точке по направлению градиента функции в той же точке.
Решение.
Для нахождения производной
от функции
в заданной точке
по направлению вектора
используют формулу:
,
где
– направляющие косинусы вектора ,
которые вычисляются по формулам:
.
В данном случае вектор совпадает
с градиентом функции
в точке :
.
Следовательно, для решения задачи необходимо найти значения всех частных производных
первого порядка от функции
в точке ,
а также координаты и длину градиента функции
в той же точке.
Вычислим значения частных производных первого порядка от функции
в точке :
Для нахождения координат вектора ,
равного градиенту функции
в заданной точке ,
вычислим значения частных производных первого порядка от функции
в этой точке:
Длина вектора равна: .
Найдем направляющие косинусы вектор по формулам:
.
Подставим полученные значения в формулу для нахождения производной от функции
в заданной точке
по направлению вектора :
Ответ: производная функции
в точке по
направлению градиента функции
в той же точке равна 1.
Задания для самостоятельной работы
1. Найти производную функции
в точке
по направлению вектора .
Ответ: .
2. Найти производную функции
в точке
по направлению вектора .
Ответ: .
3. Найти производную функции
в точке
по направлению вектора .
Ответ: .
4. Найти градиент функции
в точке .
Ответ: .
5. Найти градиент функции
в точке .
Ответ: .
6. Найти градиент функции
в точке .
Ответ: .
Уравнение точки-наклона линии
Форма «точка-наклон» уравнения прямой:
у — у 1 = м(х — х 1 )
Уравнение полезно, когда мы знаем:
- одна точка на линии: (x 1 , y 1 )
- и уклон линии: м ,
и хотите найти другие точки на линии.
Поиграйте с ним (переместите точку, попробуйте разные наклоны):
Теперь давайте узнаем больше.
Что это означает?
(x 1 , y 1 ) — известная точка
м — откос линии
(x, y) — любая другая точка на прямой
.
Разбираемся в этом
Основан на уклоне:
Уклон м = изменение у изменение в х знак равно г − г 1 х — х 1
Начиная с уклона: переставляем так:
, чтобы получить это: |
Значит, это просто формула наклона по-другому!
Теперь давайте посмотрим, как его использовать.
Пример 1:
Наклон «M» = 3 1 = 3
Y — Y 1 = M (x — x 1 )
Мы знаем m, а также знаем, что (x 1 ) x 1 , y 1 ) = (3, 2), и поэтому мы имеем:
y − 2 = 3(x − 3)
Это отличный ответ, но мы можем его немного упростить.
:
у — 2 = 3х — 9
у = 3х — 9 + 2
у = 3х — 7
Пример 2:
м = −3 1 = −3
y − y 1 = m(x − x 1 )
Мы можем выбрать любую точку для (x 1 , y 1 ), поэтому давайте выберем (0,0), и мы :
y — 0 = -3(x — 0)
Что можно упростить до:
y = -3x
Пример 3: Вертикальная линия
Каково уравнение вертикальной линии?
Наклон не определен!
Фактически, это частный случай , и мы используем другое уравнение, например: х = 1,5
А как насчет y = mx + b ?
Возможно, вы уже знакомы с формой y=mx+b (называемой формой уравнения прямой с наклоном).
Это то же уравнение, только в другой форме!
Значение «b» (называемое точкой пересечения с осью y) находится там, где линия пересекает ось y.
Итак, точка (x 1 , y 1 ) на самом деле (0, b)
и уравнение становится:
Начните с y − y 1 = m(x − x 1 )
(x 1 , y 1 ) равно (0, b): y − b = m(x − 0)
То есть: y − b = mx
Положите b с другой стороны: y = mx + b
519, 521, 522, 1160, 1161, 1162, 2074, 2075, 9027, 9028, 9029
Point Slope Form Calculator
Создано Юлией Жулавиньской
Отзыв Стивена Вудинга
Последнее обновление: 11 ноября 2022 г.
Содержание:- Что такое уклон?
- Что такое форма точка-наклон?
- Как найти уравнение прямой с наклоном и координатами точки?
Калькулятор формы точки-наклона покажет вам, как найти уравнение линии из точки на этой линии и наклона линии . Вскоре вы узнаете, что такое уравнение формы «точка-наклон», и узнаете, чем оно отличается от уравнения формы «наклон-пересечение».
Мы также придумали два упражнения, и мы объясним, как их решать, в последнем абзаце.
Что такое уклон?
Начнем с основ. Что такое наклон? Наклон, также известный как градиент, является маркером крутизны линии. Если он положительный, это означает, что линия поднимается. Если он отрицательный — линия уменьшается. Если он равен нулю, линия горизонтальна.
Вы можете найти уклон между двумя точками, оценив подъем над пробегом — разницу в высоте на расстоянии между двумя точками.
Итак, формула уклона:
m = изменение y / изменение x = (y - y₁) / (x - x₁)
Уравнение формы точка-наклон представляет собой преобразованное уравнение наклона.
Чтобы найти градиент нелинейных функций, вы можете использовать калькулятор средней скорости изменения.
🙋 Для получения дополнительной информации перейдите на калькулятор уклона.
Что такое форма точка-наклон?
Существует несколько способов составить уравнение прямой линии.
Точечно-наклонная форма — это форма линейного уравнения, где есть три характеристических числа — две координаты точки на прямой и наклон прямой. Уравнение формы наклона точки:
y−y1=m⋅(x−x1)\small y — y_1 = m \cdot (x — x_1)y−y1=m⋅(x−x1)
, где:
- x1,x2\small x_1, x_2x1,x2 — координаты точки, а
- м\мал. мм — уклон.
Вы видите сходство с формулой наклона? Возможно, вы не знаете, что это не единственный способ составить линейное уравнение. Более популярной является форма пересечения уклона:
y=m⋅x+b\small y = m \cdot x + b y=m⋅x+b
, где:
- м\small мм — уклон; и
- b\small bb — точка пересечения оси Y.
Правда в том, что это не что иное, как более точная форма точка-наклон. Прямая пересекает ось Y в точке (0, b). Если вы выберете эту точку — (0, b), как точку, которую вы хотите использовать в форме уравнения точка-наклон, вы получите:
y−b=m⋅(x−0)\small y — b = m \cdot (x — 0)y−b=m⋅(x−0), что совпадает с y=m⋅x+ b\small y = m \cdot x + by=m⋅x+b.
На двух приведенных ниже графиках вы можете увидеть одну и ту же функцию, только описанную двумя разными формами линейного уравнения:
калькулятор y-перехвата.
Как найти уравнение прямой с наклоном и координатами точки?
Давайте рассмотрим два упражнения, чтобы лучше понять тему.
Наклон линии равен 2. Она проходит через точку A(2, -3). Каково общее уравнение прямой?
- Определите координаты точки:
- х 1 = 2 ,
- г 1 = -3 .
- Определите уклон:
- м = 2
- Введите значения в формулу формы наклона точки:
- y−y1=m(x−x1)\small y — y_1 = m (x — x_1)y−y1=m(x−x1)
- у-(-3)=2(х-2)\маленький у — (-3) = 2(х — 2)у-(-3)=2(х-2)
- Упростите, чтобы получить общее уравнение:
- y=2x−4−3\маленький y = 2x — 4 -3y=2x−4−3
- 0=2x-y-7\маленький 0 = 2x — y — 70=2x-y-7
