Полная таблица производных элементарных функций
Поможем понять и полюбить математику
Начать учиться
175.8K
Самый частый вопрос, который возникает у старшеклассников на уроках алгебры, звучит примерно так: «А нам это в жизни пригодится?». Отвечаем: пригодится! Математика тесно связана с физикой, которая описывает окружающий нас мир. И формулы из таблицы производных основных элементарных функций тоже имеют практический смысл.
Что такое производная и зачем она нужна
Прежде чем переходить к таблице для вычисления производных, дадим определение производной. В учебнике оно звучит так:
Производная функции — это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. |
Если же говорить простыми словами, то производная функции описывает, как и с какой скоростью эта функция меняется в данной конкретной точке. Процесс нахождения производной называется дифференцированием.
Объясним на примере: допустим, Маша решила по утрам делать зарядку и стоять в планке. В первую неделю она держалась каждый день по 10 секунд, но начиная со второй недели смогла стоять в планке с каждым днем на 3 секунды дольше. Успехи Маши можно описать следующими графиками:
Очевидно, что в первую неделю результаты Маши не менялись (т. е. были константой), скорость прироста оставалась нулевой. Если мы заглянем в таблицу производных простых функций, то увидим, что производная константы равна нулю.
у = 10
у′ = 0
Во вторую неделю время выполнения планки с 10 сек начало увеличиваться на 3 сек ежедневно.
у = 10 + 3х
Снова смотрим в таблицу дифференцирования производных, где указано, что производная от х равна 1, а также по правилам вычисления производных (c*f(x))’=cf'(x) и (f(x)+g(x))’=f'(x)+g'(x).
у = 10 + 3х
у′ = 0 + 3
у′ = 3
Вот так с помощью таблицы производных и элементарной математики мы докажем, что успехи Маши росли со скоростью 3 сек в день.
Это был очень простой пример, который в общих чертах объясняет азы дифференциального исчисления и помогает понять, для чего нужны формулы из таблицы производных функций. Но разобраться в решении задач, где скорость меняется нелинейно, конечно, не так просто.
Быстрее освоить производные поможет обучение на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.
Узнай, какие профессии будущего тебе подойдут
Пройди тест — и мы покажем, кем ты можешь стать, а ещё пришлём подробный гайд, как реализовать себя уже сейчас
Производные основных элементарных функций
Таблица производных для 10 и 11 класса может включать только элементарные часто встречающиеся функции.
Поэтому приведем стандартную таблицу производных.
Функция f (x) | Производная f’ (х) |
|---|---|
С (т. е. константа, любое число) | 0 |
х | 1 |
| xn | nxn-1 |
√x | 1/(2√x) |
sin x | cos x |
cos x | -sin x |
tg x | 1/cos2(х) |
ctg x | -1/sin2x |
ex | ex |
ax | ax * ln a |
ln x | 1/x |
logax | 1/(x * ln a) |
Элементарные функции можно складывать, умножать друг на друга, находить их разность или частное — словом, выполнять любые математические операции.
Но для этого существуют определенные правила.
Общие правила дифференцирования
(c ⋅ f)′ = c ⋅ f′
(u + v)′ = u′ + v′
(u — v)′ = u′ — v′
(u ⋅ v)′ = u′v + v′u
(u/v)’ = (u’v — v’u)/v2
В данном случае u, v, f — это функции, а c — константа (любое число).
С константой все просто — ее можно смело выносить за знак производной. Специально запоминать придется лишь формулы, где требуется разделить одну функцию на другую или перемножить их и найти производную от результата.
Например: требуется найти производную функции y = (5 ⋅ x3).
y′ = (5 ⋅ x3)′
Вспомним, что константу, а в данном случае это 5, можно вынести за знак производной:
y′ = (5 ⋅ x3)’ = 5 ⋅ (x3)′ = 5 ⋅ 3 ⋅ х3-1 = 15х2Попробуйте самостоятельно решить эти примеры.
Правильные ответы найдете в конце статьи:
Правила дифференцирования сложных функций
Конечно, далеко не все функции выглядят так, как в вышеуказанной таблице. Как быть с дифференцированием, например, вот таких функций: y = (3 + 2x2)4?
Сложной функцией называют такое выражение, в котором одна функция словно вложена в другую. Производную сложной функции f(y) можно найти по следующей формуле: |
Пример 1
Найдем производную функции y(x) = (3 + 2x2)4.
Заменим 3 + 2x2 на u и тогда получим y = u4.
Согласно приведенному выше правилу дифференцирования сложных функций у нас получится:
y = y′u ⋅ u′x = 4u3 ⋅ u’x
А теперь выполним обратную замену и подставим исходное выражение:
4u 3 ⋅ u′x = 4 (3 + 2x2)3 ⋅ (3 + 2x2)′ = 16 (3 + 2x2)3 ⋅ х
Пример 2
Найдем производную для функции y = (x3 + 4) cos x.
Для дифференцирования этой функции воспользуемся формулой (UV)′ = U′V + V′U.
y′ = (x3 + 4)′ ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ cos x′ = 3x2 ⋅ cos x + (x3 + 4) ⋅ (-sin x) = 3x2 ⋅ cos x – (x3 + 4) ⋅ sin x
Ответы на задания
Шпаргалки для родителей по математике
Все формулы по математике под рукой
Яна Кононенко
К предыдущей статье
Параллельность прямых
К следующей статье
Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику
На вводном уроке с методистом
Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению
Расскажем, как проходят занятия
Подберём курс
Раздел недели: Скоропись физического, математического, химического и, в целом, научного текста, математические обозначения. Математический, Физический алфавит, Научный алфавит. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Поиск на сайте DPVA Поставщики оборудования Полезные ссылки О проекте Обратная связь Ответы на вопросы. Оглавление Таблицы DPVA.ru — Инженерный Справочник | Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru: главная страница / / Техническая информация/ / Математический справочник / / Интегральное и дифференциальное исчисление. Поделиться:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос: Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно — другие подразделы данного раздела: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таблица производных полная для студентов и правила дифференцирования. Таблица производных функций. Табличные производные. Формулы производных.
Табличные производные и интегралы. Таблица производных. Таблица интегралов. Таблица первообразных. Найти производную. Найти интеграл. Диффуры. / / Таблица производных. Таблица производных полная для студентов и правила дифференцирования. Таблица производных функций. Табличные производные. Формулы производных.
Табличные производные.»>
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.
Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers
Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team
Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generatorЭКЕДАЛЕН дуб, Раздвижной стол, Мин. длина: 120 см
Не лучшее исправлениеПодтвержденный рецензентЯ исправил, но не лучший. Угол не исправить 🙁 Я недоволен2
1 человек 2 часаПроверенный рецензент Отличный стол, но некоторые головки винтов из мягкого металла и недостаточно глубокие, чтобы можно было вставить электрическую отвертку, что немного замедлило работу. Одна ножка немного смещена и никакая регулировка не компенсирует это, но это не заметно, кроме меня!Это прекрасный стол, и выдвижную створку очень легко вытащить.0003
Отлично!Проверенный рецензентЭта таблица надежна как в расширенном, так и в расширенном виде.
Он занимает мало места и в расширенном виде идеально подходит для семейных встреч. Раздвижная створка делает вашу жизнь комфортной, особенно в присутствии гостей.
Мне это очень понравилось.5
Основной стол не соответствует приставной панелиПодтвержденный рецензентОблицовка основной части стола полностью отличается от облицовки приставной панели. Слишком заметно, чтобы использовать его полностью вытянутым без скатерти. Разочаровывает.3
Очень хороший стол, который является проверенным рецензентомОчень хороший стол, который прост в использовании и имеет великолепный дизайн, ножки двигаются, когда стол выдвигается.5
Отличная ценаПодтвержденный рецензентЯ хотел заменить большой стол и присмотрелся. По цене такого размера в другом месте я получил стол, скамейку и два стула в Икее. Качество не уступает всему, что я видел, и если я, будучи 80-летним, смогу собрать его, то с этим справится любой другой.5
Мне нравится стол, его не так просто собрать. 2 стула и скамейка, и надо сказать, что они выглядят очень хорошо и стильно в собранном виде. Однако я должен сказать, что инструкции для стола были не самыми простыми, и я должен поблагодарить Youtube и людей, которые предоставили видео сборки, за помощь в завершении.
Пара проблем со сборкой: (i) головки срезались на паре винтов при затяжке — решается путем аккуратного вырезания гребня в верхней части головки ножовкой и плоской отверткой; (ii) одно из винтовых отверстий для фиксирующего устройства на удлинителе было просверлено не синхронно, и не было сделано никаких отверстий для крепления еще двух небольших деревянных блоков — поэтому я буду возвращать удлинитель стола для обмена. Помимо проблем, столы, стулья и скамья выглядят великолепно. 1 звезда снята по указанным причинам.4
Отличная покупкаПодтвержденный рецензентЯ некоторое время наблюдал за этой таблицей и задавался вопросом о заказе онлайн, не видя ее должным образом, но я совсем не был разочарован.
Сборка была не так уж и плоха, если вы понимаете, что есть разница в ножках, поэтому убедитесь, что они у вас на правом конце стола.
Мне нравится мой стол, потому что он сочетается с нашими книжными полками и стульями.
Я очень рад, что нашел этот очень разумный и практичный стол, который к тому же выглядит стильно.
Сборка была не так уж и плоха, если вы понимаете, что есть разница в ножках, поэтому убедитесь, что они у вас на правом конце стола.
Мне нравится мой стол, потому что он сочетается с нашими книжными полками и стульями.
Я очень рада, что нашла этот очень разумный и практичный стол, который к тому же выглядит стильно.5
Отличная покупкаПодтвержденный рецензентЯ некоторое время наблюдал за этой таблицей и задавался вопросом о заказе онлайн, не видя ее должным образом, но я совсем не был разочарован. Сборка была не так уж и плоха, если вы понимаете, что есть разница в ножках, поэтому убедитесь, что они у вас на правом конце стола. Мне нравится мой стол, потому что он сочетается с нашими книжными полками и стульями. Так приятно найти этот очень разумный и практичный стол, который к тому же выглядит стильно.5
Идеальный стол для пространства. Того же цвета, что и стулья для столовой, которые у нас уже были.5
Отличный столПодтвержденный рецензентЭто очень аккуратный и привлекательный стол.
Он расширяется за счет выдвижения ножек, что означает, что никто не будет мешать ноге, как это делают некоторые другие столы. Очень крепкий, не громоздкий. Отличная покупка и отличное соотношение цены и качества. Настоятельно рекомендую.5
Отличный стол на все случаи жизниПроверенный рецензентКупил один из них 3 года назад и теперь добавил еще один, чтобы увеличить количество сидячих мест для больших семейных посиделок. Крепкий и устойчивый, а расположение ножек означает, что никому не будет неудобно.5
Все в порядке, нет недостающих частей. Подтвержденный рецензент. Все в порядке. Здесь нет недостающих частей. Рецензент Хороший прочный стол и стулья. Расширяется до больших размеров для больших встреч. Таблица листьев скрыта и безопасна. Кресла удобные и устойчивые. Хорошее соотношение цены и качества.5
vesatileПодтвержденный рецензентЭтот набор заменил наш набор из сосны от Ikea, который мы использовали почти 20 лет. У него четкие линии, и вы не можете сказать, что он расширяется, когда он закрыт.
Я накрываю его, так как мы используем его как кухонный стол. если это продлится так же долго, я не буду разочарован.5
Потрясающий столПодтвержденный рецензентПрекрасный стол, которому легко следовать инструкции для несуществующего мастера, занимающегося своими руками lol5
Стол | мебель | Британика
карточный столик из красного дерева
Смотреть все материалы
- Похожие темы:
- рабочий стол комод консоль туалетный столик раскладной стол
Просмотреть все связанные материалы →
стол , основной предмет мебели, известный и используемый в западном мире по крайней мере с 7 века до н.э., состоящий из плоской плиты из камня, металла, дерева или стекла, поддерживаемой козлами, ножками. , или столб.
Египетские столы делались из дерева, ассирийские из металла, а греческие обычно из бронзы. Римские столы имели довольно сложные формы, ножки были вырезаны в форме животных, сфинксов или гротескных фигур.
Для верхушек использовались кедр и другие экзотические породы дерева с декоративной текстурой, а ножки треножников делались из бронзы или других металлов.
More From Britannica
Мебель: Стол
Раннесредневековые таблицы были довольно простого типа, но были некоторые примечательные исключения; У Карла Великого, например, было два стола из серебра и один из золота, вероятно, сделанные из дерева, покрытого тонкими листами металла. С ростом формальности жизни в феодальный период столы приобретали большее социальное значение. Хотя в частных покоях использовались маленькие столы, в большом зале феодального замка необходимость кормить множество слуг стимулировала развитие устройства, при котором хозяин и его гости сидели за прямоугольным столом на возвышении, увенчанном балдахином. в то время как остальные домочадцы сидели за столами, поставленными под прямым углом к этому.
Один из немногих сохранившихся примеров большого (и сильно отреставрированного) круглого стола, датируемого 15 веком, находится в Винчестерском замке в Хэмпшире, Англия.
По большей части круглые столы предназначались для нерегулярного использования. Наиболее распространенным типом большого средневекового обеденного стола была козловая конструкция, состоящая из массивных досок из дуба или вяза, опирающихся на ряд центральных опор, к которым они были прикреплены штифтами, которые можно было снять и разобрать стол. Столы с прикрепленными ножками, соединенными тяжелыми носилками, закрепленными вплотную к полу, появились в 15 веке. Они были фиксированного размера и были тяжелыми для перемещения, но в 16 веке остроумное устройство, известное как выдвижная крышка, позволило удвоить длину стола. Верх состоял из трех створок, два из которых можно было разместить под третьим и при необходимости удлинить на полозьях. Такие столы обычно делались из дуба или вяза, но иногда из ореха или вишни. Используемый основной принцип по-прежнему применяется к некоторым расширяющим таблицам.
Растущая техническая сложность означала, что с середины 16-го века столы стали отражать гораздо более точно, чем раньше, общие тенденции дизайна своего периода и социального контекста.
Типичный елизаветинский стол для рисования, например, опирался на четыре ножки в форме вазы, оканчивающиеся ионическими капителями, что прекрасно отражало бурную декоративную атмосферу того времени. Деспотические монархии, которые тосковали по великолепию Версаля Людовика XIV, продвигали моду на бросающиеся в глаза роскошные столы. Эти столы, часто сделанные в Италии, которые были распространены в конце 17-го и середине 18-го веков, иногда были инкрустированы замысловатыми узорами маркетри или редким мрамором; другие, например, подаренные лондонским Сити Карлу II после его восстановления в качестве короля Англии, были полностью покрыты серебром или были сделаны из черного дерева с серебряными креплениями.
Усиление контактов с Востоком в 18 веке стимулировало интерес к лакированным столам для нечастого использования. Действительно, модель развития в истории стола, которая стала очевидной в этом столетии, заключалась в том, что, в то время как большой обеденный стол претерпел мало стилистических изменений, растущая изощренность вкуса и более высокие стандарты жизни привели к увеличению степени специализации в случайном обеде.