Возведение в степень — Википедия
Графики четырёх функций вида y=ax{\displaystyle y=a^{x}}, a{\displaystyle a} указано рядом с графиком функцииВозведе́ние в сте́пень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием a{\displaystyle a} и натуральным показателем b{\displaystyle b} обозначается как
- ab=a⋅a⋅…⋅a⏟b,{\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{b},}
где b{\displaystyle b} — количество множителей (умножаемых чисел)[1][К 1].
Например, 32=3⋅3=9;24=2⋅2⋅2⋅2=16{\displaystyle 3^{2}=3\cdot 3=9;\quad 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16}
В языках программирования, где написание ab{\displaystyle a^{b}} невозможно, применяются альтернативные обозначения[⇨].
Возведение в степень может быть определено также для отрицательных[⇨], рациональных[⇨], вещественных[⇨] и комплексных[⇨] степеней[1].
Извлечение корня — одна из операций, обратных возведению в степень, она по известным значениям степени c=ab{\displaystyle c=a^{b}} и показателя b{\displaystyle b} находит неизвестное основание a=cb{\displaystyle a={\sqrt[{b}]{c}}}. Вторая обратная операция — логарифмирование, она по известным значениям степени c=ab{\displaystyle c=a^{b}} и основания a{\displaystyle a} находит неизвестный показатель b=logac{\displaystyle b=log_{a}c}. Задача нахождения числа по известному его логарифму (потенцирование, антилогарифм) решается с помощью операции возведения в степень[⇨]).
Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.
Запись an{\displaystyle a^{n}} обычно читается как «a в n{\displaystyle n}-й степени» или «a в степени n». Например, 104{\displaystyle 10^{4}} читается как «десять в четвёртой степени», 103/2{\displaystyle 10^{3/2}} читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».
Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, 102{\displaystyle 10^{2}} читается как «десять в квадрате», 103{\displaystyle 10^{3}} читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо a2{\displaystyle a^{2}}, a3{\displaystyle a^{3}} древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали[2].
Основные свойства[править | править код]
Все приведенные ниже основные свойства возведения в степень выполняются для натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел[3]. Для комплексных чисел, в силу многозначности комплексной операции, они выполняются только в случае натурального показателя степени[⇨].
Запись anm{\displaystyle a^{n^{m}}} не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть, в общем случае,(an)m≠a(nm){\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}} Например, (22)3=43=64{\displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64}, а 2(23)=28=256{\displaystyle 2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256}. В математике принято считать запись anm{\displaystyle a^{n^{m}}} равнозначной a(nm){\displaystyle a^{\left({n^{m}}\right)}}, а вместо (an)m{\displaystyle (a^{n})^{m}} можно писать просто anm{\displaystyle a^{nm}}, пользуясь предыдущим свойством. Впрочем, некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения.
Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, ab≠ba{\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}, например, 25=32{\displaystyle 2^{5}=32}, но 52=25.{\displaystyle 5^{2}=25.}
Таблица натуральных степеней небольших чисел[править | править код]
| n | n2 | n3 | n4 | n5 | n6 | n7 | n8 | n9 | n10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
| 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2 187 | 6 561 | 19 683 | 59 049 |
| 4 | 16 | 64 | 256 | 1024 | 4 096 | 16 384 | 65 536 | 262 144 | 1 048 576 |
| 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15 625 | 78 125 | 390 625 | 1 953 125 | 9 765 625 |
| 6 | 36 | 216 | 7 776 | 46 656 | 279 936 | 1 679 616 | 10 077 696 | 60 466 176 | |
| 7 | 49 | 343 | 2401 | 16 807 | 117 649 | 823 543 | 5 764 801 | 40 353 607 | 282 475 249 |
| 8 | 64 | 512 | 4096 | 32 768 | 262 144 | 2 097 152 | 16 777 216 | 134 217 728 | 1 073 741 824 |
| 9 | 81 | 729 | 6561 | 59 049 | 531 441 | 4 782 969 | 43 046 721 | 387 420 489 | 3 486 784 401 |
| 10 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 | 10 000 000 | 100 000 000 | 1 000 000 000 | 10 000 000 000 |
Целая степень[править | править код]
Операция обобщается на произвольные целые числа, включая отрицательные и ноль[4]::
- az={az,z>01,z=0,a≠01a|z|,z<0,a≠0{\displaystyle a^{z}={\begin{cases}a^{z},&z>0\\1,&z=0,a\neq \;0\\{\frac {1}{a^{|z|}}},&z<0,a\neq \;0\end{cases}}}
Результат не определён при a=0{\displaystyle a=0} и z⩽0{\displaystyle z\leqslant 0}.
Рациональная степень[править | править код]
Возведение в рациональную степени p/q,{\displaystyle p/q,} где p{\displaystyle p} — целое число, а q{\displaystyle q} — натуральное, определяется следующим образом[4]:
- apq=(aq)p{\displaystyle a^{p \over q}=({\sqrt[{q}]{a}})^{p}}.
Результат не определён при a=0{\displaystyle a=0} и p/q⩽0.{\displaystyle p/q\leqslant 0.} Для отрицательных a{\displaystyle a} в случае нечётного p{\displaystyle p} и чётного q{\displaystyle q} в результате вычисления степени получаются комплексные числа.
Следствие: an=a1/n.{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n}.} Таким образом, понятие рациональной степени объединяет возведение в целочисленную степень и извлечение корня в единую операцию.
Вещественная степень[править | править код]
Если a⩾0,r{\displaystyle a\geqslant 0,r} — вещественные числа, причём r{\displaystyle r} — иррациональное число, возможно определить ar{\displaystyle a^{r}} следующим образом: поскольку любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для r{\displaystyle r} рациональный интервал [p,q]{\displaystyle [p,q]} с любой степенью точности, то общая часть всех соответствующих интервалов [ap,aq]{\displaystyle [a^{p},a^{q}]} состоит из одной точки, которая и принимается за ar{\displaystyle a^{r}}.
Полезные формулы:
- xy=aylogax{\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x}}
- xy=eylnx{\displaystyle x^{y}=e^{y\ln x}}
- xy=10ylgx{\displaystyle x^{y}=10^{y\lg x}}
Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции xy{\displaystyle x^{y}}, и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.
Комплексная степень[править | править код]
Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняется обычным умножением, и результат однозначен (см. формулу Муавра). Основой для более общего определения комплексной степени служит экспонента ez{\displaystyle e^{z}}, где e{\displaystyle e} — число Эйлера, z=x+iy{\displaystyle z=x+iy} — произвольное комплексное число[5].
Определим комплексную экспоненту с помощью такого же ряда, как и вещественную:
- ez=1+z+z22!+z33!+z44!+⋯.{\displaystyle e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+\cdots .}
Этот ряд абсолютно сходится для любого комплексного z,{\displaystyle z,} поэтому его члены можно как угодно перегруппировывать. В частности, отделим от него часть для eiy{\displaystyle e^{iy}}:
- eiy=1+iy+(iy)22!+(iy)33!+(iy)44!+⋯=(1−y22!+y44!−y66!+⋯)+i(y−y33!+y55!−⋯).{\displaystyle e^{iy}=1+iy+{\frac {(iy)^{2}}{2!}}+{\frac {(iy)^{3}}{3!}}+{\frac {(iy)^{4}}{4!}}+\cdots =\left(1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4}}{4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(y-{\frac {y^{3}}{3!}}+{\frac {y^{5}}{5!}}-\cdots \right).}
В скобках получились известные из вещественного анализа ряды для косинуса и синуса, и мы получили формулу Эйлера:
- ez=exeyi=ex(cosy+isiny){\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}
Общий случай ab{\displaystyle a^{b}}, где a,b{\displaystyle a,b} — комплексные числа, определяется через представление a{\displaystyle a} в показательной форме: a=rei(θ+2πk){\displaystyle a=re^{i(\theta +2\pi k)}} согласно определяющей формуле[5]:
- ab=(eLn(a))b=(eln(r)+i(θ+2πk))b=eb(ln(r)+i(θ+2πk)).{\displaystyle a^{b}=(e^{\operatorname {Ln} (a)})^{b}=(e^{\operatorname {ln} (r)+i(\theta +2\pi k)})^{b}=e^{b(\operatorname {ln} (r)+i(\theta +2\pi k))}.}
Здесь Ln{\displaystyle \operatorname {Ln} } — комплексный логарифм, ln{\displaystyle \ln } — его главное значение.
При этом комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно[5]. Неучёт этого обстоятельства может привести к ошибкам. Пример: возведём известное тождество e2πi=1{\displaystyle e^{2\pi i}=1} в степень i.{\displaystyle i.} Слева получится e−2π,{\displaystyle e^{-2\pi },} справа, очевидно, 1. В итоге: e−2π=1,{\displaystyle e^{-2\pi }=1,} что, как легко проверить, неверно. Причина ошибки: возведение в степень i{\displaystyle i} даёт и слева, и справа бесконечное множество значений (при разных k{\displaystyle k}), поэтому правило (ab)c=abc{\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc}} здесь неприменимо. Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа e−2πk;{\displaystyle e^{-2\pi k};} отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при k=0{\displaystyle k=0} и при k=1.{\displaystyle k=1.}
Потенцирование (от нем. potenzieren[К 2]) — нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения logax=b{\displaystyle \log _{a}x=b}. Из определения логарифма вытекает, что x=ab{\displaystyle x=a^{b}}, таким образом, возведение a{\displaystyle a} в степень b{\displaystyle b} может быть названо другими словами «потенцированием b{\displaystyle b} по основанию a{\displaystyle a}».
Антилогарифм — вычислительная операция нахождения числа по известному значению логарифма, как самостоятельное понятие используется в логарифмических таблицах, логарифмических линейках, микрокалькуляторах. Вычисление антилогарифма по основанию a{\displaystyle a} для числа b{\displaystyle b} соответствует возведению в степень ab.{\displaystyle a^{b}.}
Разновидности[править | править код]
Поскольку в выражении xy{\displaystyle x^{y}} используются два символа (x{\displaystyle x} и y{\displaystyle y}), то его можно рассматривать как одну из трёх функций.
- Функция переменной x{\displaystyle x} (при этом y{\displaystyle y} — постоянная-параметр). Такая функция называется степенной. Обратная функция — извлечение корня.
- Функция переменной y{\displaystyle y} (при этом x{\displaystyle x} — постоянная-параметр). Такая функция называется показательной (частный случай — экспонента). Обратная функция — логарифм.
- Функция двух переменных f(x,y)=xy.{\displaystyle f(x,y)=x^{y}.} Отметим, что в точке (0,0){\displaystyle (0,0)} эта функция имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси X,{\displaystyle X,} где y=0,{\displaystyle y=0,} она равна единице, а вдоль положительного направления оси Y,{\displaystyle Y,} где x=0,{\displaystyle x=0,} она равна нулю.
Ноль в степени ноль[править | править код]
Выражение 00{\displaystyle 0^{0}} (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла, поскольку, как указано выше, функция f(x,y)=xy{\displaystyle f(x,y)=x^{y}} в точке (0, 0) разрывна. Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что это выражение равно 1. В частности, тогда разложение в ряд экспоненты:
- ex=1+∑n=1∞xnn!{\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{x^{n} \over n!}}
можно записать короче:
- ex=∑n=0∞xnn!.{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}.}
Следует предостеречь, что соглашени
Конспект «Степени. Свойства степеней» — УчительPRO
Степени. Свойства степеней.
Ключевые слова конспекта: степень с натуральным показателем, основание степени, показатель степени, возведение в степень, дисперсия, умножение и деление степеней, свойства степеней.
Произведение 7 • 7 • 7 • 7 • 7 записывают короче: 75. Выражение вида 75 называют пятой степенью числа 7 (читают: «семь в пятой степени»). В записи 75 число 7, которое означает повторяющийся множитель, называют основанием степени, а число 5, показывающее, сколько раз этот множитель повторяется, называют показателем степени.
Умножим 75 на 73:
75 • 73 = (7 • 7 • 7 • 7 • 7) • (7 • 7 • 7) = 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 = 78.
Показатель степени увеличился на 3. Естественно считать, что 7 = 71. Вообще считают, что первой степенью числа является само число. Например, 181 = 18, 1041 = 104.
Степень с натуральным показателем
✅ Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называют выражение аn, равное произведению n множителей, каждый из которых равен а.
Степенью числа а с показателем 1 называют выражение а1, равное а.
По определению
Запись аn читается так: «а в степени n» или «n-я (энная) степень числа а». Для второй и третьей степеней числа используют специальные названия: вторую степень числа называют квадратом, а третью степень — кубом.
Возведение в степень
Нахождение n-й степени числа а называют возведением в n-ю степень.
Пример 1. Возведём число -3 в четвёртую и пятую степени:
(-3)4 = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = 81;
(-3)5 = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = -243.
Из свойств умножения следует, что:
- при возведении нуля в любую степень получается нуль;
- при возведении положительного числа в любую степень получается положительное число;
- при возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получается положительное число, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем — отрицательное число.
Пример 2. Возведём число 6,1 в седьмую степень, воспользовавшись калькулятором. Для этого надо выполнить умножение:
6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1.
Калькулятор позволяет выполнять возведение в степень проще, не повторяя основание степени и знак умножения. Для того чтобы возвести число 6,1 в седьмую степень, достаточно ввести число 6,1, нажать клавишу УМНОЖИТЬ и шесть раз нажать клавишу РАВНО . Получим, что 6,1
При вычислении значений числовых выражений, не содержащих скобки, принят следующий порядок действий: сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, далее сложение и вычитание.
Пример 3. Найдём значение выражения -62 + 64 : (-2)5. Последовательно находим:
1) 62 = 36;
2) (–2)5 = –32;
3) 64 : (–32) = –2;
4) –36 + (–2) = –38.
Пример 4. Найдём множество значений выражения 5 • (–1)n + 1 + 2, где n ∈ N.
Если n — нечётное число, то (-1)n + 1 = 1; тогда 5 • (-1)n + 1 + 2 = 5 • 1 + 2 = 7.
Если n — чётное число, то (-1)n + 1 = -1; тогда 5 • (-1)n + 1 + 2 = 5 • (-1) + 2 = -5 + 2 = -3.
Множество значений данного выражения: {-3; 7}.
В рассмотренном примере было указано, что n ∈ N. Условимся в дальнейшем такое указание опускать и считать, что если показатель степени содержит переменную, то значениями этой переменной являются натуральные числа.
Дисперсия
Степень с натуральным показателем широко используется в естествознании для вычисления различных характеристик. Например, в статистике, для того чтобы узнать, как числа некоторой выборки расположены по отношению к среднему арифметическому этой выборки, используют отклонения, их квадраты и среднее арифметическое квадратов отклонений — дисперсию.
Пример 5. Дана выборка: 4, 6, 7, 8, 10. Среднее арифметическое этой выборки равно 7. Тогда отклонения вариант данной выборки от среднего арифметического равны: 4 – 7 = –3, 6 – 7 = –1, 7 – 7 = 0,8 – 7 = 1, 10 – 7 = 3, т. е. мы получили ещё один набор чисел — отклонения каждой варианты выборки от среднего арифметического. По новой выборке (–3; –1; 0; 1; 3) можно судить о том, насколько близки к среднему арифметическому числа исходного набора. Но поскольку сумма отклонений равна нулю, то и среднее арифметическое этой новой выборки также равно нулю. Поэтому для дальнейших исследований исходного набора находят квадраты отклонений и их среднее арифметическое
Полученное число и есть дисперсия исходной выборки.
Умножение степеней
Представим произведение степеней а5 и а2 в виде степени:
а5 • а2 = (а • а • а • а • а) • (а • а) = а • а • а • а • а • а • а = а7.
Мы получили степень с тем, же основанием и показателем, равным сумме показателей множителей. Подмеченное свойство выполняется для произведения любых двух степеней с одинаковыми основаниями.
Если а — произвольное число, m и n — любые натуральные числа, то аm • аn = аm+ n
Докажем это. Из определения степени и свойств умножения следует, что
Доказанное свойство называется основным свойством степени. Оно распространяется на произведение трёх и более степеней. Это нетрудно показать с помощью таких же рассуждений.
Из основного свойства степени следует правило:
- чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели степеней сложить.
Деление степеней
Представим теперь в виде степени частное степеней а8 и а3, где а ≠ 0. Так как а3 • а5 = а8, то по определению частного а8 : а3 = а5.
Мы получили степень с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя. Такое свойство выполняется для частного любых степеней с одинаковыми основаниями, не равными нулю, у которых показатель делимого больше показателя делителя.
Если а — произвольное число, не равное нулю, m и n — любые натуральные числа, причём m > n, то аm : аn = аm — n, где а ≠ 0, m ≥ n
Докажем это. Умножим аm — n на аn, используя основное свойство степени:
am – n • an = a(m – n) + n = am – n + n = am
Из доказанного свойства следует правило:
- чтобы выполнить деление степеней с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а из показателя делимого вычесть показатель делителя.
Степень с нулевым показателем
Мы рассматривали степени с натуральными показателями. Введём теперь понятие степени с нулевым показателем.
✅ Определение. Степенью числа а, где а ≠ 0, с нулевым показателем называется выражение а 0, равное 1.
Например, 50 = 1; (–6,3)0 = 1. Выражение 00 не имеет смысла.
Это конспект по математике на тему «Степени. Свойства степеней». Выберите дальнейшие действия:
Знаки классности — мастер, 1, 2, 3 степени, знак СССР в World of Tanks
В обновлении 7.2 в список достижений World of Tanks добавились знаки классности. Знаки классности присуждаются игроку за получение значительного количества опыта за бой. Знак классности будет присвоен игроку в том случае, если он сможет получить больше опыта, чем большинство игроков на той же технике за последние 7 дней. Награда и знаки классности СССР выдаются сразу же после окончания боя. 
Знак классности 1-й степени. Выдаётся игроку, количество набранного опыта которого превышает средний результат лучших 5% игроков за 7 дней. 
Знак классности 2-й степени. Выдаётся игроку, количество набранного опыта которого превышает средний результат лучших 20% игроков за 7 дней. 
Знак классности 3-й степени. Выдаётся игроку, количество набранного опыта которого превышает средний результат лучших 50% игроков за 7 дней.
Некоторые особенности и условия получения знаков классности:
- Опыт рассматривается без учёта премиум аккаунта и двойного/тройного/пятикратного коэффициента.
- Знаки классности не отнимаются и не понижаются. Если игрок сыграл в следующий раз хуже — знак классности не понизится.
- При получении более высокого знака классности он добавляется вместо более низкого.
- Если вы получили знак «Мастер», то другие знаки классности на этом танке присваиваться не будут.
- Знаки классности не выдаются за опыт, полученный до выхода обновления 7.2.
- Знаки классности отображаются возле каждого танка в личной статистике игрока.
- Игроки проигравшей команды, получившие медаль из списка «достойное сопротивление», получают дополнительный опыт, который не отображается в послебоевой статистике, но учитывается при выдаче знака классности.
- Пример
- За последние 7 дней у 5% лучших игроков на танке БТ-7 высший результат составил от 600 и более единиц опыта за бой. Если на этом танке получено 610 опыта без премиум-аккаунта за бой, значит требования для присвоения «Первого класса» выполнены. Если же получено 750 опыта с учетом премиум-аккаунта (который прибавляет еще 50% опыта), то реальное значение составит 500 единиц опыта — требования для получения знака «Первого класса» не выполнены.
Степень -1 | Алгебра
Как возвести число в степень -1?
По определению степени с отрицательным показателем,
Например,
Число в минус первой степени и данное число являются взаимно обратными числами.
Чтоьы возвести обыкновенную дробь в степень -1, нужно ее числитель и знаменатель поменять местами («перевернуть»):
Например,
Чтобы возвести в степень минус 1 смешанное число, его предварительно нужно перевести в неправильную дробь. Например,
Чтобы возвести в минус первую степень десятичную дробь, её сначала лучше перевести в обыкновенную:
Правила ввода математических выражений
Ввод чисел:
Целые числа вводятся обычным способом, например:
4; 18; 56
Для ввода отрицательного числа необходимо поставить знак минус:
-19; -45; -90
Рациональные числа вводятся с использованием символа
/, например:
3/4;-5/3;5/(-19)
Вещественные числа вводятся с использованием точки в качестве разделителя целой и дробной частей:
4.5;-0.4
Ввод переменных и констант:
Переменные и константы вводятся латинскими буквами, например:
x; y; z; a; b.
Константы
π
и
e
вводятся как pi и e — соответственно.
Символ бесконечности
∞
вводится двумя маленькими латинскими буквами oo или словом
inf.
Соответственно, плюс бесконечность задается как +oo, и минус бесконечность как -oo.
Сумма и разность:
Сумма и разность задаются при помощи знаков + и — соответственно, например: 3+a; x+y; 5-4+t; a-b+4; ВНИМАНИЕ! Никаких пробелов между операндами быть не должно, например ввод: x + a — неправильный, правильно вводить так: x+a — без пробелов.
Умножение:
Умножение задается знаком
*,
например:
3*t;
x*y;
-5*x.
ВНИМАНИЕ!
Ввод знака
*
необходим всегда, т.е. запись типа:
2x —
недопустима
.
Следует всегда использовать знак
*
, т.е
правильная
запись:
3*x.
Деление:
Деление задается знаком /, например: 15/a; y/x;.
Степень:
Степень задается знаком ^, например: x^2; 4^2; y^(-1/2).
Приоритет операций:
Для указания (или изменения) приоритета операций необходимо использовать скобки (), например:
(a+b)/4
— тут вначале будет произведено сложение a+b, а потом сумма разделится на 4, тогда как без скобок:
— сначала b разделится на 4 и к полученному прибавится a.
ВНИМАНИЕ! В непонятных случаях лучше всегда использовать скобки для получения нужного
результата, например: 2^4^3
— неясно как будет вычислено это выражение: cначала 2^4, а затем результат в степень
3, или сначала 4^3=64,
а затем 2^64? Поэтому, в данном случае, необходимо использовать скобки:
(2^4)^3 или
2^(4^3) — смотря что нужно.
Также распространенной ошибкой является запись вида: x^3/4 -
непонятно: вы хотите возвести x в куб и полученное выражение
разделить на 4, или хотите возвести x в степень
3/4?
В последнем случае необходимо использовать скобки:
x^(3/4).
Ввод функций:
Функции вводятся с использованием маленьких латинских букв:
sin; cos;
tan; log.
ВНИМАНИЕ! Аргумент функции всегда берется в скобки (), например:
sin(4);
cos(x);
log(4+y).
Запись типа:
sin 4;
cos x;
log 4+y
— недопустима. Правильная запись:
sin(4);
cos(x);
log(4+y).
Если необходимо возвести функцию в степень, например: синус x и все это в квадрате, это записывается вот так:
(sin(x))^2.
Если необходимо возвести в квадрат аргумент, а не функцию (т.е синус от x^2), тогда это выглядит вот так:
sin(x^2). Запись типа:
sin^2 x — недопустима.
| Функция | Описание | Пример ввода | Примечания |
|---|---|---|---|
| квадратный корень | sqrt(x) или x^(1/2) | — | |
| корень n-ой степени | x^(1/n) | — | |
| log(x) или ln(x) | натуральный логарифм | log(x) или ln(x) | — |
| log10(x) или lg(x) | десятичный логарифм | lg(x) | — |
| loga(b) | произвольный логарифм | lg(b)/lg(a) | — |
| ex | экспонента | exp(x) | — |
| sin(x) | синус | sin(x) | — |
| cos(x) | косинус | cos(x) | — |
| tan(x) или tg(x) | тангенс | tan(x) или tg(x) | — |
| cot(x) или ctg(x) | котангенс | cot(x) или ctg(x) | — |
| sec(x) | секанс | sec(x) | sec(x)=1/cos(x) |
| csc(x) или cosec(x) | косеканс | csc(x) или cosec(x) | csc(x)=1/sin(x) |
| sin−1(x) или arcsin(x) | арксинус | arcsin(x) или asin(x) | — |
| cos−1(x) или arccos(x) | арккосинус | arccos(x) или acos(x) | — |
| tan−1(x) или arctan(x) | арктангенс | arctg(x) или atan(x) | — |
| cot−1(x) или arcctg(x) | арккотангенс | arcctg(x) или acot(x) | — |
| sec−1(x) или arcsec(x) | арксеканс | arcsec(x) или asec(x) | arcsec(x)=arccos(1/x) |
| csc−1(x) или arccosec(x) | арккосеканс | arccosec(x) или acsc(x) | arcsec(x)=arcsin(1/x) |
| sinh(x) | гиперболический синус | sinh(x) | sinh(x)=(exp(x)-exp(-x))/2 |
| cosh(x) | гиперболический косинус | cosh(x) | cosh(x)=(exp(x)+exp(-x))/2 |
| tanh(x) | гиперболический тангенс | tanh(x) | tanh(x)=sinh(x)/cosh(x) |
| coth(x) | гиперболический котангенс | coth(x) | coth(x)=cosh(x)/sinh(x) |
| sech(x) | гиперболический секанс | sech(x) | sech(x)=1/cosh(x) |
| csch(x) | гиперболический косеканс | cosech(x) или csch(x) | csch(x)=1/sinh(x) |
| sinh−1(x) или arcsinh(x) | гиперболический арксинус | arcsinh(x) или asinh(x) | — |
| cosh−1(x) или arccosh(x) | гиперболический арккосинус | arccosh(x) или acosh(x) | — |
| tanh−1(x) или arctanh(x) | гиперболический арктангенс | arctanh(x) или atanh(x) | — |
| coth−1(x) или arccoth(x) | гиперболический арккотангенс | arccoth(x) или acoth(x) | — |
| sech−1(x) или arcsech(x) | гиперболический арксеканс | arcsech(x) или asech(x) | arcsech(x)=arccosh(1/x) |
| csch−1(x) или arccsch(x) | гиперболический арккосеканс | arccsch(x) или acsch(x) | arccsch(x)=arcsinh(1/x) |
Обобщение понятия степени и решение примеров со степенями
Здравствуйте. Многие ученики испытывают сложности при решении заданий, в которых встречаются выражения с корнями. В данной статье я попытаюсь обобщить материал по темам «Радикал» и «Степень». Покажу как решать некоторые задания. Если у Вас во время прочтения статьи появятся вопросы, Вы можете записаться ко мне на занятие, я с радостью помогу Вам во всем разобраться, помогу с решением именно Ваших задач!
1. Свойства степеней и корней
Степенью числа а с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равняется а.
Степень числа а с показателем n обозначают an, например:
В общем случае при n > 1 имеем
Число a называется основой степени, число n — показателем степени.
Приведем основные свойства действий со степенями.
Приведенные свойства обобщаются для любых показателей степени
Часто в вычислениях используются степени с рациональным показателем. При этом удобным оказалось такое обозначение:
Корнем n— ой степени из числа а называется число b, n— я степень которого равняется a:
Корень также называется радикалом.
Корень нечетной степени n всегда существует. Корень четной степени 2n из отрицательного числа не существует. Существуют два противоположных числа, которые являются корнями четной степени из положительного числа а > 0. Положительный корень n— ой степени из положительного числа называют арифметическим корнем.
Из формул (3), (4) вытекают такие свойства радикалов
Если степень корня n = 2, то показатель корня обычно не пишется.
Пример 1.1. Найти значение выражения
Подкоренное выражение разложим на простые множители:
Пример 1.2. Упростить выражение
Имеем:
Пример 1.3. Извлечь корень
Имеем:
Пример 1.4. Упростить выражение
Поскольку при
2. Действия с радикалами
1) Преобразование корня по формуле называется внесением множителя под знак радикала.
Пример 2.1. Внести множитель под знак корня 5√2.
Исходя из формулы (7) получим
Пример 2.2. Внести множитель под знак радикала x√y при x< 0.
Имеем равенство
2) Преобразование корня исходя из формулы называется вынесением множителя из-под знака радикала.
Пример 2.3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении
Получим:
Пример 2.4. Вынести множитель из-под знака корня
Имеем:
Пример 2.5. Вынести множитель из-под знака корня:
Радикалы вида , где a, b — рациональные числа, называются подобными. Их можно прибавлять и отнимать:
Пример 2.6. Упростить:
Пример 2.7. Сложить радикалы:
Пример 2.8. Выполнить действие:
Заметим, что равенство не выполняется. В этом можно убедиться на таком примере:
Приведем примеры умножения радикалов.
Пример 2.9.
Аналогично освобождаются от кубических иррациональностей в знаменателе:
Рассмотрим более сложные примеры рационализации знаменателей:
Чтобы перемножить радикалы с разными степенями, их сначала превращают в радикалы с одинаковыми степенями.
Пример 2.10. Перемножим радикалы:
Во время умножения радикалов можно использовать формулы сокращенного умножения. Например:
Если радикалы находятся в знаменателе дроби, то, используя свойства радикалов, можно избавиться от иррациональности.
Пример 2.11. Рационализируем знаменатели дробей
Выражения называются сопряженными. Произведение сопряженных выражений не содержит радикалов:
Это свойство используется для рационализации знаменателей.
Пример 2.12. Избавиться от иррациональности в знаменателе:
Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби:
3. Вычисление иррациональных выражений
С помощью свойств корней можно упрощать и вычислять иррациональные выражения.
Пример 3.1. Вычислить
Выполним последовательно действия:
Пример 3.2. Вычислить:
Выполним действия.
Часто используется формула двойного радикала:
Пример 3.3. Исходя из формулы (8) находим:
Пример 3.4. Вычислить
Исходя из формулы (8) находим:
Окончательно получаем:
Аналогично вычисляются кубические корни. Имеем:
Возводим обе части равенства в куб:
Сравнивая выражения при √с, получаем однородную систему уравнений:
Поделив уравнение почленно, приходим к уравнению для z = y/x:
Пример 3.5. Вычислить значение радикала
После возведения в куб уравнения приходим к системе уравнений:
Поделив почленно первое уравнение на второе, получим уравнение для z= y/x:
По схеме Горнера находим корень z = — ½
Из системы уравнений и уравнения y/x = — ½ находим x = 2, y = -1. Итак,
Пример 3.6. Вычислить .
Возьмем .
Возведя обе части уравнения в куб, получаем откуда вытекает система уравнений
Система уравнений имеет очевидное решение x= 1, y= 1.
Поэтому .
Вычисляем радикал
Окончательно имеем a = — 1.
Пример 3.7. Вычислить
Поскольку
Дальше имеем:
Итак, a = — 2.
Пример 3.8. Вычислить
Возведем уравнение в куб, воспользовавшись равенством .
Получили для x кубическое уравнение
или x3 – 3x – 18 = 0,
имеет корни
Во множестве действительных чисел имеем корень x = 3.
4. Оценки для радикалов
Если
Это неравенство можно использовать для доведения неровностей, которые содержат радикалы.
Пример 4.1. Доказать, что .
Возведя неравенство в шестую степень, получим очевидное неравенство
Можно приводить радикалы к одной и то й же самой степени :
Пример 4.2. Оценим .
Поскольку
При преобразовании неравенств можно использовать символ V, понимая под ним знаки « > », « < », или « ».
Пример 4.3. Какое число больше
.
Поскольку
На этом все. Напоминаю, что Вы можете записываться ко мне на занятия в расписании, я с радостью помогу Вам с любыми вопросами по математике или высшей математике.
© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.